◆ 武漢小學 李 凱

學生對數學產生誤解的根源探究

◆ 武漢小學 李 凱

數學作業(yè)中一些離奇的錯誤背后往往隱藏著學生對數學大大小小的誤解，反映出學生對數學的認識存在片面、混淆甚至是錯誤。教學中如果能幫助學生及時糾正這些誤解，學生就更容易建立對數學知識的正確認識，教學也更有效能。

數學學習；根源探究；教學效能；誤解

學生做數學題出錯的原因可歸結為沒聽講、粗心、不動腦筋這幾條，但是對于一些學生來說，這卻有點冤枉他們了。數學作業(yè)中一些離奇的錯誤背后往往隱藏著學生對數學大大小小的誤解，反映出學生對數學的認識存在片面、混淆甚至是錯誤。教學中如果能幫助學生及時糾正這些誤解，學生就更容易建立對數學知識的正確認識，教學也更有效能。

一、學生的誤解是相關學習經驗的外化應予以足夠重視

（一）學生自身學習經驗差異性導致對數學的誤解

課堂教學是教師與學生、學生與學生之間相互參與的過程，學生的課堂學習往往是外部經驗（源于教師或其他學生）和自身內部經驗相互作用的結果，并最終形成對某一數學知識的理解，生成新的經驗。在這一過程中，由于學生內部經驗的差異導致學生對數學形成誤解。例如，教學解方程時會發(fā)現少數學生對于形如“a+x=b”的方程會出現這樣的錯誤：

（圖一）

乍看上去，學生是沒有聽講不動腦筋，這么簡單的題為什么會做成這樣呢？簡直莫名其妙。但是，如果耐心詢問學生，可以發(fā)現他們有著自己的道理。學生根據例題的解答（圖二）理解利用等式的性質解方程的方法，并直觀地認為只能消去等式左邊的第二數，已有的經驗會被學生合情推理到類似的題目中，就出現了上面的錯誤。由此可見，學生的錯誤是基于一種錯誤的直觀經驗造成的，同一個教學過程有的學生根據之前天平的演示理解方程的解法，有的學生則根據外在形式來理解方程的解法，不同的經驗得到不同的認識。

（二）尊重學生就應該重視學生的學習經驗

要做到尊重學生，那么學生在學習過程中的多種經驗都應該得到應有的重視，正確的經驗要予以肯定，錯誤的經驗要引導學生進行辨析。一般情況下，在學生沒有否定自身錯誤認識的時候是難以堅定接受正確認識的。我們?？吹綄W生會在正確與錯誤的方法之間搖擺，一個重要原因就是學生對于正確方法并不堅定，也可以說，誤解所帶來的影響沒有得到根本解決。例如有一道題（如圖三），雖經老師反復講解和引導，學生始終把算式列成“100÷1”。問題的癥結在于學生根據以往的經驗片面地認為除法算式應該是較大數在前，較小數在后，從心底里不認可“1÷100”這樣的算式。

從縱向來看，學生個體對于數學知識的誤解會不斷積累，終將對后續(xù)的數學學習造成巨大隱患；從橫向來看，錯誤的認知在班級中會怎樣分布沒有特定規(guī)律可循。這樣客觀上會造成錯誤的經驗和認知在班級內不斷擴散和積累，影響之后的教學效能。既然差異化的學習經驗讓學生產生各種誤解是無法避免的，所以，在教學中就應該認真研究學生錯誤背后的深層原因，及時糾正學生的誤解。

二、正確認識誤解產生的根源是教師課后反思并改進教學的重要依據

（一）探尋誤解產生的根源可以讓教師反思問題的本質

學生的錯誤容易被外在表象所掩蓋，尤其是在中低年段，學生掌握的數學知識有限，可以猜測出正確答案。教師剛指出一個錯誤，學生就知道該怎樣訂正了，出錯的原因似乎只是粗心而已，對數學的誤解并未真正消除。當學生在后續(xù)學習中遇到類似問題時這些誤解又會繼續(xù)困擾學生。

