李偉偉，王 莉，張 琳，劉 進

（1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051；2.解放軍95425部隊，云南 曲靖 655000）

0 引言

支持向量機（SVM）是基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的新學(xué)習(xí)方法［1］，最初用于解決二值分類問題，但現(xiàn)實中多分類問題居多。因此，將二值分類算法推廣到多分類領(lǐng)域是當(dāng)前SVM 研究的重要內(nèi)容之一［2］。SVM 的多分類擴展策略主要分兩大類：一是整體優(yōu)化法，將所有SVM 參數(shù)優(yōu)化在一個公式中，該方法求解復(fù)雜，解決多分類問題很少應(yīng)用；二是組合學(xué)習(xí)法，將SVM 按不同策略組合成多類分類器，例如一對多法、一對一法、決策導(dǎo)向無環(huán)圖法和二叉樹法等［3］。一對多法運算量過大，一對一法所需SVM數(shù)目過多，決策導(dǎo)向無環(huán)圖法存在決策偏好的問題，二叉樹法結(jié)構(gòu)的設(shè)計會影響多類分類器的分類精度［4］。

目前，對于二叉樹支持向量機算法結(jié)構(gòu)設(shè)計的問題已有一定研究。文獻［5-6］根據(jù)各類樣本在高維特征空間的分布情況設(shè)計分類順序，分布范圍廣的類型首先被識別，就是先把樣本空間中最容易識別的類型識別出來。另外，一種依賴類別優(yōu)先級的多類分類器可根據(jù)各類型發(fā)生頻率的高低排序確定二叉樹的結(jié)構(gòu)，即發(fā)生概率較高的類別先被識別出來。但上述算法僅考慮了某一種影響因子對分類精度的影響，不夠客觀、全面，因此分類器的結(jié)構(gòu)不能使分類精度達到最優(yōu)。本文針對上述問題，提出了將AHP和二叉樹SVM 相結(jié)合的多故障分類算法。

1 AHP和二叉樹SVM 的基本原理

1.1 AHP

層 次 分 析 法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是美國著名運籌學(xué)家Satty 等人于20 世紀(jì)70年代提出的一種定性與定量分析相結(jié)合的多準(zhǔn)則決策分析方法?；舅枷胧前褯Q策問題的相關(guān)元素按照支配關(guān)系形成層次結(jié)構(gòu)，將評估目標(biāo)分解成一個多級指標(biāo)，并通過引入1～9的比例標(biāo)度對各個因素的相對重要性給出判斷［7］。表1 為不同比例標(biāo)度的含義。

表1 判斷矩陣的比例標(biāo)度Tab.1 Proportion scale of judgment matrix

層次分析法通過將復(fù)雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，得出不同方案的權(quán)重，為最佳方案的選擇提供依據(jù)［8］。實施步驟主要有明確問題，建立遞階層次結(jié)構(gòu)，構(gòu)造判斷矩陣，計算權(quán)重值，進行一致性檢驗，得到各方案對總目標(biāo)的權(quán)重值。

層次分析法不僅能夠綜合考慮評價體系中各層因素的重要程度使各指標(biāo)權(quán)重趨于合理，而且更大的優(yōu)勢在于能夠充分利用專家的主觀意見。

1.2 二叉樹SVM

二叉樹SVM 分類原理如下：首先通過構(gòu)造二叉樹將多分類問題分解成一系列二值分類問題，然后使用SVM 實現(xiàn)二分類。二叉樹SVM 進行訓(xùn)練和測試時，從根節(jié)點的SVM 開始分類，按照一定的分類順序依次識別。假如有1，2，…，k種模式，對k種模式進行分類，需k-1個SVM，結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 二叉樹SVM 結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of binary tree SVM

