吳 佳 施偉辰

(上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，中國 上海201306)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分[1-3]的研究歷史很久遠，要上溯到17世紀(jì)。1695年，在L’Hospital在給Leibniz的著名信中提到了關(guān)于某一函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，當(dāng)n為二分之一時，結(jié)果會是如何，從而產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)階微積分。對于分?jǐn)?shù)階微積分的研究， 首先是在數(shù)學(xué)上，Euler、Laplace、Abel、Fourier、Liouvile 對分?jǐn)?shù)階微積分的研究做了一些工作。但是，第一本關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分理論的專著[4]直到 1974 年才出版。 隨著 Caputo、Riemann、Grünwald、Hadamard、Letnikov、Hardy、Riesz、Marchaud、Littlewood、Ross等數(shù)學(xué)家或物理家對分?jǐn)?shù)階微積分的貢獻，形成了現(xiàn)在被公認的幾種分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的“定義”，其中包括 Riemann-Liouville“定義”和 Caputo“定義”[5]。

在最近幾十年間，對于分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用的研究有了較大的發(fā)展，在科學(xué)及工程中的很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，這些領(lǐng)域包括生物材料[6-7]，控制和機器人[8-9]，粘彈性動力學(xué)[10-11]，量子力學(xué)[12-13]等等。 在這些眾多涉及到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論應(yīng)用的文獻中，都是直接引用上述“定義”的說法。

本文經(jīng)仔細回顧R-L和Caputo的所謂“定義”，發(fā)現(xiàn)它們都是源自于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（0＜α＜ 1 ）而得到的兩個不同的表達式，含義相同并且互為等價。因此，我們認為，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義仍然為（0＜α＜ 1 ）。 而RL和Caputo或者其他的所謂“定義”應(yīng)稱作R-L和Caputo等的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計算公式。

1 數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計算公式

對任何自然數(shù)n有

對連續(xù)函數(shù)f（t），反復(fù)應(yīng)用分部積分法可得

當(dāng) n＝2 時，有

假設(shè) n=k-1 時式（3）成立，則

從而當(dāng)時，

因此式（7）成立。

對于非正整數(shù)的正數(shù)a＞0，記[a]為不超過a的最大整數(shù)，取m＝[a]+1。令

顯然，由式（8）我們知道式（9）和式（10）是等價的，他們只是表達形式不同，含義相同。 所以，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義應(yīng)該是（0＜α＜ 1 ），而式（9）和式（10）只是兩種不同的計算表達式。把式（9）和式（10）稱作“定義”并不妥當(dāng)，而把它們稱作計算公式更為貼切。

由此可見，或許可能還有很多其他所謂的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的“定義”，但如果都是源自于式，他們也只是不同的計算公式，而非定義。

由于R-L和Caputo的所謂 “定義”都是是等價的源于（0＜α＜ 1 ），所以被稱作“定義”并不妥當(dāng)。 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義是（0＜α＜ ）1 ，而R-L和Caputo的所謂“定義”應(yīng)該改稱為R-L和Caputo的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的計算公式。

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