例如教學大于號和小于號時為了方便學生分辨和運用，不少教師都會用比較形象的方法幫助學生記憶，如“開口方向朝大數”、“開口向左是大于號，開口向右是小于號”等等。大部分學生能較好掌握，可是一些學生總是弄混，甚至到了三四年級還出錯。經耐心詢問才知道出錯的原因是把比大小的方法和數學符號的用法相混淆了。如圖（四）中既可以說桃子比香蕉多又可以說香蕉比桃子少，從左往右比或是從右往左比都可以，但是要把比較的結果記錄下來就必須符合人們的書寫和閱讀習慣，也就是說必須從左往右來讀寫。因此如果桃子的個數寫在左邊就要用大于號：“3〉2”，如果桃子的個數寫在右邊就要用小于號：“2〈3”。

可見數學符號是數學的語言，它既具有數學的屬性也要符合閱讀習慣，教學中只偏重符號的數學內涵是不夠的。通過探尋學生誤解的根源，教師能從不同的角度來思考問題，有助于發(fā)現問題的實質。

（二）要抓住中學生誤解的根源改進教學提高效能

學生的正確率是評價教學效能的重要參照，教師會針對學生的普遍錯誤，采用判斷、找錯誤、改錯等方法幫助學生建立正確的認識，這些都是行之有效的方法。除此以外，對于基于誤解產生的錯誤還需要引導學生從數學的角度思考問題的本質，從根本上糾正錯誤的認識，提高教學效能。

例如在低年級教學“已知比一個數多幾（或少幾）的數，求原數”的問題，教師大都會提醒學生不能見到“多”字就加或見到“少”字就減，要依據問題中的意義來列算式。但是這樣的對比方法對于低年級的學生來說較抽象，課堂上教師可以采取游戲的方式將兩種問題用游戲的方式呈現，學生在游戲的過程體驗兩個問題的不同。即便學生不能體會到這樣的區(qū)別，但也能直觀感受到大小的區(qū)別，也就是說在解決這類問題時不用先忙著列算式，而要先區(qū)分誰大誰小，有了區(qū)分大小的過程就找準了解決問題的關鍵。

三、幫助學生發(fā)現誤解產生的根源有利于學生的自主學習

（一）理性剖析誤解的根源加深學生對數學的正確認識

理性剖析誤解產生的根源就是為了加深學生對數學的正確認識，也就說知道為什么對和知道為什么錯是同等重要的，它們是一個問題的兩個方面，都反映出學生對數學知識的認識是否正確。

例如，學生在學習估算時認識了約等號，進而在學習“四舍五入法”時強化了約等號的作用，一些學生就從形式上將取近似數的方法與約等號的用法進行了等同，沿著這種錯誤認識會發(fā)生許多問題。其實約等號只是一種用來表示兩個數量近似相等的關系符號，它與取近似數的方法沒有直接聯系，無論是用怎樣的法得到的數據，只要兩個量相等就應該用等號，不相等就可以用約等號。

（二）辨析誤解的根源有利于學生用數學的方式進行思考

數學學習是一個螺旋上升的過程，數學知識之間有著內在的邏輯聯系，之前的學習基礎是后續(xù)學習的保障。同時數學也是一門強調思維的學科，在數學學習中常需要嚴謹的數學思考與已有的數學知識相配合得到新的數學知識。如果對已有的數學知識缺乏正確認識，學生的思維探究就容易被引向歧路，進而加大對數學的誤解。教的真正目的是不教，從舊知正確推導出新知的前提之一就是對已有數學知識的本質上的理解和認識，幫助學生辨析出錯的根源有利于之后數學探究活動的開展。

有人說垃圾是放錯了位置的財富，此話也可以套用到這里。對待學生在數學上的誤解既不能回避也不能簡單處理，教師需要了解學生的真實想法，探究產生誤解的根源，反思自身教學中的問題，將學生的誤解變成提高教師自身數學素養(yǎng)和教學效能的財富。

[1]唐全騰.《教師不可不知的心理學》[M]. 上海：華東師范大學出版社，2008.

