◆ 重慶市沙坪壩區(qū)磁器口小學 劉衍利

以開放題為例，談學生“提出問題”能力的培養(yǎng)

◆ 重慶市沙坪壩區(qū)磁器口小學 劉衍利

由于開放題的開放特性給學生們提供了廣闊的自由空間，對開放題的解答，可以結合題目組成要素的非完備性，解題的策略意圖是不確定性以及答案的不唯一等特性進行自由開放的選擇。每一位學生都可以根據(jù)自己的學情進行自由選擇合適的要素提出自己的問題，解決“難”題，在自主提問的過程中享受解題的快樂，培養(yǎng)學生問題意識和提高提問能力，激發(fā)學習的熱情，煥發(fā)內在的潛力，把知識真正內化到自身的認知結構中去。

數(shù)學開放題；非完備性；不確定性；不唯一性

數(shù)學開放題以其組成要素的非完備性和解題策略的不確定性，以及解題答案的不唯一性，決定著開放題是兼應用、探索于一身的實踐探索性題目。由于諸多的不確定因素，在對其實踐探索中，教師不可能完全主導學生的思維和進程，這樣就給學生提供了非常充分地提出自己新穎獨特方法的機會。每位學生都是以知識的主動發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者的身份出現(xiàn)的，學生不再是“裝”數(shù)學，而是主動“搞”數(shù)學，自主“研究”數(shù)學，生動活潑地參與“做數(shù)學”的過程。在這個過程中，數(shù)學開放題的各種不確定因素、策略都會給予學生自主選擇的自由空間，選擇不同，思路不同，問題的產(chǎn)生也會不同。本文從數(shù)學開放題各項不確定的特性入手，淺談教師如何在學生對各種不確定性要素的選擇中培養(yǎng)“提出問題”的能力。

一、從組成要素的非完備性入手

數(shù)學開放題的組成要素一般來說分為3種：一種是要素欠缺，需要加一加；一種是要素多余，需要減一減；第三種是要素有多余也有欠缺，需要加和減。

美國的一位學者指出，數(shù)學就是要從一堆雜亂無章的東西中理出個頭緒來。其意思是說，學習數(shù)學能對眾多的信息進行判斷、選擇、重組、處理。

1. 加一加：只有條件，沒有問題或者是條件和問題之間沒有直接關系，這一類的開放題需要加一加。例如：紅花有3朵，黃花有9朵， ____________？可以提出（1）紅花和黃花一共有多少朵？（2）紅花比黃花少多少朵？（3）黃花比紅花多多少朵？（4）黃花是紅花的幾倍？（5）紅花是黃花的幾分之幾？（6）黃花比紅花多幾分之幾？……等等不同的問題。不同年段、不同層次的學生都可以通過自己的思考提出3個以上的數(shù)學問題。這樣既滿足了學困生的基本需要，又為優(yōu)等生提供了更高的平臺。至于缺少條件的，可以加的就太多了，如紅花有3朵， ____________，黃花有多少朵？可以加上（1）紅花比黃花少5朵（2）黃花比紅花多8朵（3）黃花是紅花的2倍……年級更高的學生可以提出有關分數(shù)甚至比例等條件，這里不一一枚舉。

圖一

2. 減一減：由于提供的要素有多余的，就需要進行選擇，減少不必要的條件，或者說選一選也行，選擇合適的條件提出相應的問題。以西師版（2013版）二年級下冊P55課堂活動為例（如圖1）：第二個問題的解決就非常靈活。盡管對不同層次的學生要求不一樣，但都可以采用先選擇一些必要條件(減少一些條件)再提問解決的方式，如果把圖上大人的信息減少，一共有5位兒童，每位兒童票3元，一共要多少元？或兩家一共有2個兒童，每位兒童票3元，一共要多少元？或者只看大人的信息、只看一家的信息，都可以提出相關的問題，這一類的問題應該屬于最基本的提問層次。對于成績比較好的學生來說，可以選擇更為復雜的相關信息進行分析后提問，如小麗家比小東家多用多少錢？

