嚴(yán)魯濤，楊志鵬，高 飛，劉 潔（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所 北京，100076）

振動(dòng)試驗(yàn)中削波信號(hào)功率譜密度補(bǔ)償*

嚴(yán)魯濤，楊志鵬，高 飛，劉 潔
（北京強(qiáng)度環(huán)境研究所 北京，100076）

振動(dòng)試驗(yàn)過程中削波會(huì)引起信號(hào)的功率譜密度下降，局部頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的功率譜密度誤差過大將導(dǎo)致試驗(yàn)結(jié)果的可信度降低，尤其對(duì)于模態(tài)試驗(yàn)，輸入信號(hào)削波可能導(dǎo)致信號(hào)譜型局部“下凹”，甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤的試驗(yàn)結(jié)果。從偏斜度、峭度、概率分布和功率譜密度等方面分析了高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)的特性，介紹了功率譜密度補(bǔ)償?shù)念l譜均衡及比例-積分-微分（proportion-integration-differentiation，簡(jiǎn)稱PID）兩種算法，并對(duì)比了這兩種算法的補(bǔ)償效果。結(jié)果表明：對(duì)于高斯信號(hào)，兩種算法從迭代次數(shù)及最小誤差對(duì)比區(qū)別不大，且均能滿足均衡要求；對(duì)于非高斯信號(hào)，PID算法實(shí)現(xiàn)較小誤差的同時(shí)，迭代次數(shù)少，具有一定優(yōu)勢(shì)。

削波；高斯信號(hào)；非高斯信號(hào)；頻譜均衡；比例-微分-積分控制

引 言

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)是振動(dòng)試驗(yàn)的一個(gè)重要分支，對(duì)產(chǎn)品在運(yùn)輸及使用中經(jīng)受的振動(dòng)環(huán)境進(jìn)行模擬［1］。由于隨機(jī)信號(hào)可能產(chǎn)生幾率很小但幅值較大的值，因此需要進(jìn)行限幅處理以保護(hù)振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)。對(duì)于液壓振動(dòng)試驗(yàn)系統(tǒng)，其推力取決于供油壓力及活塞幾何參數(shù)，最大推力一般不可調(diào)整，大幅值信號(hào)可能導(dǎo)致系統(tǒng)無法正常工作?，F(xiàn)有振動(dòng)控制方法多采用對(duì)驅(qū)動(dòng)信號(hào)削波來避免功率放大器、振動(dòng)臺(tái)等器件超限工作［2］。然而，削波是將超限的信號(hào)幅值降低，直接導(dǎo)致信號(hào)的功率譜密度變化。

對(duì)于模態(tài)試驗(yàn)，尤其是基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)試驗(yàn)，一般需要平直譜白噪聲作為輸入［3-4］。削波后的白噪聲信號(hào)會(huì)引發(fā)對(duì)應(yīng)頻率點(diǎn)功率譜密度的“下凹”，而試驗(yàn)中一般將削波信號(hào)直接輸入，并未計(jì)算削波后的功率譜密度，致使利用響應(yīng)信號(hào)功率譜密度研究結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的方法存在一定誤差。

目前隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)中，信號(hào)主要為高斯及非高斯兩種形式。削波信號(hào)使信號(hào)功率下降，即環(huán)境激勵(lì)減弱，可能引發(fā)“欠試驗(yàn)”，在一定程度上降低了試驗(yàn)結(jié)果可信度［5］。此外，產(chǎn)品在實(shí)際使用和運(yùn)輸過程中經(jīng)受的隨機(jī)振動(dòng)也不完全服從高斯分布，而是呈現(xiàn)一定的非高斯性，模擬非高斯分布的隨機(jī)振動(dòng)與實(shí)際振動(dòng)環(huán)境會(huì)更加相近［6-7］。非高斯信號(hào)的代表特征是峰值較高，概率密度中心區(qū)域較窄，且有較長(zhǎng)長(zhǎng)的拖尾，有一部分信號(hào)值超出3σ的范圍，甚至達(dá)到6σ，使用削波處理對(duì)功率譜密度的影響更大。

