郝天鐸，王可人，金 虎，熊 最

（解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引言

在糾錯(cuò)碼理論發(fā)展過程中級(jí)聯(lián)碼一直是一個(gè)重點(diǎn)課題，其中RS+卷積級(jí)聯(lián)碼由于其良好的糾錯(cuò)性能，被廣泛地應(yīng)用于各種通信系統(tǒng)中，成為IEEE802.16中建議的FEC 碼之一［1］。但很長(zhǎng)一段時(shí)間以來人們對(duì)其譯碼性能的研究或是停留在譯碼算法上［1-3］，對(duì)算法的復(fù)雜度、收斂性和魯棒性進(jìn)行分析；或是以［4-6］這類文獻(xiàn)為代表，在不同類型的通信信道中對(duì)其譯碼性能進(jìn)行分析，研究不同信噪比下的輸出誤碼率規(guī)律；文獻(xiàn)［7］不僅給出了4種不同類型信道下信噪比與輸出誤碼率的關(guān)系，還從“比特級(jí)”的層面對(duì)RS+卷積碼的糾錯(cuò)能力進(jìn)行了分析，但［7］只是給出了糾錯(cuò)能力說明，并未在“比特級(jí)”層面對(duì)此級(jí)聯(lián)碼進(jìn)行更深入的分析。已有的文獻(xiàn)對(duì)此級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的研究主要集中在譯碼算法或是不同調(diào)制不同信道下信噪比與誤碼率的關(guān)系上，很少有人在“比特級(jí)”的層面上進(jìn)行更深入的研究，而從錯(cuò)誤圖樣角度出發(fā)進(jìn)行的研究更是鮮有報(bào)道。本文針對(duì)上述問題，提出了利用錯(cuò)誤圖樣分布來研究RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的方法。

1 RS＋卷積級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)性能分析

1.1 錯(cuò)誤圖樣簡(jiǎn)介

1.2 碼型選擇

卷積碼可以表示為CC（n，k，m），其中n 代表輸出比特個(gè)數(shù)，k 代表輸入比特個(gè)數(shù)，m 代表約束長(zhǎng)度，本文使用的是CC（2，1，7），其最小自由距離為10，譯碼方式采用的是硬判決下的維特比譯碼算法，可以糾正連續(xù)n×m 個(gè)比特中（df-1）／2」個(gè)錯(cuò)誤［8］，其中x」代表對(duì)x 向下取整。

RS（N，K，M）碼為多進(jìn)制分組碼，每個(gè)符號(hào)包含m 比特的數(shù)據(jù)，輸入為K 個(gè)符號(hào)，輸出為N=2M-1個(gè)符號(hào)。RS碼的糾錯(cuò)能力由它的最小距離dmin=2t+1決定，其中N-K=2t。本文使用的是RS（255，223，8）系統(tǒng)碼［9］，其最小距離為33，可以糾t個(gè)符號(hào)差錯(cuò)或者（t-1）M +1個(gè)連續(xù)比特差錯(cuò)。

由于維特比譯碼是序列譯碼，一旦出錯(cuò)就是一個(gè)序列的差錯(cuò)，相當(dāng)于產(chǎn)生一個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤，且突發(fā)錯(cuò)誤最可能的長(zhǎng)度等于約束長(zhǎng)度m，而RS二進(jìn)衍生碼糾突發(fā)錯(cuò)誤的能力是（t-1）M+1，因此原則上應(yīng)有（t-1）M+1＞m，使卷積碼譯碼差錯(cuò)大多數(shù)情況下能被RS碼糾正。并且，如果我們選擇的RS碼的單位符號(hào)包含的比特?cái)?shù)M 大于m 時(shí)，突發(fā)錯(cuò)誤將很有可能只影響一個(gè)符號(hào)而已［10］。符合這種關(guān)系的卷積碼內(nèi)碼加RS碼外碼就成了級(jí)聯(lián)碼的黃金搭配。本文所選用的RS（255，223，8）+ CC（2，1，7）級(jí)聯(lián)碼符合上述兩個(gè)條件，而且在采用維特比譯碼時(shí)，與不編碼相比可產(chǎn)生約7dB 的編碼增益，特別適用于高斯白噪聲信道如衛(wèi)星通信和宇航通信［11］。