二叉樹SVM 對于測試樣本無需經(jīng)過所有二值分類器，只要識別出類別即可停止運算，從而節(jié)省了測試時間。在圖1 所示分類器中，第1 個SVM 用于將第1類從1，2，…，k 類別中區(qū)分出來，第2 個SVM 將第2類從2，3，…，k 類別中區(qū)分出來，依此類推，直到第k-1 個SVM 將最后兩個類別區(qū)分開。圖1所示分類器只是許多分類策略中的一種，分類順序為1，2，…，k，共有k！種分類順序，分別對應(yīng)k！種結(jié)構(gòu)，不同的二叉樹結(jié)構(gòu)決定了不同的分類精度。將分類器用于模式識別時，可通過合理設(shè)計二叉樹的結(jié)構(gòu)提高分類器的分類精度。

2 基于AHP和二叉樹SVM 的算法

基于AHP 和二叉樹SVM 的多故障分類算法中，AHP綜合多個指標(biāo)衡量所有故障的價值度，對每一類故障得出一個權(quán)重值，權(quán)重大小決定了故障識別的先后順序，基于此順序構(gòu)建二叉樹SVM 的結(jié)構(gòu)。

2.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計對分類精度的影響

二叉樹支持向量機的結(jié)構(gòu)并不是唯一的，不同的結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致不同的分類結(jié)果和分類精度。結(jié)構(gòu)設(shè)計如何影響分類精度，下面簡單分析之。

以圖1為例，假設(shè)各層劃分正確率分別為p1，p2，…，pk，類別劃分正確率為l，則所有故障類別的劃分正確率為：

由式（1）可得

即二叉樹分類器越底層，SVM 識別正確率越低；而且下層SVM 識別率依賴于上層，只有使上層SVM 識別正確，下層SVM 的識別率才能得到保證。

基于此特點，只有保證識別率高的類別處于分類器上層，才能總體上提高整個分類器的分類精度。先將樣本空間中最易被分割的類識別出來以及采用最大投票機制算法構(gòu)造二叉樹都是基于此原因。

因此，本文改進算法通過建立一套評價體系為各類別設(shè)定權(quán)重值，根據(jù)權(quán)重值對所有類別排序，使權(quán)重大的類別處于分類器的上層，符合上述特點。這樣確定下來的二叉樹結(jié)構(gòu)依賴于各個類別的權(quán)重量，相比較隨機確定的二叉樹結(jié)構(gòu)，具有更好的分類性能。

2.2 基于AHP和二叉樹SVM 的多故障分類算法

為了便于問題說明，直接以發(fā)電機軸承的故障診斷作為案例闡述改進算法，主要步驟如下：

1）建立層次結(jié)構(gòu)

對于電機軸承的故障診斷問題，在高維特征空間中，影響分類精度的因素主要有類內(nèi)樣本分布范圍、類間樣本分布距離等因素。其中，類內(nèi)樣本分布范圍指同一類別樣本在高維特征空間的分布范圍，范圍越大，被識別的概率越高；類間樣本分布距離指在高維特征空間中，不同類別分布范圍之間的距離，兩者距離越大，越容易被分割開。結(jié)合實際經(jīng)驗進行診斷時，還需要考慮故障發(fā)生概率、診斷故障后的挽回損失等。

層次分析法模型分為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層，其中，目標(biāo)層為故障的價值度；準(zhǔn)則層為衡量故障的影響因子：各種故障在高維特征空間的樣本分布范圍B1，故障發(fā)生的頻率B2，診斷挽回的損失B3以及各類故障在高維特征空間樣本的類間分布距離B4，多個影響因子的選擇使得到的權(quán)重是故障識別率，實際發(fā)生概率，理論分割難易程度的集中體現(xiàn)；方案層故障狀態(tài)包括：正常、內(nèi)圈故障、外圈故障、滾珠故障。層次結(jié)構(gòu)如圖2所示。

2）構(gòu)造判斷矩陣

為把定性分析的結(jié)果量化，將同層次元素對于上層某一準(zhǔn)則的重要性進行兩兩比較，構(gòu)造判斷矩陣

圖2 軸承故障診斷的層次結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Hierarchical structure of bearing fault diagnosis