在振動(dòng)試驗(yàn)過程中，現(xiàn)有的控制算法為傳統(tǒng)的頻譜均衡。其基本原理是根據(jù)控制響應(yīng)譜與參考譜之間的比較，獲取對(duì)驅(qū)動(dòng)譜的修正信息，采用差分方法實(shí)現(xiàn)對(duì)驅(qū)動(dòng)譜的補(bǔ)償，對(duì)得到的新驅(qū)動(dòng)譜提取其頻譜信息，根據(jù)系統(tǒng)控制要求添加相位，通過快速傅里葉逆變換（fast Fourier transform，簡(jiǎn)稱FFT）產(chǎn)生時(shí)域驅(qū)動(dòng)信號(hào)［6，8］。文獻(xiàn)［9］在多輸入多輸出隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制算法中引入變參數(shù)PID控制，在保證快速均衡的基礎(chǔ)上，有效地減小功率譜和參考譜之間的相對(duì)誤差以及加速度總均方根值的控制誤差，提高隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)的控制精度。目前，振動(dòng)試驗(yàn)中削波處理后的信號(hào)一般不做補(bǔ)償處理。筆者以高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)為對(duì)象，分析二者的特性參數(shù)，采用頻譜均衡及PID控制兩種方法對(duì)削波信號(hào)功率譜密度進(jìn)行補(bǔ)償，并對(duì)比兩種方法的有效性和可適用性。

1 信號(hào)特性對(duì)比

傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)只要求進(jìn)行功率譜模擬，在公開的隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)規(guī)范中規(guī)定振動(dòng)控制系統(tǒng)產(chǎn)生的隨機(jī)信號(hào)應(yīng)服從高斯分布［10］。非高斯信號(hào)概率密度分布不滿足正態(tài)分布，工程中通常用偏斜度和峭度兩個(gè)參數(shù)來描述二者的區(qū)別。圖1為典型的高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)，信號(hào)均為仿真信號(hào)，高斯信號(hào)由Matlab軟件生成，非高斯信號(hào)按照文獻(xiàn)［6］中提到的蘊(yùn)含峭度信息的隨機(jī)信號(hào)產(chǎn)生方法生成，該方法得到的非高速信號(hào)滿足偏斜度、峭度要求［6-7］。由圖1看出，非高斯信號(hào)出現(xiàn)不規(guī)則的較大峰值數(shù)量較多，而高斯信號(hào)則相對(duì)平均。對(duì)應(yīng)的概率密度分布曲線如圖2所示。非高斯信號(hào)的概率密度分布曲線不關(guān)于均值線對(duì)稱，為非正態(tài)分布。

兩種信號(hào)的參數(shù)對(duì)比如表1所示。由于受點(diǎn)數(shù)的限制，高斯信號(hào)的偏斜度接近于0，峭度接近于3，而非高斯信號(hào)的偏斜度和峭度與高斯信號(hào)差距較大。從概率分布來看，隨著置信區(qū)間范圍的擴(kuò)大，其內(nèi)信號(hào)的概率逐漸增加。相對(duì)而言，同樣區(qū)間內(nèi)，非高斯信號(hào)的不規(guī)則超限信號(hào)出現(xiàn)概率更高。與之對(duì)應(yīng)，置信區(qū)間內(nèi)信號(hào)的功率譜密度所占比例隨置信區(qū)間范圍的增加而增加，非高斯信號(hào)不規(guī)則信號(hào)的能量比重更大。

圖1 高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)Fig.1 Gaussian and non-Gaussian signals

圖2 高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)的概率密度曲線Fig.2 Probability density of Gaussian and non-Gaussian signals

表1 高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)參數(shù)Tab.1 Parameters of Gaussian and non-Gaussian signals

2 計(jì)算算法

2.1 頻譜均衡算法

隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)過程中的功率譜均衡是影響試驗(yàn)的關(guān)鍵，筆者分析的隨機(jī)信號(hào)為有限長(zhǎng)度的驅(qū)動(dòng)信號(hào)，且隨機(jī)信號(hào)強(qiáng)調(diào)相位的隨機(jī)性，實(shí)現(xiàn)其頻譜的一致即可滿足條件。頻譜均衡控制流程如圖3所示。通過FFT計(jì)算削波前后的信號(hào)頻譜，并留存相位信息。計(jì)算頻譜的誤差，未達(dá)到目標(biāo)誤差值ε時(shí)，通過頻譜均衡對(duì)隨機(jī)信號(hào)頻譜修正，經(jīng)過逆快速傅里葉變換（inverse fast Fourier transform，簡(jiǎn)稱IFFT）即可再次生成隨機(jī)信號(hào)。修正的目的在于降低削波前后信號(hào)功率譜密度曲線的偏差，保證兩曲線的相近程度，此處誤差e取削波前后信號(hào)頻譜誤差的最大值