1.3 糾錯(cuò)性能分析

本文使用RS碼作為外碼、卷積碼作為內(nèi)碼的串行級(jí)聯(lián)碼為研究對(duì)象，兩者結(jié)合起來相當(dāng)于碼長(zhǎng)Nn、信息位Kk、碼率的分組長(zhǎng)碼，采用的信道為二進(jìn)制對(duì)稱信道（BSC）。對(duì)于RS 碼而言，譯碼器端的輸出誤碼率可以表示為［12］：

式（1）中，t為RS 碼可以糾正的差錯(cuò)碼元上限，ps是RS譯碼器輸入端的碼元錯(cuò)誤概率，每個(gè)碼元含有m 比特的數(shù)據(jù)，ps的上邊界可以表示為［10］：

式（2）中，Pb是卷積碼采用硬判決方式在維特比譯碼器輸出端的誤比特率的上界［13］。當(dāng)二進(jìn)制對(duì)稱信道的轉(zhuǎn)移概率p 遠(yuǎn)小于1時(shí)［7］，

此時(shí)RS 譯碼器輸出端的誤碼率可近似的表示為［13］：

式（3）中，dfree是卷積碼的自由距離，βdfree是所有重量為dfree的路徑的非零信息位總數(shù)。結(jié)合式（2）—式（4），可得

式（5）也可以表示成Bpdfree（t+1）／2的形式，其中

根據(jù)式（6），此 時(shí)m=8，t=16，dfree=10，βdfree=36［14］，在二進(jìn)制對(duì)稱信道的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)移概率p 很小的情況下，我們可以得出RS（255，223，8）+CC（2，1，7）級(jí)聯(lián)碼的輸出誤碼率約為10118p85。由此可知，當(dāng)p 超過0.041時(shí)，輸出誤碼率將大于1，所以，理論值的p 取值應(yīng)小于0.04。

2 不同錯(cuò)誤圖樣分布對(duì)RS＋卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的影響

2.1 系統(tǒng)模型

本文只在“比特級(jí)”層面上進(jìn)行分析，由于調(diào)制的加入會(huì)對(duì)錯(cuò)誤圖樣分析造成影響，所以本文的分析都是在無調(diào)制的情況下進(jìn)行的。同時(shí)，信道則采用二進(jìn)制對(duì)稱信道模型，具體系統(tǒng)模型如圖1 所示，圖中的虛線框表示可能會(huì)加入的交織器的位置，錯(cuò)誤圖樣e代表在信道上必然產(chǎn)生的差錯(cuò)事件。

圖1 RS+卷積串行級(jí)聯(lián)碼系統(tǒng)Fig.1 Concatenated Serial RS-C Codes System

2.2 參數(shù)設(shè)定

本文中錯(cuò)誤圖樣分布由不同的參數(shù)所決定，如圖2所示，在錯(cuò)誤圖樣e中，Block代表“塊”，在文中為產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊的長(zhǎng)度，pos為錯(cuò)誤產(chǎn)生的首位置，亦即錯(cuò)誤圖樣中首次出現(xiàn)“1”的位置，Ne為塊內(nèi)錯(cuò)誤比特，D 為兩塊之間的間隔，第一塊內(nèi)為隨機(jī)錯(cuò)誤，第二塊內(nèi)為突發(fā)錯(cuò)誤。錯(cuò)誤比特所在位置用“1”表示，空白位置用“0”表示。兩個(gè)塊的長(zhǎng)度均為7 bit，第一塊內(nèi)“1”出現(xiàn)的次數(shù)為3，所以產(chǎn)生的是Ne1等于3bit的隨機(jī)錯(cuò)誤；第二塊內(nèi)“1”出現(xiàn)的次數(shù)為7，所以產(chǎn)生的是Ne2等于7bit的突發(fā)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤圖樣中兩個(gè)塊之間的間隔D 為3bit。因此，錯(cuò)誤圖樣e為：（10100100001111111）。