式（3）中，aij是元素ai和aj相對于準(zhǔn)則層的重要性的比值，判斷矩陣A 具有下列性質(zhì)：

同層次元素的重要程度如何，根據(jù)表1中程度的不同按1～9的比例標(biāo)度賦值。本文軸承故障中，基于診斷經(jīng)驗構(gòu)造準(zhǔn)則層B 相對目標(biāo)A 的判斷矩陣為：

3）計算權(quán)重值

用判斷矩陣求權(quán)重的方法有很多種，包括和法、最小夾角法和特征向量法等，本文使用特征向量法。首先，計算判斷矩陣A 的最大特征值λmax；然后，根據(jù)式（6）求相應(yīng)正特征向量（分量全大于0的特征向量）。

式中，λmax為矩陣A 的最大特征值，W 為其特征向量，將其進行歸一化處理，即得權(quán)重向量。

經(jīng)計算，A 的最大特征值為λmax=4.043，權(quán)重向量為W（A）= （0.520，0.201，0.201，0.078）。

4）矩陣的一致性檢驗一致性檢驗的步驟：

①計算判斷矩陣的一致性指標(biāo)

②從表2中查找平均隨機一致性指標(biāo)RI

表2 平均隨機一致性指標(biāo)Tab.2 Random index

③計算一致性比例CR

若CR＜0.1，認為A 具有滿意的一致性，接受A；否則，放棄A 或?qū) 的數(shù)據(jù)做適當(dāng)調(diào)整。經(jīng)檢驗得CR=0.016＜0.1，表明具有可接受的一致性。

5）計算合成權(quán)重

上述計算得到的只是準(zhǔn)則層B 中各元素相對目標(biāo)A 的權(quán)重向量，最終目的是要得到方案層C 中各元素對于目標(biāo)A 的權(quán)重向量。因此，分別構(gòu)造方案層對于準(zhǔn)則層元素的判斷矩陣B1，B2，B3，B4，然后按上述方法計算權(quán)重向量得

則合成權(quán)重為：

式（10）中，α1、α2、α3、α4分別為W（A）的四個分量，得W = （0.151，0.238，0.210，0.401）。經(jīng)矩陣的一致性檢驗得CR=0.024＜0.1，由此說明合成權(quán)重具有良好的一致性。

6）確定二叉樹SVM 的結(jié)構(gòu)

依據(jù)上述故障的權(quán)重值對故障類型進行排序，權(quán)重值大的類型優(yōu)先診斷，保證將權(quán)重值大的類別首先識別出來。

改進算法將AHP和二叉樹SVM 結(jié)合起來，充分利用AHP的主觀優(yōu)勢確定權(quán)重，為模型結(jié)構(gòu)的建立提供依據(jù)?？朔薃HP過分依賴專家主觀判斷的缺點，同時彌補了二叉樹SVM 不能反映決策者偏好的缺陷。兩種算法的結(jié)合能夠充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢，克服算法本身存在的缺陷。

3 仿真驗證

故障診斷過程主要包括故障特征提取和模式識別兩大步驟，利用小波包分解得各頻帶分量的能量，歸一化處理得到特征向量，將其作為SVM 的輸入進行故障模式識別。下面將改進算法用于發(fā)電機軸承的故障診斷，診斷模型如圖3所示。

圖3 基于AHP和二叉樹SVM 的診斷模型Fig.3 Diagnosis model based on AHP and binary tree SVM

3.1 特征向量的提取

對于正常、外圈故障、內(nèi)圈故障和滾珠故障4種狀態(tài)各提取50組樣本數(shù)據(jù)，其中40組用于訓(xùn)練，另外10組用于測試。處理和提取故障特征向量的步驟如下：