其中：Y0（f）為初始信號(hào)的頻譜；Yσ（f）為削波信號(hào)頻譜。

圖3 頻譜均衡算法控制流程Fig.3 Power spectrum equalization control flow

2.2 PID算法

PID算法由于其算法簡(jiǎn)單、魯棒性好且可靠性高，被廣泛應(yīng)用于時(shí)域控制過程中［11］。頻域內(nèi)PID控制算法的構(gòu)造過程［9］如下。

如式（2）～（4）所示，將均衡前后的頻譜記作乘積形式，對(duì)等式兩端取對(duì)數(shù)，記誤差Ek（f）的對(duì)數(shù)為本次循環(huán)的誤差Δ（k），并引入PID系數(shù)Kp，Ki，Kd。定義修正量U，如式（5）所示，按式（6）修正式（2），構(gòu)成PID算法。

其中：Yk+1（f）為本次循環(huán)的頻譜；Yk（f）為上次循環(huán)的頻譜；Ek（f）為頻譜傳遞；Δ（k）為迭代誤差。

其中：Δp，Δi和Δd分別為比例、積分和微分修正環(huán)節(jié)誤差；Kp，Ki和Kd分別為比例、積分和微分系數(shù)。

PID控制算法中Kp，Ki和Kd3個(gè)參數(shù)并非獨(dú)立對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響，而是相互匹配的。筆者采用單變量?jī)?yōu)化方法，依次對(duì)Kp，Ki和Kd3個(gè)參數(shù)優(yōu)化，并最終獲得優(yōu)化參數(shù)。

3 計(jì)算結(jié)果及討論

3.1 頻譜均衡算法結(jié)果及討論

3.1.1 高斯信號(hào)

使用頻譜均衡算法對(duì)高斯信號(hào)削波后功率譜密度的修正結(jié)果如圖4所示，其中，削波因子K=2.5。高斯信號(hào)滿足正態(tài)分布，在削波限以外的點(diǎn)數(shù)較少、能量較低，故削波前后引起的功率譜密度變化不大。經(jīng)一次均衡計(jì)算后，削波后所得信號(hào)的功率譜密度與原始信號(hào)的功率譜密度較為接近。迭代總次數(shù)選為10次，其中第3次的最大誤差最小，比一次均衡的結(jié)果更為接近。從曲線整體形狀來看，削波對(duì)高斯信號(hào)的功率譜密度曲線影響不大，但某些頻率點(diǎn)的差距不容忽視（圖4中100 Hz處）?？梢?，對(duì)于振動(dòng)試驗(yàn)而言，一般功率譜密度曲線要求在±3 dB以內(nèi)，可不考慮削波的影響；但對(duì)于模態(tài)試驗(yàn)而言，某些頻率容易出現(xiàn)“下凹”，為追求試驗(yàn)結(jié)果的精度，需要對(duì)削波前后功率譜密度進(jìn)行修正。

圖4 頻譜均衡算法對(duì)高斯信號(hào)削波功率譜修正Fig.4 Power spectrum equalization

經(jīng)頻譜均衡算法修正后，削波前后的信號(hào)如圖5所示。削波后信號(hào)幅值均在2.5σ以內(nèi)，避免了不規(guī)則信號(hào)對(duì)振動(dòng)臺(tái)的影響。

3.1.2 非高斯信號(hào)

頻譜均衡算法非高斯信號(hào)削波功率譜密度的修正效果如圖6所示。對(duì)比圖4，非高斯信號(hào)一次削波后能量損失更為明顯，在部分頻率點(diǎn)（如30，140 和250 Hz等），曲線“下凹”現(xiàn)象較為明顯。由圖6可知，一次均衡的效果并不理想，雖然大部分頻率點(diǎn)的功率譜密度均趨近于初始信號(hào)功率譜密度，但曲線的形狀差別較大。部分頻率點(diǎn)差別十分明顯，如170 Hz和620 Hz等，尤其在620 Hz處，誤差甚至超過了3 d B。最小偏差曲線在第7次迭代后獲得，曲線形狀與初始信號(hào)功率譜密度曲線較為接近，修正效果較好。

圖5 高斯信號(hào)削波前后波形Fig.5 Pre-and post treatment with clipping of Gaussian signal

圖6 頻譜均衡算法對(duì)非高斯信號(hào)削波功率譜修正效果Fig.6 Power spectral density compensation of non-Gaussian signal under power spectrum equalization