圖2 錯(cuò)誤圖樣e的不同參數(shù)示例Fig.2 Parameters of Error Pattern e

2.3 錯(cuò)誤圖樣的參數(shù)對(duì)譯碼性能的影響

2.3.1 隨機(jī)與突發(fā)錯(cuò)誤

由于卷積碼碼元之間的相關(guān)性，其糾正隨機(jī)錯(cuò)誤的能力較強(qiáng)，而對(duì)突發(fā)錯(cuò)誤的糾錯(cuò)性能較差［15］。對(duì)于隨機(jī)錯(cuò)誤而言，在一定的輸入誤比特率門限之內(nèi)，卷積碼可以有效地對(duì)其進(jìn)行糾正，從而使其在進(jìn)入RS譯碼器之前產(chǎn)生的誤碼數(shù)小于RS碼可糾正的誤碼上限，對(duì)于本文采用的RS（255，223，8）而言，當(dāng)進(jìn)入RS譯碼器的誤碼數(shù)不大于16或者連續(xù)的誤比特?cái)?shù)不超過121時(shí)，才可以進(jìn)行糾錯(cuò)。當(dāng)輸入誤比特率超過一定門限之后，卷積碼無法對(duì)其進(jìn)行有效地糾錯(cuò)，從而在進(jìn)入RS譯碼器之前誤碼數(shù)大于可糾正值，從而使得譯碼產(chǎn)生錯(cuò)誤。

對(duì)于突發(fā)差錯(cuò)而言，由于卷積碼對(duì)其糾錯(cuò)性能較差，所以在相同的輸入誤比特率之下，進(jìn)入RS譯碼器的錯(cuò)誤符號(hào)要比隨機(jī)錯(cuò)誤下產(chǎn)生的錯(cuò)誤符號(hào)多，從而使級(jí)聯(lián)碼糾突發(fā)錯(cuò)誤的能力變差；但是當(dāng)輸入誤比特率超過一定門限后，卷積碼的糾錯(cuò)能力下降，又由于隨機(jī)錯(cuò)誤產(chǎn)生的隨機(jī)性，使得在進(jìn)入RS譯碼器之前隨機(jī)錯(cuò)誤產(chǎn)生的錯(cuò)誤符號(hào)大于突發(fā)錯(cuò)誤，此時(shí)級(jí)聯(lián)碼對(duì)隨機(jī)錯(cuò)誤的糾錯(cuò)能力變差。

2.3.2 產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊長(zhǎng)

對(duì)于卷積碼而言，當(dāng)輸入誤比特?cái)?shù)一定時(shí)，總存在某一長(zhǎng)度的塊，使得這些錯(cuò)誤比特在這個(gè)塊內(nèi)隨機(jī)分布時(shí)，進(jìn)行維特比譯碼后輸出誤比特率達(dá)到最大［11］。當(dāng)維特比譯碼后誤比特?cái)?shù)增多時(shí)，進(jìn)入RS譯碼器的誤碼數(shù)也相應(yīng)增多，因此，對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼來講，預(yù)測(cè)也存在同樣的結(jié)論。

2.3.3 塊與塊之間的間隔

由于卷積碼碼元之間的相互約束，當(dāng)產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊與塊之間的間隔較小時(shí)，不同塊之間的距離較近，相互的影響也較大，維特比譯碼后輸出誤比特率也相對(duì)較大，RS譯碼后的誤碼率較大；當(dāng)間隔變大時(shí)，產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊之間距離也變大，相互的影響也會(huì)變小，此時(shí)維特比譯碼輸出誤比特率也會(huì)變小，RS譯碼后的誤碼率較小。

2.4 交織對(duì)譯碼性能的影響

根據(jù)圖1所示，交織器可以置于兩個(gè)不同的位置，其中內(nèi)交織的主要作用是對(duì)信道產(chǎn)生的突發(fā)錯(cuò)誤進(jìn)行離散化處理，這樣使得在內(nèi)譯碼時(shí)就出現(xiàn)較少的突發(fā)錯(cuò)誤，而不至于影響到整個(gè)串行級(jí)聯(lián)碼的性能，因?yàn)?，若信道的突發(fā)錯(cuò)誤較大時(shí)，內(nèi)譯碼就不能有效地糾正，反而會(huì)產(chǎn)生更大的成片錯(cuò)誤，錯(cuò)誤大大增加，這樣送給外譯碼器譯碼時(shí)，就會(huì)超出外譯碼器的糾錯(cuò)容限，從而使整個(gè)串行級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)系統(tǒng)失去作用，或者發(fā)生越糾越錯(cuò)的現(xiàn)象［16］。

而當(dāng)交織器處于外交織的位置時(shí)（RS 編碼器與卷積編碼器中間），由于在維特比譯碼后會(huì)產(chǎn)生突發(fā)錯(cuò)誤，此時(shí)錯(cuò)誤經(jīng)解交織器離散化之后，有可能會(huì)將錯(cuò)誤擴(kuò)散到更多的符號(hào)，從而導(dǎo)致進(jìn)入RS 譯碼器的錯(cuò)誤符號(hào)增多，使得級(jí)聯(lián)碼的糾錯(cuò)性能下降［17］。

