許澤剛，謝少軍

(1.常州工學(xué)院，常州213002;2.南京航空航天大學(xué)，南京210016)

0 引 言

磁通切換型混合勵磁電機(jī)［1－2］(以下簡稱FSHM)繼承了永磁磁通切換電機(jī)的諸多優(yōu)點(diǎn)，如轉(zhuǎn)子上既無永磁體，也無繞組，機(jī)械強(qiáng)度高;永磁體切向安置于定子側(cè)，易于散熱和冷卻，適合高速運(yùn)行;聚磁效應(yīng)和定子磁鏈雙極性，有助于提升功率密度。通過引入輔助電勵磁繞組，有效拓寬了永磁電機(jī)氣隙磁場調(diào)節(jié)范圍，在風(fēng)力發(fā)電、航空航天和電動汽車等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用前景。

依據(jù)是否存在連接“C”型分瓣定子的鐵心磁橋，可將FSHM 分為有磁橋［1，4，6］和無磁橋［2，3，5］兩種單元結(jié)構(gòu)。無導(dǎo)磁磁橋FSHM 具有永磁體利用率高的特點(diǎn)，而導(dǎo)磁磁橋?yàn)殡妱畲爬@組提供了額外的并聯(lián)磁分路，有助于以較小的勵磁磁動勢獲得較大的調(diào)磁范圍。

電感是反映電機(jī)靜態(tài)特性的重要參數(shù)，也是建立FSHM 模型的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。文獻(xiàn)［7］基于有限元法研究了無橋式FSHM 的電樞繞組電感、勵磁繞組電感以及勵磁繞組與電樞繞組之間的互感，鑒于電勵磁磁路及電樞反應(yīng)磁路經(jīng)由永磁體頂部的空氣磁通管閉合，因此，勵磁電流及電樞電流對電感的影響相對較小。磁橋式FSHM 為兼顧永磁體利用率和電勵磁調(diào)磁范圍，鐵心磁橋初始磁密(永磁磁動勢單獨(dú)作用)宜設(shè)置在鐵心磁化曲線拐點(diǎn)的附近［8］，鐵心磁橋段飽和程度的變化給電感參數(shù)的計(jì)算增加了不確定因素。

多域系統(tǒng)仿真軟件提供了電機(jī)本體有限元模型與外電路模型的場路耦合仿真分析功能，可較為精確地研究系統(tǒng)性能［9－10］，但計(jì)算和存儲代價(jià)相對較高，因此希望通過全系統(tǒng)聯(lián)合仿真實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的參數(shù)整定，進(jìn)而優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計(jì)存在較大難度。

圖1 三相12/10 極FSHM 電機(jī)剖面圖

針對上述問題，本文以如圖1所示的三相12/10極磁橋式FSHM 為例，首先建立定子坐標(biāo)系下的時(shí)變電感電機(jī)模型和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的交直軸電感電機(jī)模型，通過二維有限元分析得到電感隨勵磁電流和電樞電流變化的規(guī)律，接著利用適當(dāng)?shù)那鏀M合技術(shù)生成便于計(jì)算機(jī)快速執(zhí)行的電感曲面方程。最后通過時(shí)變電感經(jīng)坐標(biāo)變換得到交直軸電感與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的分析結(jié)果對照，以及電機(jī)外特性的仿真與實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了磁橋式FSHM 電感分析與建模的正確性。

1 電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

Hoang 提出永磁磁通切換電機(jī)時(shí)就將它歸為永磁同步電機(jī)［11］，F(xiàn)SHM 雖然增加了輔助電勵磁繞組，但磁鏈仍具有良好的正弦度［8］，因此可按正弦波電機(jī)的分析方法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。在描述和研究磁通切換電機(jī)過程中，頻繁用到的是三相靜止坐標(biāo)系和dq 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。

1.1 三相靜止坐標(biāo)系下的電壓方程

假設(shè)各相電樞繞組電阻值相等，同時(shí)忽略導(dǎo)體的集膚效應(yīng)和溫度效應(yīng)，三相靜止坐標(biāo)系下的電壓方程可表示:

式中:Rs，Rf分別為電樞繞組與勵磁繞組的電阻;Ljj為各繞組的自感，Ljk為各繞組間的互感;uj和ij分別為各繞組的端電壓及電流(j= a，b，c，f;k = a，b，c，f);繞組間的互感系數(shù)是可逆的，即Lab=Lba，Laf=Lfa;p 為微分算子d/dt;θe和ωe分別為轉(zhuǎn)子位置電角度、轉(zhuǎn)子電角速度。

1.2 dq 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程

如采用坐標(biāo)變換前后功率守恒的變換矩陣:

并忽略系統(tǒng)的不對稱性以及電壓、電流的零序分量，三相FSHM 在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電壓方程可以表示為:

式中:Ld，Lq分別為電樞繞組的交直軸電感;ψm0和Lev分別為永磁空載磁鏈的基波幅值，相繞組與勵磁繞組間互感的基波幅值。

2 三相靜止坐標(biāo)系下的電感特性與建模

2.1 時(shí)變電感的計(jì)算模型

以A 相為例，在電樞繞組中注入電流Ia，采用磁鏈法的電樞繞組自感Laa計(jì)算模型為:

式中:Nph為每相電樞繞組線圈匝數(shù)，Φa(HM，Ia=0)和Φa(HM，Ia)分別為相繞組的空載磁通，電樞磁場與永磁、電勵磁磁動勢共同作用下的合成磁通。

同理，與勵磁電流If對應(yīng)的電勵磁繞組自感Lff，由A 相電樞電流產(chǎn)生的A 相與B 相電樞繞組之間的互感Lba，以及A 相電樞繞組與勵磁繞組之間的互感Lfa可分別表示:

式中:Nf為電勵磁繞組線圈匝數(shù)，Φaf(PM，If=0)和Φaf(HM，If)分別代表空載條件下勵磁電流If作用前后的永磁磁通以及混合勵磁磁通;Φab(HM，Ia=0)，Φab(HM，Ia)和Φaf(HM，Ia=0)，Φaf(HM，Ia)分別表示相電流Ia作用前后，B 相繞組中的空載磁通與合成磁通，以及勵磁繞組中的空載磁通與合成磁通。

2.2 時(shí)變電感參數(shù)的計(jì)算與分析

永磁磁動勢單獨(dú)作用與額定勵磁(If= ±5 A)工作狀態(tài)下的空載電感曲線頻譜分析結(jié)果如表1 所示。需要說明的是，為便于建模分析，表1 僅給出了對總諧波含量影響較大的最低次諧波分量。由表1可以看出，相繞組自感曲線與其互感曲線的2 倍頻分量大小接近，與理想同步電機(jī)特征吻合;相繞組與勵磁繞組間互感保持了良好的正弦度，表現(xiàn)為最低次諧波與基波分量幅值比均不超過2%。

表1 自感與互感的頻譜分析結(jié)果

Spline 插值法既保留了分段(低次)多項(xiàng)式插值的各種優(yōu)點(diǎn)，又具有較高的預(yù)測精度［12］。圖2 給出了正負(fù)額定勵磁電流范圍內(nèi)，采用靜態(tài)場分析得到的If(勵磁電流)－Lev(Laf曲線基波幅值)樣本數(shù)據(jù)，以及利用Spline 插值法得到的擬合曲線。在對步長為1 A 的勵磁電流掃描結(jié)果進(jìn)行Spline 插值時(shí)，If=4.5 A 附近出現(xiàn)了拐點(diǎn)，后經(jīng)補(bǔ)充靜態(tài)仿真數(shù)據(jù)驗(yàn)證了Spline 插值法預(yù)測趨勢的正確性，體現(xiàn)了該方法對研究的指導(dǎo)價(jià)值。

圖2 Lev與勵磁電流關(guān)系曲線

插值精度與計(jì)算時(shí)間是一對矛盾，為保證電感函數(shù)的連續(xù)性，采用高階多項(xiàng)式對Spline 輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。鑒于Lev曲線的擬合精度是影響發(fā)電機(jī)空載反電動勢、外特性仿真結(jié)果正確性的關(guān)鍵因素，同時(shí)為便于快速仿真，搜索發(fā)現(xiàn)8 次多項(xiàng)式的最大相對誤差可接近3%，對應(yīng)的擬合表達(dá)式:

為驗(yàn)證基于空載狀態(tài)時(shí)變電感搭建的電機(jī)建模的合理性，表2 給出了上述磁橋式FSHM 在1 200 r/min，負(fù)載采用星型連接方式，分別基于式(1)所建的MATLAB 仿真模型與二維瞬態(tài)場分析得到的負(fù)載端電壓。表2 顯示，永磁磁動勢單獨(dú)作用與額定去磁工作狀態(tài)(If=－5 A)下兩種計(jì)算方法得到的結(jié)果基本吻合，以額定電流附近的工作點(diǎn)(表中以粗體示出)為例，相對誤差分別僅有2. 67%和2.02%;而額定增磁工作狀態(tài)(If=5 A)下的計(jì)算結(jié)果明顯高于有限元仿真數(shù)據(jù)，相對誤差高達(dá)11.86%，并且隨負(fù)載的增加有進(jìn)一步擴(kuò)大的趨勢。究其原因，當(dāng)勵磁電流較小時(shí)，磁橋段處于準(zhǔn)飽和或深度飽和狀態(tài)，因此電樞反應(yīng)效果不明顯;隨著勵磁電流的增加，磁橋段飽和程度不斷較低，電樞反應(yīng)去磁效果逐漸顯現(xiàn)并導(dǎo)致電感值上升，由此忽略相電流對電感影響得到的負(fù)載端電壓明顯偏高。

表2 時(shí)變電感建模與瞬態(tài)場計(jì)算結(jié)果對比

3 dq 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的電感特性

3.1 轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系下的電感計(jì)算

按照直軸電感Ld定義，依據(jù)d 軸磁動勢單獨(dú)作用下的d 軸磁鏈ψd與d 軸電流id計(jì)算求得;同理，按照交軸電感Lq定義，依據(jù)q 軸磁動勢單獨(dú)作用下的q 軸磁鏈ψq與q 軸電流iq計(jì)算求得［13］。直、交軸電感的計(jì)算公式:

式中:ψd(HM，id=0)和ψd(HM，id)分別代表id作用前后d 軸的空載磁鏈以及合成磁鏈;ψq(HM，iq)代表永磁體與iq共同作用產(chǎn)生的q 軸合成磁鏈。

將轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)到d 軸軸線與A 相磁鏈最大位置相重合(對應(yīng)θe=0°)，在相繞組中施加ia=Im，ib=ic=－Im/2，其中Im為相電流峰值。把θe=0°代入式(2)，可得:

可見，θe=0°位置只有直軸電流存在，而交軸電流為零的。此時(shí)，直軸磁鏈:

式中:三相磁鏈ψa，ψb，ψc可由靜磁場求得。分別計(jì)算直軸電流作用前后的ψd(HM，id=0)和ψd(HM，id)，再結(jié)合式(13)即可得Ld。交軸電感的求解過程與此類似，只需將轉(zhuǎn)子位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)機(jī)械角度9°(對應(yīng)θe=－90°)。

3.2 直軸電感的分析與計(jì)算

為定性分析直軸電感Ld隨勵磁電流If和直軸電流Id變化的規(guī)律，圖3 分別給出了直軸電感求取位置(即A 相磁鏈最大位置)，直軸電流單獨(dú)作用、以及混合勵磁去磁、永磁磁動勢單獨(dú)作用、混合勵磁增磁工作狀態(tài)下的空載磁場分布圖。

圖4 直軸電感的三維曲面

圖3 直軸電感求取位置磁力線分布圖

3.3 交軸電感的分析與計(jì)算

由圖5(a)的交軸電流單獨(dú)作用的磁力線分布圖可知，交軸電流磁力線通路中，以虛線圈出的兩處磁橋段磁力線密集，對空載電磁場影響的也更為突出。對照圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)發(fā)現(xiàn)，以虛線圈出的對應(yīng)磁橋段磁力線也呈密集分布，由此Iq對Lq的影響可忽略不計(jì)。

