張 巖 任偉建 唐國(guó)維

(東北石油大學(xué) a.計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院；b.電氣信息工程學(xué)院，黑龍江 大慶 163318)

近年來(lái)基于正交變換的稀疏表示方法大多采用離散余弦變換、小波變換、Contourlet變換及Curvelet變換等。離散余弦變換是一種全局變換，不能很好地描述圖像的局部特征。傳統(tǒng)的小波變換能夠稀疏表示一維點(diǎn)狀奇異特征，有效捕獲點(diǎn)狀奇異特征，因此被廣泛應(yīng)用于信號(hào)特征提取及信號(hào)去噪等領(lǐng)域[1，2]，但是圖像中包含的紋理信息通常是以曲線狀線條為基本特征，具有線狀奇異性，所以不具備方向識(shí)別性的小波變換不是理想選擇[3]。Contourlet變換將多尺度分析和方向分析同時(shí)進(jìn)行，其支撐區(qū)間是具有隨尺度變化長(zhǎng)寬比的長(zhǎng)條形結(jié)構(gòu)，具有方向性和各向異性，Contourlet變換獲取圖像邊緣的能力相對(duì)較強(qiáng)，但描述曲線狀紋理并不理想。Curvelet是一種具有方向性的各向異性小波[4]，其曲線狀基元和圖像中曲線狀紋理的特征類似，因此可以更有效地獲取圖像的紋理特征，實(shí)現(xiàn)稀疏表示。

文獻(xiàn)[5，6]提出，壓縮感知(Compressive Sensing，CS)理論根據(jù)信號(hào)本身的稀疏性與觀測(cè)方式的非相關(guān)性，只要信號(hào)在某個(gè)變換域是稀疏或可壓縮的，就可以用一個(gè)與稀疏表示不相關(guān)的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行降維觀測(cè)，并在接收端使用復(fù)雜的重構(gòu)算法以較高的概率通過(guò)其低維觀測(cè)值高精度重構(gòu)原始信號(hào)[7]，突破了奈奎斯特采樣定理的瓶頸，為在圖像采集的同時(shí)壓縮數(shù)據(jù)提供了理論依據(jù)。但是，目前在基于Curvelet變換的壓縮感知重構(gòu)方法中存在兩個(gè)主要問(wèn)題[8～10]：Curvelet變換雖然能夠捕捉圖像的曲線狀紋理特征，在低頻區(qū)域保留圖像大部分的能量，但高頻仍存在大量細(xì)節(jié)信息，而且各尺度之間的Curvelet變換系數(shù)相關(guān)性較強(qiáng)，當(dāng)前基于Curvelet變換的圖像CS處理方法忽略了利用Curvelet變換各尺度之間系數(shù)的相關(guān)性來(lái)保持高頻細(xì)節(jié)信息；傳統(tǒng)的求解圖像CS重構(gòu)的基追蹤算法計(jì)算復(fù)雜度較高，即使處理常見(jiàn)尺寸的二維信號(hào)也非常耗時(shí)，而且二維圖像的CS觀測(cè)矩陣規(guī)模隨原圖像的尺寸增大而增加，不僅提高了存儲(chǔ)和計(jì)算處理的成本，還使CS過(guò)程受計(jì)算機(jī)硬件條件的限制。為此，筆者提出一種基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構(gòu)算法以解決上述問(wèn)題。

1.1 Curvelet

Candès E J和Donoho D L提出了兩種基于第二代Curvelet變換理論的快速離散Curvelet變換方法，分別是非均勻空間抽樣的二維FFT算法和Wrap算法[11]。

第二代Curvelet變換直接在連續(xù)域進(jìn)行定義，連續(xù)Curvelet變換中頻率窗Uj將頻域光滑地分成角度不同的環(huán)形，j為尺度，如圖1所示，陰影部分表示一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)楔形窗，為連續(xù)Curvelet變換的支撐區(qū)間。

圖1 連續(xù)Curvelet變換頻率空間分塊圖

圖2 離散Curvelet變換頻率空間分塊圖

(1)

