趙群河，王小亞，何 冰，張忠萍，陳婉珍，陳宏宇，蔣 虎，胡小工

1.中國科學(xué)院上海天文臺，上海200030；2.中國科學(xué)院研究生院，北京100049；3.宇航動力學(xué)國家重點實驗室，陜西 西安710043；4.上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203

1 引 言

衛(wèi)星激光測距（satellite laser ranging，SLR）利用人衛(wèi)激光測距儀測得的激光脈沖往返于測站和衛(wèi)星之間的時間換算為兩者之間的距離［1］。SLR數(shù)據(jù)處理涉及衛(wèi)星的狀態(tài)（位置和速度）、觀測站在空間的位置以及激光在大氣中的傳播［2］。在利用SLR數(shù)據(jù)進行衛(wèi)星精密定軌過程中，需要高精度模型來進行星－地距離歸算修正，衛(wèi)星質(zhì)心改正就是其中一個重要因素。從SLR實測的激光脈沖往返時間間隔換算得到的是地面測站與衛(wèi)星表面激光反射點之間的距離，而在計算衛(wèi)星精密星歷、確定地球參考架或其他SLR技術(shù)應(yīng)用中，需要的是衛(wèi)星質(zhì)心與測站之間的距離。因此，必須在實測距離中加入衛(wèi)星有效反射面至衛(wèi)星質(zhì)心的距離補償改正，這就是衛(wèi)星的質(zhì)心改正（center－of－mass，CoM）。衛(wèi)星質(zhì)心改正與星載角反射器的大小、幾何構(gòu)型、材料等有關(guān)，可通過相關(guān)的理論計算和衛(wèi)星發(fā)射前的地面光學(xué)檢驗等手段確定［3］。

目前，各種科學(xué)應(yīng)用也對SLR數(shù)據(jù)分析與評估提出更高要求。與測站發(fā)射的激光脈沖相比，經(jīng)過星載角反射器陣列反射的激光脈沖不僅被展寬，而且脈沖輪廓發(fā)生改變，這種由于衛(wèi)星的表面反射器的分布引起的激光回波波形的變化稱為衛(wèi)星形狀效應(yīng)（satellite signature effect）［4］。數(shù)值模擬和模型分析表明，衛(wèi)星形狀效應(yīng)將給激光衛(wèi)星的觀測數(shù)據(jù)帶來至少幾毫米的偏差［5］。在不考慮地球大氣的影響下，這一效應(yīng)導(dǎo)致衛(wèi)星質(zhì)心改正需要考慮以下3類因素：一是地面發(fā)射系統(tǒng)的發(fā)射激光波長、脈沖能量與波形，這類因素決定了發(fā)射光束中光子在時間和空間上的分布；二是衛(wèi)星角反射器陣列的光學(xué)特性及幾何分布，這類因素確定了發(fā)射光束中同一波陣面的光子被反射器陣列中不同反射器反射的時間差，即確定了脈沖波形的展寬程度，再結(jié)合第一類因素，可以確定返回激光脈沖中光子能量在時間上的分布；三是地面接收系統(tǒng)探測器的光電響應(yīng)特性，這類因素確定了回波光子從到達探測器到轉(zhuǎn)化為光電流而被記錄的時間［6］。3類因素的綜合確定了激光脈沖往返時間的修正值，最終可換算得到衛(wèi)星質(zhì)心改正［7］。