3. 加和減：這一層次的題目更為靈活，需要運用數(shù)學的系統(tǒng)性和邏輯性來增加條件和減少條件。例如：36名同學去閱覽室看書。長凳每張坐6人，短凳每張坐4人，可以怎樣準備凳子？加條件：只坐長凳（或短凳），需要多少張長凳（或短凳）？這類問題在加條件的同時，也在減條件——去掉短凳或長凳的信息。加條件：有一張長凳，需要多少張短凳？有兩張長凳，需要多少張短凳？……反過來也可以。

二、從解題策略的不確定性入手

著名心理學家布魯納指出：“探索是數(shù)學的生命線”。筆者認為，探索的過程也是問題產(chǎn)生的生命線。

在探索數(shù)學開放題的過程中，學生可以從不同的解題策略進行思考，提問解答。例如：在一條筆直的公路上，小明和小剛騎車同時從相距500米的A、B兩地出發(fā)，小明每分鐘行200米，小剛每分鐘行300米，多少時間后，兩人相距5千米？由于此題沒有確定出發(fā)的方向，因此就有4種解題策略可供考慮（如圖2）

圖二

策略1是一種反追擊問題。兩人本來相距500米，要變成相距5000米，由于是同向行駛，但速度不一樣，就需要提出中間問題，1分鐘后小明離小剛遠了多少米？1分鐘遠離了100米，也就是速度差，此題得解（5000-500）÷（300-200）=45（分）；策略4雖然也是同向，但考慮情況更復雜，先追上，再超越。策略2和3則是背向行駛，需要考慮相遇問題以及速度和等中間問題。思路不同，策略不同，問題亦不同，解答的過程和結果也不同。

再看一個例子：58個蘋果，拿出幾個后，可以平均分到8個盤子中？此題的答案明顯是不唯一的，學生可以從不同的角度來思考：要把剩余的蘋果平均分到8個盤子里，每個盤子分1個，那么只要剩下8個蘋果就行，多余的蘋果都可以拿出，把要拿出幾個的問題變成了要留下幾個的問題。如果每個盤子分2個，只要有8×2個蘋果就行；如果每個盤子分3個，4個……直到不夠分為止；也可以用58÷8=7（個）……2（個）直接先算出平均每個盤子最多放幾個，剩余的2個拿出來，然后每次從每個盤子里拿1個出來，直至剩余1個為止；對于后進生來說，系統(tǒng)地分解有困難，只要他能夠在每個盤子里平均分1—7個蘋果，多余的拿出就值得表揚。

圖三

以西師版（2013版）三年級下冊P19練習四第8題為例（如圖3）：思考的宗旨就是統(tǒng)一時間，路程遠的快或者統(tǒng)一路程，時間短的快。以第一類統(tǒng)一時間為例，可以統(tǒng)一成1小時行的路程后進行比較，也就是白馬每小時跑多少千米？紅馬每小時跑多少千米？也可以統(tǒng)一成12小時行的路程后進行比較，也就是白馬12小時跑多少千米？紅馬12小時跑多少千米？統(tǒng)一路程的比較方法對于三年級學生來說太難，但對于學過公倍數(shù)的學生來說，就是一種新的方法了。如果提出“每匹馬跑一千米用多少時間？”的問題，用4÷88和3÷72分別求出每匹馬跑1千米的時間，再進行分數(shù)大小比較也是可行的，只是要對不同的年級來進行要求。

三、從解題答案的不唯一性入手

數(shù)學開放性問題的教育價值在于強調了學生自主獲得解答的過程，在尋求解答的過程中，全體學生都可以獨立參與解答過程而不管其屬于何種程度和水平，體現(xiàn)了學生在教學活動中的真正主體地位，每位學生都能經(jīng)歷用已有舊知識再創(chuàng)造的過程，能夠激發(fā)多數(shù)學生的好奇心，培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度。在《小學數(shù)學開放題舉一反三·五年級》有一道拓展延伸題（圖4），要求設計出面積為18平方厘米的圖形，先從長方形開始，學生必須根據(jù)面積來求出長方形的長和寬，才能進行下一步的設計。根據(jù)長方形的面積公式可以得到:18×1=9×2=6×3這三類。但數(shù)數(shù)格子，最長只有17格，無法完成第一種18×1的長方形（當然，再加一列也是可以考慮的方法）；第二種和第三種應該不難，分別可以畫出橫和豎兩類長方形；對于五年級學生來說，如果設計出4.5×4的長方形也不算太難。至于平行四邊形、三角形和梯形的考慮方式和長方形類似，但情況更為復雜化。

