黃惠蓉（南安第一中學(xué)，福建 南安 362300）

強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想 滲透參數(shù)分類整合
——一道高考題引發(fā)的“絕對(duì)值函數(shù)”復(fù)習(xí)策略的思考

黃惠蓉
（南安第一中學(xué)，福建 南安 362300）

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一條主線，在高考專題復(fù)習(xí)階段，不僅要關(guān)注它與其余各章節(jié)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且得講究復(fù)習(xí)策略的固化和優(yōu)化，更要凸顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。以 “絕對(duì)值函數(shù)”專題復(fù)習(xí)為例，有目的地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高考試題進(jìn)行探究拓展，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，滲透參數(shù)分類整合可以利用有限的時(shí)間取得復(fù)習(xí)效益的最大化。

絕對(duì)值函數(shù)；復(fù)習(xí)策略；數(shù)形結(jié)合

筆者在研讀全國高考考試大綱的基礎(chǔ)上，致力于尋求“絕對(duì)值函數(shù)”這一主干知識(shí)的有效復(fù)習(xí)策略。為此，筆者對(duì)某道高考題作了兩個(gè)大系列，六個(gè)小方向的拓展研究。

一、展示

（一）原題呈現(xiàn)2015年全國卷Ⅰ第24題（選修4-5：不等式選講）

已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，a＞0

（I）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集；

（II）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

思路分析：審題是解題的第一步，也是最關(guān)鍵的一步。從題眼入手，理解題意、挖掘內(nèi)涵，并找出各知識(shí)點(diǎn)之間千絲萬縷的聯(lián)系，然后形成初步的解題思路。分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，此函數(shù)含兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，故它是分段函數(shù)，如何對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論，進(jìn)而去絕對(duì)值符號(hào)，寫成分段函數(shù)是本題的難點(diǎn)。

（I）運(yùn)用“零點(diǎn)分區(qū)間法”進(jìn)行分類討論去絕對(duì)值符號(hào)求解一元一次不等式，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸思想；分類時(shí)強(qiáng)調(diào)自變量取值端點(diǎn)設(shè)置應(yīng)做到“不重復(fù)不遺漏”，結(jié)論整合時(shí)遵循“內(nèi)交外并”原則。

（II）數(shù)形結(jié)合，先求出的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出三角形的面積表達(dá)式，再列不等式（一元二次不等式）求解。

解析：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）＞1即|x+1|-2| x-1|＞1；

當(dāng)x＜-1時(shí)，不等式可化為-x-1+2x-2＞1，即x＞4與x＜-1矛盾，舍去；

當(dāng)x＞1時(shí)，不等式可化為x+1-2x+2＞1，即x＜2，故1＜x＜2。

（II）因?yàn)閍＞0＞-1，依題意可得，

得y=a+1；令-x+1+2a=0得x=2a+1.

∴a+1＜-3（舍去）或a+1＞3，故a＞2

綜上述，a的取值范圍為（2，+∞）.

評(píng)析：學(xué)生解題所暴露出來的問題，如數(shù)形結(jié)合思想的欠缺、分類整合方法不得當(dāng)?shù)?，具體體現(xiàn)在以下三方面：兩個(gè)零點(diǎn)大小比較，即分類討論標(biāo)準(zhǔn)模糊；整合結(jié)論沒有遵循“內(nèi)交外并”原則；構(gòu)作函數(shù)圖象（直線、射線）根深蒂固地認(rèn)為只有兩點(diǎn)才能確定一直線，而忽略了直線上的一點(diǎn)、斜率這兩要素也能確定一條直線。

上述高考題結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、構(gòu)思精巧、原生形態(tài)、意境深遠(yuǎn)，有著良好的檢測(cè)功能與較強(qiáng)的命題導(dǎo)向功能，很值得我們一同來鑒賞與探求，其分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用更是符合新課程的理念精神，有助于學(xué)生融會(huì)貫通教材知識(shí)，利于啟發(fā)學(xué)生思維、拓寬知識(shí)視野，提高分析和解決問題的能力。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一條主線，在高考專題復(fù)習(xí)階段，不僅要關(guān)注它與其余各章節(jié)知識(shí)之間的聯(lián)系，而且得講究復(fù)習(xí)策略的固化和優(yōu)化，更要凸顯數(shù)學(xué)思想方法的掌握。以“絕對(duì)值函數(shù)”專題復(fù)習(xí)為例，如何利用有限的時(shí)間，取得復(fù)習(xí)效益的最大化？筆者認(rèn)為：有目的地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高考試題進(jìn)行探究拓展，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，滲透參數(shù)分類整合是很有必要的。

（二）拓展系列1（鋪墊）去除原題的約束條件，求解步驟（II）。基于“零點(diǎn)分區(qū)間法”，著重強(qiáng)調(diào)對(duì)參數(shù)的分類討論以及結(jié)論的整合思想，當(dāng)然解題過程中也不能忽視數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

思路分析：利用分類討論思想，通過對(duì)參數(shù)的縝密討論，去絕對(duì)值符號(hào)，再運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式求解。但是，大家都知道分類討論向來是學(xué)生的“軟肋”，尤其是在分類界點(diǎn)的確定、討論過程的完備性更應(yīng)給學(xué)生提個(gè)醒。

解析：當(dāng)a＜-1時(shí)，

∴a+1＜-3或a+1＞3（舍去），故a＜-4.