質(zhì)心改正需要精確標(biāo)定，以提高衛(wèi)星測距精度。在諸多激光測距衛(wèi)星中，衛(wèi)星的各項幾何、物理參量較為完善，而且其質(zhì)心改正值也在發(fā)射前通過試驗測定［8］。美國NASA/GSFC和德國地學(xué)中心的研究人員以LAGEOS衛(wèi)星為例，提出了計算質(zhì)心改正的方法和模型［9］，他們討論主要反映在對物理現(xiàn)象的解釋，給出的表達式主要針對具體的物理現(xiàn)象［10］。上海天文臺研究人員從物理過程分析了激光測距脈沖波形的變化，給出了完整的數(shù)學(xué)描述，并討論不同脈沖強度對衛(wèi)星質(zhì)心改正值和測距精度的影響可達10mm以上［11］。對于激光測距衛(wèi)星，其質(zhì)心改正值主要由角反射器分布效應(yīng)引入，其真實值為角反射器陣列的能量反射中心到衛(wèi)星質(zhì)心的距離，與幾何光學(xué)中心不同［12－14］。本文對以 LAGEOS為代表的球形衛(wèi)星和以北斗為代表的導(dǎo)航衛(wèi)星的激光反射器分別進行建模，對角反射器的有效雷達截面面積進行擬合，通過以入射角為隨機變量的概率模型，計算了LAGEOS－1球形激光測距衛(wèi)星的質(zhì)心改正值，并對BeiDou M3衛(wèi)星的多個角反射器組成的激光反射器平面陣列的情況進行了探討。

2 基于概率密度函數(shù)的測地衛(wèi)星質(zhì)心改正模型的建立

因衛(wèi)星形狀效應(yīng)是一種平均效應(yīng)，可使用概率模型模擬，即假設(shè)質(zhì)心改正值是某一隨機變量的平均值，而角反射器的物理特性決定了質(zhì)心改正值可由某一分布函數(shù)確定，且該分布函數(shù)由衛(wèi)星及其反射器的雷達反射特性確定［15］。

2.1 隨機變量的選取及其分布函數(shù)

以LAGEOS－1衛(wèi)星為例，首先確定函數(shù)隨機變量，這里選激光束入射角為隨機變量φ，以LAGEOS－1衛(wèi)星的幾何中心為零點，建立極坐標(biāo)系，X軸為零角度，如圖1所示，有

式中，φ是角坐標(biāo)值；Rs為衛(wèi)星球體的半徑；L為角反射器的正高；n是角反射器的折射率。顯然，X（φ）的平均值就是質(zhì)心改正的值［8］。

圖1 LAGEOS－1/2衛(wèi)星的質(zhì)心改正模型坐標(biāo)示意圖Fig.1 Coordinate for the CoM model of LAGEOS－1/2

2.2 概率密度函數(shù)

根據(jù)雷達反射特性，激光測距衛(wèi)星類似于雷達目標(biāo)，其反射的能量與有效截面積成正比。因此，激光測距衛(wèi)星的有效雷達光學(xué)面積的分布函數(shù)就是隨機變量φ的概率密度函數(shù)［8］。

對于激光測距衛(wèi)星上的每個角反射器，在入射角為φ時的相對有效幾何面積［16］為

式（2）僅適合反射器底部內(nèi)接圓切割的球形激光測距衛(wèi)星，其他的衛(wèi)星形狀不同則不能用該公式。

文獻［9］研究中將式（2）用式（3）擬合有效反射面積

式中，φmax為入射截止角（Cut－off－Angle，CoA），即光線入射到角反射器的最大入射角。不同的截止角在擬合前后的相對有效反射面積［η（φ）］2與［η1（φ）］2的比較如圖2所示。

由圖2的結(jié)果顯示可知，CoA為0.75時擬合程度最好，而在CoA取其他值時，擬合結(jié)果和原式的結(jié)果差別很大，所以式（3）在滿足條件下才能使用。

角反射器一般均勻分布在衛(wèi)星表面，設(shè)總數(shù)為N，假設(shè)每個角反射器在光線零角度入射時的峰值光學(xué)截面為σcc，在入射角為φ時的光學(xué)截面為σeff（φ），整個衛(wèi)星的光學(xué)截面分布函數(shù)為

圖2 相對有效幾何面積比較（n＝1.46，從上到下CoA依次為0.25、0.5、0.75、1）Fig.2 Comparison of relative effective area，n＝1.46，CoA is 0.25，0.5，0.75，1corresponding