[2]蘇鴻，李斌輝，穆湘蘭.《高效課堂：備課、上課、說課、聽課、評課》[M]. 上海：華東師范大學出版社，2013.

[3]史寧中.《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

（編輯：胡 璐）

小學管理諸多挑戰(zhàn)：學校管理應該誰說了算？

當前，社會巨變，科技進步，為中小學管理提出了諸多挑戰(zhàn)。而進行管理創(chuàng)新的起點，在于要關注到當前學校教育的六個轉變。

一是從以知識為中心轉向以育人為本，促進學生的全面發(fā)展，加強立德樹人。學校對學科的關注，不僅要關注學科的知識價值、能力培養(yǎng)價值，更要關注學科的育人價值。比如，以往學校教研都是以學科教研為中心，而今天同一學科的教師應該坐在一起，以學生為中心進行教研——以人為中心的教研，將提升教師的育人能力，形成教育合力，產生新的育人能量和效果。

二是從過去單純重管理轉向管理與服務并重并將之相統(tǒng)一。過去，教育行政部門對學校要求多、協商少、支持少。即使是學校管理層，為教師和學生服務的意識與投入也嚴重不足。一所學校辦得好不好，不僅要關注學校做了什么，最重要的是要關注學生得到了什么，除此還要關注學生和家長的多樣化需求。只有滿足這些需求，讓原來發(fā)展水平不一的教育，都能夠在原有基礎上得到最大發(fā)展，這樣的教育才是最好的教育。

三是從關注投入轉向關注效益。當前不少教育舉措重投入輕產出，從投入到產出，沒有系統(tǒng)分析，存在很多問題：對學生的投入，在實際的教育教學過程中，包括學校管理過程中，還存在很多不應有的負面投入；對產出的分析，更多關注的是積極方面，并沒有關注到積極方面的獲得，是以多少消極的產出為代價。學生的健康不能以犧牲教師、校長的身心健康為代價，學生成績的提高，也不能以犧牲學生的心理健康、身體健康為代價。

四是學校管理要學習企業(yè)從粗放到精細化管理轉變的經驗。在教育領域中，不少管理仍然是粗放式的。教育設計環(huán)節(jié)非常多，每個環(huán)節(jié)都會影響育人質量，而目前這些環(huán)節(jié)的標準都太不細致，遠遠不及一些行業(yè)對每項工作均有明確與細致要求的做法。

五是從經驗型管理轉向科學型管理。目前很多校長并沒有接受過專業(yè)化的管理培訓，他們使用的都是在工作中領悟、觀察、學習、交流、借鑒出來的管理方法，決策難免帶有隨意性，工作落實很難保證。校長只有把科學方法用于管理，基于客觀數據進行科學決策，而不是用行政權力說話，才更具公信力、權威性、繼承性和可持續(xù)性。

六是從個人管理提升到學校系統(tǒng)領導力建設。過去學校管理更多依靠學校少數人的管理，在學校層面，從校長到副校長，再到中層管理干部和教研室人員，并沒有系統(tǒng)的、有針對性的管理能力提升方案。但事實上，學校管理要贏在中層，而不是贏在校長。作為校長，如果能把所有副校長調動起來，把學校中層干部的管理能力提升起來，學校就具有了可持續(xù)發(fā)展能力，在管理方面也就達到了更高的現代化水平。

今天，國家正在加強管理創(chuàng)新，為實現學校治理能力現代化，對學校進行管辦評分離。為此，政府必須給學校下放辦學自主權，通過校長責任制，解決學校民主管理與依法治校的問題；另一方面，通過第三方評估，解決科學評價問題。對學校管理既不能有過多的政府干預，也不能再讓校長自己說了算。

（摘自《中國教育報》）

李凱，武漢小學教師。

G623.5

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1671-0568 （2015） 31-0133-03