當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)f（x）=-|x+1|，如圖f（x）僅與x軸交于一點(diǎn)（-1，0），不合題意，舍去。

當(dāng)a＞-1時(shí)，與原題解法同，得a＞2；

綜上述，a的取值范圍為（-∞，-4）∪（2，+∞）。

根據(jù)試題的特征，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題本質(zhì)進(jìn)行一定的探究，有節(jié)奏地拓展試題所涉及內(nèi)容的深度與廣度，即能達(dá)到做一題通一片的效果。［1］

拓展系列1 函數(shù)、方程、不等式可謂是“一胞三胎”，通過函數(shù)的圖象可將三者緊密地結(jié)合在一起。

拓展系列1.1數(shù)與形式數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，抽象的數(shù)學(xué)概念和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)量關(guān)系可借助于圖形的形象化、直觀化，揭露其深層本質(zhì)。

已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，若不等式f（x）＞1有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

思路分析：本拓展例題旨在，在“數(shù)”中構(gòu)“形”，即根據(jù)代數(shù)問題具有的幾何特征，進(jìn)而判斷不等式有解的情況。具體步驟是分別畫出“形”——函數(shù)f（x）圖象與直線y=1。不等式f（x）＞1有解，實(shí)則函數(shù)f（x）部分圖象應(yīng)在直線y=1上方，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成fmax（x）＞1。

解析：依題意，只需fmax（x）＞1即可。

當(dāng)a＜-1時(shí)，fmax（x）=-a-1＞1，得a＜-2；

當(dāng)a=-1時(shí)，fmax（x）=0＞1矛盾，舍去；

當(dāng)a＞-1時(shí)，fmax（x）=a+1＞1，得a＞0。

綜上述，a的取值范圍為（-∞，-2）∪（2，+∞）。

評(píng)析：該題條件以絕對(duì)值不等式有解的形式給出，求參數(shù)的取值范圍。入口較寬，可以從多角度進(jìn)行思考。題目精致小巧，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。

二次拓展，請(qǐng)進(jìn)一步求出不等式f（x）＞1的解集。

解析：當(dāng)a＜-2時(shí)，令x-1-2a=1得x=2a+ 2；

評(píng)析：幾何直觀能啟迪思路，幫助我們更具體生動(dòng)地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，善于借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解知識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方法。

拓展系列1.2本拓展例題旨在，從“數(shù)”中構(gòu)“形”，解決含參數(shù)方程根的個(gè)數(shù)情況。

已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，若關(guān)于x的方程f（x）=a2+2a-5有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值。

思路分析：本題考查要求層次有所提升。這是一個(gè)關(guān)于x的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)問題，雖然方程中含有參數(shù)a，但仍可將其視作一個(gè)相對(duì)固定的常數(shù)，延續(xù)上題的解題思路，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）圖象與直線y=a2+2a-5的交點(diǎn)問題。由此，我們只是稍作“變換”與“變形”，還原其問題本質(zhì)，使得看似陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的題型。

解析：當(dāng)a＜-1時(shí)，-a-1=a2+2a-5，得a =-4或a=1（舍去）；

當(dāng)a=-1時(shí)，0=-6矛盾，舍去；

當(dāng)a＞-1時(shí)，a+1=a2+2a-5，得a=-3（舍去）或a=2。

綜上述，a=-4或a=2。

二次拓展，若關(guān)于x的方程f（x）=a2+2a-5有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：當(dāng)a＜-1時(shí)，-a-1＞a2+2a-5，得-4＜a＜1，故-4＜a＜-1；

當(dāng)a=-1時(shí)，0＞-6，滿足題意；

當(dāng)a＞-1時(shí)，a+1＞a2+2a-5，得-3＜a＜

2，故-1＜a＜2。

綜上述，a的取值范圍為（-4，2）。

拓展系列1.3 A是B的充分條件，表示A成立可以推出B成立，全國卷中常出現(xiàn)用證明A成立的方法去證B成立，本拓展例題即運(yùn)用充分性的方法，證明多參數(shù)的不等式恒成立問題。