3 仿真分析

由于在仿真時(shí)需要進(jìn)行大量的重復(fù)隨機(jī)性實(shí)驗(yàn)，所以仿真時(shí)采用蒙特卡羅仿真方法，本文使用RS+卷積級(jí)聯(lián)碼的一幀數(shù)據(jù)（即4 080bit）進(jìn)行研究。

3.1 不同參數(shù)下的仿真實(shí)驗(yàn)

3.1.1 隨機(jī)錯(cuò)誤對(duì)RS＋卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能影響由于譯碼性能的理論值要求輸入誤比特率小于0.04（約163bit），所以理論值的輸入誤比特?cái)?shù)只取到163。由圖3 可見，當(dāng)輸入誤比特?cái)?shù)小于163（0.04）時(shí)，理論值與隨機(jī)錯(cuò)誤下的糾錯(cuò)性能相似，輸出誤碼率幾乎為0。當(dāng)達(dá)到一定門限（約280bit）時(shí)，維特比譯碼后，在RS碼信息位形成的誤碼數(shù)大于RS碼可糾正的上限，譯碼開始出錯(cuò)。但RS譯碼后產(chǎn)生的誤碼數(shù)要少于維特比譯碼后的誤碼數(shù)，這是因?yàn)樵赗S系統(tǒng)碼監(jiān)督位產(chǎn)生的誤碼幾乎不會(huì)影響RS碼的譯碼性能，也就是說，只有當(dāng)信息位產(chǎn)生的誤碼數(shù)大于RS系統(tǒng)碼可以糾錯(cuò)的上限時(shí)，譯碼才會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。

3.1.2 隨機(jī)與突發(fā)錯(cuò)誤的比較

從圖4可以看出，當(dāng)輸入誤比特率小于0.06時(shí)，輸出誤碼率為0，這是因?yàn)榻?jīng)過維特比譯碼后，進(jìn)入RS譯碼器的誤碼數(shù)小于RS碼可以糾正的錯(cuò)誤符號(hào)上限；當(dāng)輸入誤比特率大于0.06 小于0.08時(shí)，突發(fā)錯(cuò)誤產(chǎn)生的誤碼率大于隨機(jī)錯(cuò)誤，這是由于卷積碼對(duì)突發(fā)錯(cuò)誤的糾錯(cuò)較差；當(dāng)誤比特率大于0.08時(shí)，維特比譯碼后產(chǎn)生較多的錯(cuò)誤比特，并且由于隨機(jī)錯(cuò)誤的隨機(jī)性，會(huì)產(chǎn)生更多的誤碼，使RS譯碼器對(duì)隨機(jī)錯(cuò)誤更為敏感。圖4驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)前的預(yù)測(cè)，即在不同輸入誤比特率下隨機(jī)與突發(fā)錯(cuò)誤對(duì)級(jí)聯(lián)碼的糾錯(cuò)性能影響不同。

3.1.3 產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊長(zhǎng)

本次實(shí)驗(yàn)中，產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊長(zhǎng)從500～2 000比特變化，塊內(nèi)產(chǎn)生200bit（輸入誤比特率約0.05）的隨機(jī)錯(cuò)誤，統(tǒng)計(jì)不同塊長(zhǎng)下的輸出誤碼率，如圖5所示。從圖上可以看出，對(duì)于一定的輸入誤比特?cái)?shù)（200），隨著塊長(zhǎng)的增加，輸出誤碼率先增大后減小，在塊長(zhǎng)為某一值（約1 100bit）時(shí)，輸出誤碼率達(dá)到最大。以上仿真結(jié)果驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)前的預(yù)測(cè)。

圖3 隨機(jī)錯(cuò)誤對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的影響Fig.3 Random Errors’Influence on The Concatenated RS-C Codes

圖4 隨機(jī)與突發(fā)錯(cuò)誤對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的影響Fig.4 Comparison of Randomand Burst Errors

圖5 產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊長(zhǎng)對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)性能的影響Fig.5 Block’s Influence on The Concatenated RS-C Codes