式中ω——傅里葉變換后的頻域參量；

Φ——一維低通窗口的內(nèi)積，各尺度低通窗口對(duì)應(yīng)于圖2中大小不同的笛卡爾方形窗。

二維圖像x∈L2(R2)經(jīng)過(guò)Curvelet變換，可表示為：

(2)

式中Cj,l,k——Curvelet基函數(shù)；

〈x,Cj,l,k〉——Curvelet變換后尺度為j、方向?yàn)閘、位置k=(k1,k2)的系數(shù)。

1.2 多尺度相關(guān)性分析

對(duì)一幅512×512像素的babarla圖像進(jìn)行6級(jí)Curvelet分解，得到如圖3所示的系數(shù)分布圖。圖中灰色條帶是系數(shù)的間隔帶，黑色局部出現(xiàn)亮點(diǎn)的條帶是真實(shí)Curvelet系數(shù)條帶?？梢钥闯?，沿方形窗由內(nèi)而外Curvelet變換尺度依次增加，正中心包含了低頻信息，最外層方形窗是最精細(xì)尺度的變換系數(shù)?？梢?jiàn)Curvelet變換可以將大部分能量集中在第一級(jí)尺度，在2～6級(jí)變換尺度上，高頻子帶大部分系數(shù)值較小，并且在父級(jí)尺度下值較大的系數(shù)，在當(dāng)前尺度下值也相應(yīng)較大，各尺度之間相關(guān)性比較明顯。

圖3 Curvelet各尺度系數(shù)分布

Curvelet變換后的1～4級(jí)尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)見(jiàn)表1，每一級(jí)尺度j由多個(gè)方向l的系數(shù)組成。變換后得到的Curvelet系數(shù)以C{j}{l}(k1,k2)形式表示，其中j表示尺度，l表示方向，(k1,k2)表示尺度j上第l個(gè)方向上的坐標(biāo)。在Curvelet變換各尺度之間對(duì)應(yīng)方向上系數(shù)矩陣的尺寸不具有規(guī)則的倍數(shù)關(guān)系，與小波變換域多尺度之間的變換系數(shù)具有明確四叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的父子關(guān)系分布有很大不同。

表1 Curvelet變換后的1～4級(jí)尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)

2 圖像的分塊隨機(jī)觀測(cè)模型

文獻(xiàn)[12]首次提出基于分塊壓縮感知(Block Compressed Sensing，BCS)采樣方法，圖像矩陣x在采樣過(guò)程中，首先被劃分成不重疊的s個(gè)B×B子矩陣塊，然后用相同的觀測(cè)矩陣Φm×n對(duì)每個(gè)子矩陣塊進(jìn)行獨(dú)立觀測(cè)，得到觀測(cè)向量集合：

yi|yi=Φm×nxi,i=1,2,…,s

(3)

3 圖像的重構(gòu)模型

在圖像的CS應(yīng)用中，求解基追蹤優(yōu)化的主要問(wèn)題在于基追蹤算法計(jì)算復(fù)雜度高，即使處理常見(jiàn)尺寸的圖像也非常耗時(shí)，于是降低計(jì)算復(fù)雜度成為眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。近年來(lái)稀疏信號(hào)匹配追蹤、正交匹配追蹤及梯度投影等算法被先后提出[13～15]，這些算法雖然可以大幅降低計(jì)算復(fù)雜度，卻是以降低重構(gòu)信號(hào)質(zhì)量為代價(jià)的。文獻(xiàn)[16]提出光滑Landweber投影重構(gòu)的BCS算法，其具有計(jì)算復(fù)雜度低、重構(gòu)圖像質(zhì)量高于眾多基追蹤算法的優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[17]基于小波變換各尺度之間與尺度內(nèi)部的相關(guān)性，提出雙變量收縮閾值迭代模型并獲得了較好的去噪效果。雙變量收縮閾值的迭代模型如下：

(4)