經(jīng)修正后，非高斯信號(hào)削波前后的波形如圖7所示，削波后信號(hào)的幅值均在初始信號(hào)2.5倍均方差以內(nèi)。經(jīng)計(jì)算，削波后信號(hào)的偏斜度及峭度分別為-0.018 0及2.939 1。對(duì)比表1，頻譜均衡后削波信號(hào)的峭度變化較大。雖然對(duì)于功率譜等價(jià)原則的振動(dòng)試驗(yàn)影響不大，但仍然不可忽視非高斯信號(hào)的不確定性對(duì)試驗(yàn)件性能的影響。尤其是以窄帶和低頻波形為主的車輛道路模擬和地震模擬等試驗(yàn)，目前研究較多的是基于時(shí)域控制的時(shí)域波形再現(xiàn)技術(shù)［12-13］。此外，針對(duì)非高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)控制中功率譜均衡與峭度均衡相互干涉影響控制精度的問題，文獻(xiàn)［6］提出了非高斯隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)并行控制策略。

圖7 非高斯信號(hào)削波前后波形Fig.7 Pre-and post treatment with clipping of non-Gaussian signal

3.2 PID算法結(jié)果及討論

3.2.1 高斯信號(hào)

圖8 Kp值對(duì)PID算法功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǜ咚剐盘?hào)，Ki=0.06，Kd=0.1）Fig.8 The effect of Kpon power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Ki=0.06，Kd=0.1）

如圖8所示，對(duì)于高斯信號(hào)削波，PID算法對(duì)功率譜密度的補(bǔ)償受Kp值的影響。在Kp值取較小值時(shí)（小于1），隨著迭代次數(shù)的增加，誤差逐漸減小且趨于恒定。隨著Kp值的增加，到達(dá)最小誤差所需的迭代步數(shù)減少，在Kp取0.8時(shí)，僅需3次迭代誤差達(dá)到最小值。當(dāng)Kp值大于1時(shí)，隨迭代步數(shù)的增加，誤差出現(xiàn)大幅振蕩，且遠(yuǎn)超過期望誤差。其主要原因在于，比例環(huán)節(jié)成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差，一般情況下Kp增大偏差減小，但過大時(shí)可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

不同Ki值對(duì)PID算法補(bǔ)償過程的影響如圖9所示。在Ki值小于0.18時(shí)，迭代過程較為接近，如圖9（a）所示。當(dāng)Ki值大于0.21時(shí)，隨迭代次數(shù)的增加，最大誤差迭代過程不穩(wěn)定的情況如圖9（b）所示。Kd值的影響如圖10所示，與Ki的影響較為類似，Kd值較小時(shí)收斂過程較為一致，但過大時(shí)系統(tǒng)誤差出現(xiàn)振蕩。

圖9 Ki值對(duì)PID算法補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǜ咚剐盘?hào)，Kp=0.8，Kd=0.1）Fig.9 The effect of Kion power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Kp=0.8，Kd=0.1）

由此可知，PID算法的控制需要適當(dāng)?shù)恼{(diào)整3個(gè)參數(shù)，以實(shí)現(xiàn)快速穩(wěn)定的控制。對(duì)比兩種不同算法對(duì)高斯信號(hào)削波功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊?，圖4中最小誤差對(duì)應(yīng)功率譜密度曲線與初始信號(hào)功率功率譜密度曲線的最大偏差為0.005 5，而使用PID算法的最大偏差也為0.005 5（Kp=0.8，Ki=0.06，Kd=0.2），迭代次數(shù)均為3次，說明對(duì)于高斯信號(hào)削波的功率譜補(bǔ)償兩種算法差別不大，PID算法的優(yōu)化參數(shù)可以確定為Kp=0.8，Ki=0.06，Kd=0.2。

圖10 Kd值對(duì)PID算法功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǜ咚剐盘?hào)，Kp=0.8，Ki=0.06）Fig.10 The effect of Kdon power spectral density compensation by PID control strategy（Gaussian signal，Kp=0.8，Ki=0.06）

3.2.2 非高斯信號(hào)

使用PID算法對(duì)非高斯信號(hào)削波功率譜密度補(bǔ)償時(shí)，Kp值的影響如圖11所示。與圖8高斯信號(hào)的功率譜密度補(bǔ)償一致，隨著迭代次數(shù)的增加，誤差逐漸減小且趨于穩(wěn)定。隨著Kp值的增加，到達(dá)誤差最小值的迭代次數(shù)減少，如Kp為0.5時(shí)，僅需迭代4次誤差最小。當(dāng)Kp值過大時(shí)，如圖11（b）所示，誤差較大，算法無法收斂。圖11（a）中Kp為0.3時(shí)，迭代第3步誤差出現(xiàn)突變，且略高于上一次迭代的誤差，但之后趨于穩(wěn)定，說明非高斯信號(hào)的偶然性較大，因此Kp取值不宜過大。