圖四

在算盤中，請你用一顆上珠和一顆下珠，表示出萬以內的數(shù)。算盤對于孩子來說比較陌生，檔位也不是太清楚，標注數(shù)位是幫助孩子認識的，每一粒珠代表的數(shù)是學過的，但容易忘記或混淆的是一顆上珠代表的是“5”，不是“1”。題目有兩個要求，一個是“用一顆上珠和一顆下珠”，另一個是“表示出萬以內的數(shù)”，這兩個要求并不難理解，但要讓學生明確“萬以內的數(shù)”是不包括“萬”的，所以，在“萬”那一檔是不能撥珠的。學生明確了范圍，先讓學生任意撥珠，檢查是否符合要求，相信每位學生都會達到要求。接下來，提高要求：上珠只能在個位，有多少種不同的撥法？下珠只能在百位，有多少種不同的撥法？等等不同的要求，學生會提出問題：另一顆珠子可以在哪些檔位？這一類開放題，訓練了學生思維能力，又幫助學生熟悉了算盤的撥珠以及表示的數(shù)。

圖五

數(shù)學開放題的教學策略是通過開放題各個方面的要素呈現(xiàn)的多樣性、復雜性和層次性，提供給學生非常豐富的問題情境，是培養(yǎng)學生問題意識和提高提問能力最好的方式。經(jīng)過長期有效的訓練后，引導學生運用已有知識打開思路，教會學生自主思索，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，自主生成強烈的發(fā)現(xiàn)問題的意識和提出問題的能力，在解決問題的過程中把知識真正內化到自身的認知結構中去。

（策劃組稿：楊傳岡 編輯：胡 璐）

教育部:消除盲目報班不做“虎媽狼爸”

近日，教育部印發(fā)《教育部關于加強家庭教育工作的指導意見》，要求嚴格遵循孩子成長規(guī)律。其中，學齡前兒童家長要為孩子提供健康、豐富的生活和活動環(huán)境，讓他們在快樂的童年生活中獲得有益于身心發(fā)展的經(jīng)驗；小學生家長要督促孩子堅持體育鍛煉，增長自我保護知識和基本自救技能，鼓勵參與勞動，養(yǎng)成良好的生活自理習慣和學習習慣，引導孩子學會感恩父母、誠實為人、誠實做事；中學生家長要對孩子開展性別教育、媒介素養(yǎng)教育，培養(yǎng)孩子積極學業(yè)態(tài)度，與學校配合減輕孩子過重的學業(yè)負擔，指導孩子學會自主選擇。

《意見》特別強調，切實消除學校減負、家長增負，不問興趣、盲目報班，不做“虎媽狼爸”。

（摘自《南京日報》）

劉衍利，1991年參加工作，2002年評為小學數(shù)學高級教師。曾參加過國家級學法指導實驗(主體教育)；市級創(chuàng)新教育實驗；區(qū)等級制實驗(沙區(qū)中小學素質評價實驗)；區(qū)教育局與重慶師院合作的心理健康教育等若干實驗項目研究，擔任過主研和參研。論文、教案、心得等數(shù)十篇文字在全國、市、區(qū)獲得一、二、三等獎，有二十余篇文章發(fā)表在國家、市、區(qū)級報刊、成果匯編中。

本文系全國教育規(guī)劃“十二五”教育部重點課題“數(shù)學開放題對小學生思維發(fā)展的具體影響評測”研究成果。項目編號：DHA140327.

G623.5

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1671-0568 （2015） 31-0085-03