1）本文實驗所用的實測軸承振動數(shù)據(jù)來自美國凱斯西儲大學(xué)的電氣工程實驗室［9］。如圖4 所示為一組不同故障狀態(tài)下的樣本圖。

2）采用db3小波對振動信號進行3層小波包分解，得到8個子頻帶的小波包分解系數(shù)。以一組外圈故障信號為例進行小波包分解，如圖5所示。

3）計算圖5中8個頻帶的能量值，進行歸一化處理得故障的特征向量如式（11）。

式（11）中，E3i（i=0，1，…，7）為各頻帶能量值，E 為能量總和。

4）重復(fù)上述步驟，提取多組特征向量。

3.2 多類分類器的構(gòu)造

建立故障樣本集：（xi，yi），xi∈R8為樣本輸入，yi∈｛1，2，3，4｝為樣本輸出，代表四種故障類型，i=1，2，3，4。

由合成權(quán)重W = （0.151，0.238，0.210，0.401）判斷軸承故障診斷的順序為：滾珠故障、內(nèi)圈故障、外圈故障、正常。所以二叉樹SVM 診斷結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖4 振動時域波形圖Fig.4 Vibration time-domain waveform

圖5 小波包分解圖Fig.5 Wavelet packet decomposition

圖6 二叉樹SVM 診斷結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Diagnosis structure of binary tree SVM

3.3 故障模式識別

建立二叉樹SVM 的結(jié)構(gòu)后，進行故障模式識別，步驟如下：

1）確定影響SVM 分類性能的參數(shù)。本文SVM 的核函數(shù)選取徑向基核函數(shù)（RBF）

式（12）中，δ為核寬度。此外，需確定懲罰因子c。

參數(shù)δ和c 的選擇直接影響SVM 的分類精度和泛化能力。為確?？焖儆行У貙ふ易顑?yōu)參數(shù)（δ，c），采用遺傳算法尋優(yōu)得到參數(shù)組合（4，224）。

2）輸入訓(xùn)練樣本，完成訓(xùn)練過程。

3）將測試樣本輸入訓(xùn)練好的二叉樹SVM，檢驗識別能力。

4）在相同的樣本數(shù)據(jù)和參數(shù)設(shè)置的前提下，運用不同多分類算法進行故障診斷。

將各類算法進行故障診斷的結(jié)果進行統(tǒng)計，對比結(jié)果如表3所示。其中M1代表本文算法，M2與M3均代表二叉樹SVM 算法，M2算法中二叉樹的結(jié)構(gòu)根據(jù)故障頻率設(shè)計，M3 算法中二叉樹的結(jié)構(gòu)根據(jù)樣本分布范圍設(shè)計，M4代表一對多法，M5代表一對一法，M6代表決策導(dǎo)向無環(huán)圖法。

表3 不同多分類算法診斷結(jié)果統(tǒng)計Tab.3 Diagnosis statistics of different classification algorithms

通過表3中的對比數(shù)據(jù)可知，一對一法診斷準(zhǔn)確率最高，達到96.8%，但耗時相對較長；其次為改進算法，診斷準(zhǔn)確率為95.9%，同時改進算法診斷時間短，需要的SVM 數(shù)量少，這一點有利于SVM的推廣。與另外幾種算法作比較，改進算法無論在診斷準(zhǔn)確率和診斷時間方面均占優(yōu)勢。因此，綜合多個衡量指標(biāo)，基于AHP和二叉樹SVM 的多故障分類算法優(yōu)于其他幾種算法。

4 結(jié)論

本文提出了將AHP 和二叉樹SVM 相結(jié)合的多故障分類算法。該算法綜合考慮了影響分類精度的多個影響因子，運用層次分析法計算各類故障的權(quán)重，根據(jù)權(quán)重值設(shè)計了多類分類器的結(jié)構(gòu)。仿真驗證表明，該算法適合進行多類故障診斷，相比較一對一法、一對多法等算法診斷效率更高，診斷精度更好，推廣應(yīng)用前景較廣。

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