Ki值及Kd值對(duì)非高斯信號(hào)削波功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懭鐖D12，13所示，二者取較小值時(shí)，對(duì)算法的影響均不大，尤其是Kd的影響更小。然而，當(dāng)取較大值時(shí)，隨迭代次數(shù)的增加，算法出現(xiàn)不穩(wěn)定，誤差出現(xiàn)較大波動(dòng)。

采用PID算法，高斯信號(hào)的控制易于收斂較為平穩(wěn)，非高斯信號(hào)易出現(xiàn)不穩(wěn)定3個(gè)參數(shù)取值不宜過大。從誤差最小值來看，非高斯信號(hào)的誤差最小為0.028，明顯大于高斯信號(hào)的控制誤差。

對(duì)非高斯信號(hào)，采用均衡算法達(dá)到誤差最小需要迭代7次，誤差最大值為0.038（圖6），而采用PID算法需要迭代4次，誤差最大為0.028，此時(shí)也對(duì)應(yīng)PID算法的最優(yōu)參數(shù)，具體為Kp=0.5，Ki= 0.16，Kd=0.01。因此，采用PID算法對(duì)非高斯信號(hào)削波的功率譜密度補(bǔ)償更具優(yōu)勢(shì)。

圖11 Kp值對(duì)PID算法對(duì)功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǚ歉咚剐盘?hào)，Ki=0.16，Kd=0.01）Fig.11 The effect of Kpon PSD compensation by power spectral density control strategy（non-Gaussian signal，Ki=0.16，Kd=0.01）

圖12 Ki值對(duì)PID算法對(duì)功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǚ歉咚剐盘?hào)，Kp=0.5，Kd=0.01）Fig.12 The effect of Kion power spectral density compensation by PID control strategy（non-Gaussian signal，Kp=0.5，Kd=0.01）

圖13 Kd值對(duì)PID算法對(duì)功率譜密度補(bǔ)償?shù)挠绊懀ǚ歉咚剐盘?hào)，Kp=0.5，Ki=0.16）Fig.13 The effect of Kdon power spectral density compensation by PID control strategy（non-Gaussian signal，Kp=0.5，Ki=0.16）

4 結(jié) 論

1）通過對(duì)高斯信號(hào)及非高斯信號(hào)的特性對(duì)比得到，非高斯信號(hào)幅值概率密度不滿足正態(tài)分布，更易產(chǎn)生不規(guī)則較大量級(jí)信號(hào)點(diǎn)，因此削波對(duì)非高斯信號(hào)的能量損失影響較大。

2）使用頻譜均衡及PID兩種算法補(bǔ)償因削波引起信號(hào)的功率譜密度損失，兩種算法的作用均較為明顯，可使削波后的信號(hào)與初始信號(hào)的功率譜密度較為相近。

3）由于高斯信號(hào)服從正態(tài)分布，削波引起的能量損失較小，兩種算法實(shí)現(xiàn)最小誤差的迭代次數(shù)及誤差大小十分接近，PID算法的優(yōu)化參數(shù)為Kp= 0.8，Ki=0.06，Kd=0.2。

4）對(duì)于非高斯信號(hào)，PID算法在取得適當(dāng)?shù)谋壤?、微分、積分系數(shù)后，可以在較少步數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)較小誤差的迭代，比頻譜均衡算法更具優(yōu)勢(shì)。根據(jù)計(jì)算結(jié)果，非高斯信號(hào)的PID算法優(yōu)化參數(shù)為Kp=0.5，Ki=0.16，Kd=0.01。

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TB535；O324；TH113.1

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.04.015

嚴(yán)魯濤，男，1984年2月生，工程師。主要研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、振動(dòng)試驗(yàn)設(shè)計(jì)及控制方法、綠色制造工藝、微機(jī)電系統(tǒng)。曾發(fā)表《Effects of coding air temperature on cryogenic machining of Ti-6Al-4V alloy》（《Journal of Materials Processing Technology》2011，Vol.211，No.3）等論文。

E-mail：lutaoyan@hotmail.com

*民用航天資助項(xiàng)目

2013-06-16；

2013-09-03