混合勵磁去磁(見圖3(b))與永磁磁動勢單獨(dú)作用(見圖3(c))模式中，以點(diǎn)劃線圈出的區(qū)域內(nèi)磁力線密集，導(dǎo)磁磁橋處于磁化曲線準(zhǔn)飽和或深度飽和區(qū)(呈現(xiàn)高磁阻狀態(tài))，因此，Id對Ld的影響并不明顯。同時(shí)，去磁工作狀態(tài)磁橋部分磁力線密度高于初始值，相應(yīng)Ld值更小。

若電樞繞組中通入如圖3(a)所示極性的Id(對應(yīng)Id正方向)，將導(dǎo)致以虛線圈出的圖3(d)定轉(zhuǎn)子齒端飽和程度降低，單就這點(diǎn)而言，有助于提升Ld;另一方面，因額定增磁工作模式下的磁橋段飽和程度相對較低，并且上述兩圖中點(diǎn)劃線圈出區(qū)域磁通方向相反，電樞反應(yīng)促使磁橋段飽和程度上升，導(dǎo)致Ld降低。如改變Id極性，則定轉(zhuǎn)子齒端與磁橋段飽和程度的變化趨勢互換。這意味著，混合勵磁增磁工作模式下，Id對Ld的綜合影響效果取決于各鐵心單元的空載磁密及施加的直軸電流，存在不確定性。

分別改變If(－5 A≤If≤5 A)和Id(－6 A≤Id≤6 A)，其中，直軸電流掃描范圍對應(yīng)1.5 倍峰值電樞電流，得到如圖4 所示的直軸電感三維非線性曲面。圖4 顯示，當(dāng)If≤1 A 時(shí)，直軸電感隨勵磁電流的增加呈單調(diào)上升趨勢，空間網(wǎng)格接近矩形分布，體現(xiàn)出直軸電感對直軸電流的變化不敏感;而當(dāng)If＞1 A 時(shí)曲面形狀不規(guī)整，并且曲面變化趨勢與基于磁力線分布圖得到的分析結(jié)果一致。

接著分析交軸電感Lq與勵磁電流If變化的規(guī)律。隨著電勵磁電流的增加，經(jīng)由定子磁橋段自閉合曲線的磁力線數(shù)量不斷減少，而經(jīng)由永磁體和氣隙構(gòu)成磁力線回路的數(shù)量則不斷增加。由于硅鋼片磁導(dǎo)率大于空氣磁導(dǎo)率，因此磁橋段磁力線密度總體呈下降趨勢，表現(xiàn)為Lq隨If的增加而增加。

同理，分別改變If(－5 A≤If≤5 A)和Iq(－6 A≤Id≤6 A)，圖6 給出了不同工況下交軸電感的三維非線性曲面。圖6 中空間網(wǎng)格接近矩形分布所體現(xiàn)的Lq對Iq變化不敏感，以及三維曲面隨勵磁電流增加而單調(diào)上升的特性和磁力線分布圖得到的分析結(jié)果一致。

3.4 交直軸電感擬合

為評估相同勵磁電流作用下，交直軸電流變化對交直軸電感值的影響效果，定義波動范圍:

式中:MAX，MEAN 分別為最大值函數(shù)和平均值函數(shù);n 為反映交直軸電流變化的樣本數(shù)據(jù)量。

圖7(a)給出了各勵磁電流下的交軸電感波動范圍，Lq的最大波動系數(shù)約為5.7%，因此，Lq可視作僅與If存在關(guān)聯(lián)。進(jìn)一步采用與Lev－If曲線相同的擬合方法，搜索發(fā)現(xiàn)選用四次多項(xiàng)式對不同勵磁電流下的交軸電感平均值進(jìn)行擬合，最大相對誤差即可控制在3%以內(nèi)。交軸電感曲面擬合表達(dá)式:

圖7(b)顯示Ld的最大波動系數(shù)高達(dá)62%，需要采用適當(dāng)?shù)那鏀M合技術(shù)生成便于計(jì)算機(jī)快速執(zhí)行的曲面方程?；谧钚《朔〝M合曲線方法改進(jìn)并推廣至三維空間擬合曲面的雙三次多項(xiàng)式，具有較高的逼近精度［14－15］。在二維曲線擬合中，為避免高次多項(xiàng)式擬合過程中可能出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，已有不少學(xué)者嘗試采用分段擬合方法［16－17］。本文通過分析電感波動范圍確定合適的分段節(jié)點(diǎn)，并利用二維曲線與雙三次多項(xiàng)式相結(jié)合的方法來實(shí)現(xiàn)直軸電感的三維非線性曲面的擬合。

圖7 交直軸電感波動范圍

當(dāng)If≤1 A 時(shí)，直軸電感Ld的最大波動系數(shù)約為5.1%，可忽略Id對Ld的影響，由此確定If=1 A為分段節(jié)點(diǎn)。與此對應(yīng)的直軸電感曲面擬合表達(dá)式:

4 仿真與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 交直軸電感仿真驗(yàn)證

圖8 和圖9 比較了三種工況下分別采用三相電感矩陣L(a，b，c)經(jīng)坐標(biāo)變換得到的交直軸電感，以及三維空間散亂數(shù)據(jù)點(diǎn)經(jīng)曲面方程擬合得到的交直軸電感。對比結(jié)果顯示，不論是永磁磁動勢單獨(dú)作用、混合勵磁去磁，或是混合勵磁增磁工作模式，兩種方法得到的計(jì)算都比較接近，驗(yàn)證了曲面擬合方程具有較高的逼近精度，為電機(jī)建模創(chuàng)造了條件。

4.2 負(fù)載端電壓仿真研究與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過對FSHM 負(fù)載特性的仿真與研究，來驗(yàn)證三維電感曲線擬合方法的合理性以及電機(jī)模型的準(zhǔn)確性。電流檢測采用25 A 磁平衡霍爾電流傳感器(匝數(shù)比5∶ 1 000)，采樣電阻取為75 Ω，示波器探頭選擇×10 檔，相當(dāng)于將電樞電流放大至3.75 倍。在同一臺計(jì)算機(jī)上運(yùn)行二維有限元瞬態(tài)場求解器與Simulink 仿真模型，求解步長均設(shè)為20 μs，同計(jì)算一個(gè)電周期，前者約需30 min，后者僅需0.2 s。圖10 給出了轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，星型連接電阻為60 Ω，三種勵磁模式下的單相負(fù)載實(shí)測波形與仿真結(jié)果，對比結(jié)果顯示相電壓和相電流波形均近似正弦波，幅值和頻率與仿真數(shù)據(jù)相一致，表明依據(jù)交直軸電感建立的轉(zhuǎn)子坐標(biāo)下的Simulink 模型可以較為準(zhǔn)確地反映電機(jī)的輸出特性，并且大幅度降低電機(jī)特性分析的計(jì)算成本。

圖10 負(fù)載端電壓實(shí)驗(yàn)與仿真波形比較

5 結(jié) 語

在建立三相靜止坐標(biāo)系下磁鏈和電壓方程的基礎(chǔ)上，采用磁鏈法計(jì)算了時(shí)變電感。分析了鐵心磁橋飽和程度與電感參數(shù)的關(guān)系，指出磁橋式FSHM不能忽略電樞反應(yīng)，相應(yīng)由三相電感矩陣經(jīng)坐標(biāo)變換得到交直軸電感的方法存在較大難度。在對勵磁電流和交直軸電流分別掃描的基礎(chǔ)上，針對交直軸電感的非線性特點(diǎn)，依據(jù)電感曲線對電樞反應(yīng)敏感性的差異，采用二維擬合與雙三次多項(xiàng)式擬合相結(jié)合的方法構(gòu)造了電感與多重激勵電流的曲面方程，并據(jù)此搭建了Simulink 仿真模型。與有限元瞬態(tài)場仿真結(jié)果、實(shí)測波形對比顯示，所建曲面方程描述的三維電感具有較高的逼近精度;基于該電感曲面方程建立的電機(jī)仿真模型可較好地反映磁橋式FSHM的實(shí)際工作特性，并具有運(yùn)行速度快、準(zhǔn)確度高的特點(diǎn)。

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