部分公式推導(dǎo)見文獻［9］，參數(shù)含義同前。將式（4）歸一化得到φ的概率密度函數(shù)

推導(dǎo)得質(zhì)心改正的計算公式

利用Matlab軟件，采用牛頓－科特斯法積分，所需積分步數(shù)少，效率高，積分精度可達10－6，用擬合方法計算得LAGEOS衛(wèi)星的質(zhì)心改正為242.3mm，用原始推導(dǎo)式計算LAGEOS衛(wèi)星的質(zhì)心改正為240.4mm。

3 BeiDou－M3衛(wèi)星角反射器的質(zhì)心改正模型

在我國自主研發(fā)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的衛(wèi)星星座中，BeiDou－M3衛(wèi)星除了可以主動地發(fā)播導(dǎo)航定位信息外，還由于在它的對地一側(cè)安裝了后向激光反射器，便可被動地實施激光測距觀測。考慮熱效應(yīng)的影響，BeiDou－M3和LAGEOS衛(wèi)星的角反射器底部都是采用內(nèi)接圓切割［16］。但與LAGEOS衛(wèi)星不同的是，BeiDou－M3衛(wèi)星上的激光反射器是由42個角反射器組成的平板陣列［17］，如圖3所示，兩種衛(wèi)星的角反射器的參數(shù)見表1。

圖3 BeiDou－M3上的激光反射器陣列Fig.3 The laser reflector array of BeiDou－M3

表1 LAGEOS衛(wèi)星和北斗衛(wèi)星角反射器結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Comparison of satellite reflector’s parameters between LAGEOS－1/2and BeiDou－M3

當(dāng)光線垂直入射，即入射角i＝0時的有效面積記為S0＝πr2，其中r為內(nèi)接圓的半徑。相對有效面積［16］為

式（8）是對空心角體合作目標(biāo)而言的，如果是實心的話，必須考慮材料的折射率n，此時將相對有效面積公式中的tani換成（文獻［18］），那么實際有效面積S為

對于入射角i的范圍，尚須考慮角反射器的接收角，即光線在非鍍層角反射器的全反射而不受破壞的最大入射角，根據(jù)光學(xué)折射定律和幾何關(guān)系得到［16］

在BeiDou－M3中角反射器的材質(zhì)為熔石英，其折射率n＝1.46，計算得到imax為16.8°。實際中需要考慮能量中心的位置，由于其角反射器陣列設(shè)計的對稱性，陣列所在平面的幾何中心位置即能量中心的水平分量所在位置，那么能量中心在厚度方向的位置由于無法直接測量成為難題。本文定義角反射器底面的法線方向為Z軸方向，即討論Z軸方向的能量中心位置，詳細的衛(wèi)星激光反射器的簡化結(jié)構(gòu)剖面圖如圖4所示。

圖4 BeiDou－M3的激光反射器示意圖Fig.4 Coordinate for the CoM model for BeiDou－M3

式中，i為光線入射角。令能量中心到O－XY平面的距離為CoM′，按幾何關(guān)系有

角反射器陣列有N個角反射器，對于每個角反射器，在入射角度為i時的實際有效面積為

角反射器的相對有效面積和實際有效面積均隨入射角度減小也逐漸減小。

整個激光反射器陣列的光學(xué)截面分布為Nη（i），將其歸一化，即得i的概率密度函數(shù)

進一步，得到Z的概率密度函數(shù)

類比LAGEOS衛(wèi)星，Z方向的改正值為

ILRS官方公布的BeiDou－M3的數(shù)據(jù)中，L＝30mm，h＝24mm，N＝42，n＝1.46，沒有鍍膜，仿真給出的質(zhì)心改正，體現(xiàn)為反射中心在星固坐標(biāo) 系 中 的 坐 標(biāo) 為（－0.432 1m，－0.562 1m，1.133 8m）［19］。通過計算，CoM′值為－4.8mm（Z軸方向）。根據(jù)幾何信息，計算得到新的質(zhì)心改正值，其能量反射中心點在星固坐標(biāo)系中為（－0.432 1m，－0.562 1m，1.112 5m）。由 此 可見，能量中心與幾何中心、質(zhì)心理論值不在同一處。