3.1.4 塊與塊之間的間隔

選擇仿真參數(shù)為：產(chǎn)生錯(cuò)誤的塊的個(gè)數(shù)為20，塊長(zhǎng)為60bit，塊內(nèi)誤比特?cái)?shù)為10，在塊內(nèi)錯(cuò)誤隨機(jī)分布，總的輸入誤比特率約為0.05，間隔從1～60 bit依次取值，統(tǒng)計(jì)間隔與輸出誤碼率間的關(guān)系如圖6所示。由圖6可知，隨著間隔的變大，輸出誤碼率的取值變得越來越小，當(dāng)間隔達(dá)到一定門限時(shí)，不同塊之間的影響可以忽略不計(jì)，最后趨于一個(gè)小的波動(dòng)范圍。以上仿真結(jié)果與理論預(yù)測(cè)相符。

3.2 交織的影響

由于交織器用來解決突發(fā)錯(cuò)誤的能力比較強(qiáng)，下面就以突發(fā)錯(cuò)誤作為錯(cuò)誤圖案分布，研究隨機(jī)交織器與矩陣交織器對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)性能的影響。

從圖7可以看出，不論是矩陣交織器還是隨機(jī)交織器，當(dāng)其為外交織器時(shí)（處于RS碼與卷積碼中間），糾錯(cuò)性能很相近，但都比不采用交織器時(shí)差。以上仿真結(jié)果驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)前的預(yù)測(cè)，即外交織器有可能會(huì)使錯(cuò)誤擴(kuò)散到更多符號(hào)。

從圖8（a）可以看出，當(dāng)交織器處于內(nèi)交織的位置時(shí)，隨機(jī)解交織器在一定的輸入誤比特率門限內(nèi)（約0.07），可以將信道中的突發(fā)錯(cuò)誤轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)錯(cuò)誤，使得維特比譯碼的糾錯(cuò)性能加強(qiáng)，從而提高級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)性能；超過門限后，由于誤比特?cái)?shù)太多，即使經(jīng)解交織變成隨機(jī)錯(cuò)誤，維特比譯碼后的錯(cuò)誤符號(hào)仍然大于RS碼的糾錯(cuò)能力，并且由于隨機(jī)錯(cuò)誤的隨機(jī)性，使維特比譯碼后的錯(cuò)誤比特也呈隨機(jī)分布，從而形成更多的錯(cuò)誤符號(hào)進(jìn)入到RS譯碼器，導(dǎo)致隨機(jī)交織器下的級(jí)聯(lián)碼糾錯(cuò)能力下降。

圖8（b）說明交織深度越深，級(jí)聯(lián)碼的糾錯(cuò)性能就越好，當(dāng)交織深度為102時(shí)，在輸入誤比特率0.1以內(nèi)誤碼為0。表1列出了不同交織深度下可以糾正的誤比特個(gè)數(shù)。

圖6 間隔對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的影響Fig.6 Distance’s Influence on The Concatenated RS-C Codes

圖7 突發(fā)錯(cuò)誤下外交織器對(duì)RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的影響Fig.7 Outer Interleavere’s Influence on The Concatenated RS-C Codes Under Burst Errors

圖8 突發(fā)錯(cuò)誤下內(nèi)交織器對(duì)RS+卷積級(jí) 聯(lián)碼譯碼性能的影響 Fig.8 Inner Interleaver’s Influence on The Concatenated RS-C Codes Under Burst Errors

表1 交織深度對(duì)RS＋卷積碼糾錯(cuò)性能的影響Tab.1 Interleave Depth’s Influence on The Concatenated RS-C Codes

4 結(jié)論

本文提出了利用錯(cuò)誤圖樣分布來研究RS+卷積級(jí)聯(lián)碼譯碼性能的方法。該方法在不加調(diào)制的情況下，通過設(shè)定錯(cuò)誤圖樣參數(shù)，分析了不同參數(shù)下錯(cuò)誤圖樣分布對(duì)其譯碼性能的影響；在此基礎(chǔ)上又對(duì)突發(fā)錯(cuò)誤下加入交織器的級(jí)聯(lián)碼系統(tǒng)進(jìn)行了對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明，錯(cuò)誤圖樣的不同分布會(huì)對(duì)此級(jí)聯(lián)碼的譯碼性能產(chǎn)生不同的影響，突發(fā)錯(cuò)誤下內(nèi)交織器更有利于級(jí)聯(lián)碼的糾錯(cuò)。在此基礎(chǔ)上，對(duì)級(jí)聯(lián)碼在完整的通信系統(tǒng)中的譯碼性能進(jìn)行分析，是下一步的研究方向。

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