其中，Round表示四舍五入運(yùn)算，┌ ┒表示向上取整運(yùn)算。由Curvelet變換系數(shù)分布可得如果父級(jí)尺度的系數(shù)ξp值大，則子級(jí)尺度系數(shù)ξ值也相應(yīng)較大，多尺度之間相關(guān)性較強(qiáng)。利用ξp可以較好地預(yù)測(cè)ξ值，從而能更好地保留細(xì)節(jié)信息，濾除迭代重構(gòu)過(guò)程中的噪聲。筆者提出的基于Curvelet稀疏表示各尺度間系數(shù)相關(guān)性的雙變量收縮閾值的Landweber重構(gòu)迭代式為：

(7)

(8)

式中C——Curvelet變換；

CT——Curvelet反變換；

T——閾值收縮算子；

x(k)——估計(jì)值經(jīng)過(guò)閾值比較的調(diào)整值；

y——圖像觀測(cè)數(shù)據(jù)；

φ——測(cè)量矩陣；

γ——比例因子。

CS重構(gòu)算法的具體步驟如下：

a. 初始化，給定迭代停止參數(shù)τ、圖像分塊觀測(cè)矩陣φ、圖像觀測(cè)數(shù)據(jù)y，設(shè)迭代計(jì)數(shù)器k=0、Curvelet變換自適應(yīng)閾值收縮算子為T、λ初值為λ0，給定η的初值；

d. 多尺度雙變量收縮閾值處理，V(k+1)=T(D(k+1))，其中V(k+1)為k+1次迭代系數(shù)閾值調(diào)整矩陣；

e. Curvelet反變換，xk+1=CT(V(k+1))，其中CT為Curvelet反變換；

f. 如果‖x(k+1)-x(k)‖2>τ轉(zhuǎn)到步驟b，否則輸出重構(gòu)圖像x=x(k+1)；

g. 算法結(jié)束。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對(duì)512×512像素的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lenna和Barbara分別采用基于Curvelet稀疏表示的圖像分塊壓縮感知重構(gòu)算法、DWT、Contourlet和DCT進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，圖5、6分別給出了重構(gòu)效果?？梢钥闯鯠WT重構(gòu)結(jié)果中的紋理區(qū)域振鈴現(xiàn)象較嚴(yán)重；Contourlet具有獲取兩個(gè)信號(hào)幾何輪廓特征的功能，結(jié)果中的紋理區(qū)域較清晰；DCT重構(gòu)結(jié)果中的紋理區(qū)域模糊現(xiàn)象較嚴(yán)重；而筆者所提算法具有多尺度和多方向的識(shí)別能力，有利于圖像中曲線狀紋理的分辨，結(jié)合多尺度雙變量收縮閾值迭代能夠獲得更好的重構(gòu)圖像效果。

圖4 Lenna圖像重構(gòu)效果對(duì)比

圖5 Barbara圖像重構(gòu)效果對(duì)比

表2分別給出了采樣率為0.3時(shí)，上述4種算法重構(gòu)效果的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio，PSNR)結(jié)果?？梢?jiàn)筆者所提算法重構(gòu)效果均高于其他3種算法，Lenna圖像紋理區(qū)域相對(duì)較少，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高0.74dB；Barbara紋理區(qū)域相對(duì)較多，筆者所提算法的PSNR比其他算法平均提高1.00dB。這都驗(yàn)證了筆者所提算法的有效性與穩(wěn)定性。

表2 不同算法的PSNR數(shù)值比較結(jié)果 dB

5 結(jié)束語(yǔ)

為了研究圖像的稀疏表示與重構(gòu)問(wèn)題，筆者提出了一種基于Curvelet稀疏表示的圖像壓縮感知重構(gòu)算法，利用Curvelet變換優(yōu)越的多尺度幾何分析能力對(duì)圖像曲線狀紋理進(jìn)行稀疏表示，結(jié)合BCS技術(shù)降低隨機(jī)觀測(cè)計(jì)算的復(fù)雜度。在圖像重構(gòu)過(guò)程中設(shè)計(jì)了基于Curvelet變換高頻子帶系數(shù)之間相關(guān)性的雙變量收縮閾值迭代重構(gòu)算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證實(shí)筆者所提算法可以很好地重構(gòu)圖像，在同一采樣率下能夠更好地保持圖像的細(xì)節(jié)信息。

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