4 LAGEOS－1和BeiDou－M3衛(wèi)星質(zhì)心改正模型精度的評估

4.1 衛(wèi)星精密定軌的統(tǒng)計動力學(xué)方法

衛(wèi)星精密定軌計算采用基于線性估計技術(shù)的統(tǒng)計動力學(xué)方法。本文選擇LAGEOS－1和Bei－Dou－M3共2顆衛(wèi)星作為研究對象。LAGEOS衛(wèi)星處于中軌道，是專用測地衛(wèi)星，被ILRS列為優(yōu)先觀測目標(biāo)［20］，而BeiDou－M3軌道較高，觀測數(shù)據(jù)少，適當(dāng)延長定軌弧長。利用上海天文臺SHORDER軟件，遵照軌道統(tǒng)計學(xué)原理［21］，對上述衛(wèi)星進行精密定軌，測站坐標(biāo)采用ITRF2000，采用IAU1976歲差模型和IAU1980＋IERS章動模型改正，對觀測量進行潮汐改正（固體潮、極潮、海潮負荷形變造成的臺站位移改正）、對流層折射改正、廣義相對論引力時延改正和衛(wèi)星質(zhì)心改正。由ILRS公布的LAGEOS－1原質(zhì)心改正為0.251m，本文計算的質(zhì)心改正為0.242 7m；BeiDou－M3原質(zhì)心改正為（－0.432 1m，－0.562 1 m，1.133 8m），各測站的現(xiàn)質(zhì)心改正為（－0.432 1 m，－0.562 1m，1.112 5m）。軌道高度的差別導(dǎo)致地球重力場模型GGM01C階數(shù)不同，LAGEOS采用30×30階，而BeiDou－M3采用15×15階；選取LAGEOS數(shù)值積分步長為150s，定軌弧長為3d，而BeiDou－M3數(shù)值積分步長為300 s，定軌弧長為10d；均選取1mm作為它的收斂標(biāo)準(zhǔn)［7］。在解算衛(wèi)星軌道參數(shù)時，將部分運動學(xué)參數(shù)和動力學(xué)參數(shù)作為待估量一起解算，保證觀測法方程求解精度，使各待估參數(shù)之間的相關(guān)性盡量減弱。這兩顆衛(wèi)星的待估參數(shù)包括類阻力系數(shù)、橫向和法向經(jīng)驗加速度、太陽輻射壓系數(shù)和地球自轉(zhuǎn)參數(shù)。

4.2 BeiDou－M3衛(wèi)星的質(zhì)心補償修正

對于LAGEOS－1/2等球形激光測距衛(wèi)星，質(zhì)心修正只需要在原始測距上加上質(zhì)心改正值。但是，BeiDou－M3衛(wèi)星上的激光反射器與衛(wèi)星質(zhì)心不重合，需要把測距數(shù)據(jù)修正到衛(wèi)星質(zhì)心上。一般投影到衛(wèi)星測距方向，衛(wèi)星質(zhì)心補償修正為

式中，［T］是J2000.0地心慣性坐標(biāo)系到星固坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；R、r分別為觀測時刻測站和衛(wèi)星在J2000.0地心慣性坐標(biāo)系中的位置矢量；PL即前面計算得到的質(zhì)心改正，是衛(wèi)星激光反射器在星固坐標(biāo)系中的位置矢量［14］。