當(dāng)a＜-1時(shí)，fmax（x）=-a-1≤8，得-9≤a ＜-1；

當(dāng)a=-1時(shí)，滿足題意；

當(dāng)a＞-1時(shí)，fmax（x）=a+1≤8，得-1＜a≤7。

綜上述，a的取值范圍為［-9，7］。

（三）拓展系列2 關(guān)注形同而質(zhì)別的“不等式恒成立”與“解的存在性”問題。［2]

拓展系列2.1通過引入?yún)?shù)，求解有關(guān)不等式“恒成立”問題，結(jié)合使用絕對(duì)值不等式的幾何意義。求參數(shù)范圍問題，本質(zhì)上就是構(gòu)建函數(shù)求函數(shù)的值域問題。

已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-1|，若對(duì)任意實(shí)數(shù)s，總有f（s）≤t-f（-s）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解析：由f（s）≤t-f（-s），得|s+1|-2|s-1 |+|-s+1|-2|-s-1|≤t即-（|s+1|+|s-1 |）≤t對(duì)任意s∈R恒成立，故問題轉(zhuǎn)化為求［-（|s+ 1|+|s-1|）］max≤t；

而由絕對(duì)值不等式的幾何意義，可得|s+1|+|s -1|≥2，故t≥-2；

綜上述，t的取值范圍為［-2，+∞）。

拓展系列2.2 作符號(hào)上的細(xì)微調(diào)節(jié)及部分措辭改變，可將不等式轉(zhuǎn)化為“存在性”問題，過程當(dāng)中既可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，也用了絕對(duì)值不等式的幾何意義。

已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-1|，若存在實(shí)數(shù)s，使得f（s）≤t+f（-s）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。

解析：由f（s）≤t+f（-s），得|s+1|-2|s-1 |-|-s+1|+2|-s-1|≤t；

即存在實(shí)數(shù)s，使得3（|s+1|+|s-1|）≤t成立；

此時(shí)，問題轉(zhuǎn)化為求［3（|s+1|+|s-1|）］min≤ t；

而由絕對(duì)值不等式的幾何意義，可得|s+1|+|s -1|≥2，故t≥6；

綜上述，t的取值范圍為［6，+∞）。

評(píng)析：解題之后，要引導(dǎo)學(xué)生做好解題反思，幫助他們反思思維過程，找到解題盲點(diǎn)（易錯(cuò)點(diǎn)、易混點(diǎn)、易忘點(diǎn)），突破解題障礙（思維的障礙、計(jì)算的障礙、轉(zhuǎn)化的障礙），形成較優(yōu)的解題思路和方法。此外，還要做適當(dāng)變式，拓展學(xué)生思維。

二、結(jié)束語

在探索專題復(fù)習(xí)策略的教學(xué)實(shí)踐中，筆者認(rèn)為還應(yīng)注意以下兩方面問題。

1.在解題教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)指導(dǎo)學(xué)生從宏觀上發(fā)現(xiàn)、挖掘解題線索。因?yàn)閷ｎ}復(fù)習(xí)題大多遵循多個(gè)知識(shí)點(diǎn)處交匯命題原則，而這些知識(shí)點(diǎn)多分布于教材的不同模塊之中。故應(yīng)先辨別題目歸屬哪一大類型題，如若是函數(shù)問題，則應(yīng)經(jīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析歸納出研究函數(shù)問題的基本策略：首先，題中涉及的函數(shù)是指、對(duì)數(shù)函數(shù)，還是三角函數(shù)等基本初等函數(shù)或是多種函數(shù)的復(fù)合；其次，是否可以在“數(shù)”中構(gòu)“形”，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，有函數(shù)圖象的變換手段來研究其性質(zhì)；再者，雖然函數(shù)給出了具體解析式，但在作圖上有困難，是否可借用“導(dǎo)數(shù)”這一有力工具研究其單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)。

2.在加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行解題指導(dǎo)的同時(shí)，還應(yīng)教給學(xué)生反思的方法，促進(jìn)學(xué)生元認(rèn)知能力的提升，即引導(dǎo)學(xué)生在解題后對(duì)解題策略的總結(jié)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目考查的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)能力進(jìn)行反思等，并且讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到只要基本概念掌握扎實(shí)，數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用得當(dāng)，運(yùn)算能力有力支持，再復(fù)雜的問題都可以攻克。

［1]袁守義.題不在多，反思則行［J].數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.

［2]黃惠蓉.互動(dòng)探究活動(dòng)，促進(jìn)知識(shí)的意義建構(gòu)［J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（10）.

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A

1673-9884（2015）09-0115-04

2015-08-05

黃惠蓉（1976-），女，福建南安人，南安第一中學(xué)高級(jí)教師。