4.3 結(jié)果與分析

LAGEOS－1軌道低，觀測數(shù)據(jù)多，本文選擇了2011年4月—2012年12月的SLR數(shù)據(jù)，采用本文獲得的質(zhì)心改正模型和ILRS建議的參數(shù)進行精密軌道確定，來評估模型的精度和效果。由于6月觀測比較多，本文用SLR資料解算了2013年6月BeiDou－M3衛(wèi)星的SLR軌道。內(nèi)符合精度通常以軌道擬合殘差的均方根誤差（root－meansquare error，RMSE）表示，其大小受測量數(shù)據(jù)的數(shù)量和誤差、定軌弧段的長短、定軌過程中待估參數(shù)的數(shù)目和分段方法、數(shù)據(jù)剔除標(biāo)準(zhǔn)以及軌道數(shù)值積分的精度和收斂標(biāo)準(zhǔn)等因素的影響［21］。利用SLR數(shù)據(jù)進行精密軌道確定，本文質(zhì)心改正模型對LAGEOS衛(wèi)星進行SLR精密定軌的軌道殘差約為1.7cm，與ILRS公布值計算結(jié)果精度相當(dāng)，相差在亞毫米級，如圖5所示。

圖5 對LAGEOS－1，采用原質(zhì)心改正時的定軌精度（a）、采用現(xiàn)質(zhì)心改正后的精度（b）以及二者之差（WRMS1－WRMS0）（c）Fig.5 Difference between WRMS1and WRMS0，using ILRS CoM，new CoM and the difference

同時，采用兩種質(zhì)心改正值對BeiDou－M3衛(wèi)星進行了精密定軌，弧段長度為10d，并且重疊5d。統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，兩種質(zhì)心改正值的內(nèi)符合精度均約為1.9cm，相差在亞毫米級。對重疊弧段進行軌道作差，并轉(zhuǎn)換到RTN方向，結(jié)果表明，在數(shù)據(jù)比較充足時R方向的軌道精度相差不超過1m，但是在T方向和N方向軌道差別達到幾十米或兩三百米左右，導(dǎo)致這一現(xiàn)象的原因主要是因為數(shù)據(jù)稀少，測站少且分布不均。同時，圖6給出了兩種質(zhì)心改正值計算的軌道在RTN方向的差，表明反射能量中心與幾何中心的區(qū)別引起的CoM值的變化對衛(wèi)星軌道的徑向方向影響很小，在切向和法向引起軌道2～4m的波動，引起這種現(xiàn)象的原因主要是受非球形衛(wèi)星姿態(tài)的影響。

圖6 兩種CoM值分別確定的軌道在RTN方向的差（NewCoM －ILRSCoM）Fig.6 The difference of the satellite’s orbit using 2 kinds of CoM value

5 結(jié) 論

本文將球形LAGEOS衛(wèi)星和“盒翼”形狀的衛(wèi)星BeiDou－M3的衛(wèi)星質(zhì)心改正概率模型用于SLR精密定軌，定軌內(nèi)符精度均優(yōu)于2cm，證明概率模型的理論正確性。對LAGEOS衛(wèi)星的長期觀測數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，使用ILRS公布的質(zhì)心改正值和概率模型計算的質(zhì)心改正值進行SLR精密定軌，軌道精度相差為亞毫米。在對BeiDou－M3計算分析發(fā)現(xiàn)，軌道重疊弧段的R方向（徑向）的相對誤差保持在亞米級，而T方向、N方向的相對誤差在幾十米甚至更高；利用兩種不同的質(zhì)心改正值進行SLR定軌，對軌道精度的影響達到2m。

因此，對于激光測距的反射中心的位置改正，并非是發(fā)射前標(biāo)定的質(zhì)量中心改正值，而應(yīng)該是由衛(wèi)星幾何形狀等因素決定的能量反射中心改正值，概率模型利用統(tǒng)計平均理論從球型衛(wèi)星移植到非球形衛(wèi)星，結(jié)合物理參數(shù)，討論其質(zhì)心改正與ILRS公布值對定軌精度的影響，結(jié)果符合較好。因此，可以利用概率模型計算其他衛(wèi)星的激光反射器的能量反射中心，即質(zhì)心改正值。

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