張炎伙（晉江市安海莊頭小學(xué)，福建 晉江 362200）

借力幾何直觀教學(xué) 驅(qū)動(dòng)小學(xué)生數(shù)學(xué)思考

張炎伙
（晉江市安海莊頭小學(xué)，福建 晉江 362200）

數(shù)學(xué)學(xué)科具有邏輯性、抽象性極強(qiáng)的特點(diǎn)，而小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體（小學(xué)生）卻主要以具體形象思維為主，兩者的 “不融合”亟需教師為學(xué)生的有效數(shù)學(xué)思考搭建形象與抽象溝通的橋梁，幾何直觀教學(xué)是行之有效的途徑。在實(shí)際教學(xué)中，教師可帶領(lǐng)學(xué)生尋找數(shù)學(xué)對(duì)象的 “直觀模型”，喚醒學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考；設(shè)計(jì)分層動(dòng)手操作活動(dòng)，留足時(shí)空夯實(shí)學(xué)生數(shù)學(xué)思考；并讓學(xué)生在豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，感悟數(shù)學(xué)思想方法，升華數(shù)學(xué)思考。

小學(xué)生；數(shù)學(xué)思考；直觀模型；分層動(dòng)手操作

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》明確提出把“數(shù)學(xué)思考”作為小學(xué)數(shù)學(xué)四大目標(biāo)之一?？梢?，“數(shù)學(xué)思考”被凸顯和放大，相比顯性的“數(shù)學(xué)知識(shí)”，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度思考問題，發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含的規(guī)律，經(jīng)歷深層“腦動(dòng)狀態(tài)”的數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)建模過程更重要。反觀實(shí)際的課堂教學(xué)，我們卻遺憾地發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)常處于淺學(xué)習(xí)狀態(tài)，是什么讓兒童的有效思考“悄悄”溜走了？聚焦課堂，筆者觀察到一些原因：小學(xué)生（特別是中低年級(jí)學(xué)生）大多以具體形象思維為主，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維因缺乏直觀模型而無(wú)所依附；教師設(shè)計(jì)的操作活動(dòng)指向或者層次不明等。這也引發(fā)了筆者對(duì)“通過幾何直觀教學(xué)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考”的求索。

《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出“幾何直觀主要是指運(yùn)用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果”。如何依靠“幾何直觀”實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)思考”的完善盡美，如何讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維滑向深處，筆者做了如下嘗試：

一、尋找“數(shù)學(xué)對(duì)象”的直觀模型，喚醒數(shù)學(xué)思考

孔凡哲、史寧中教授指出：數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程表明，越是高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，往往越需要形象直觀的模型作為其解釋和支撐。借助于恰當(dāng)?shù)膱D形、幾何模型進(jìn)行解釋，能夠啟迪思路，使學(xué)生從洞察和想象的內(nèi)部源泉入手，通過自主探索、發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，經(jīng)歷反思性循環(huán)，體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程。［1］可見：面對(duì)復(fù)雜的、抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象，教師首先應(yīng)該帶領(lǐng)學(xué)生尋找最有效的與“數(shù)學(xué)對(duì)象”本質(zhì)關(guān)聯(lián)最大的“直觀模型”。

案例1：北師版二年級(jí)下冊(cè)《生活中的大數(shù)》，本節(jié)課用到最多的直觀模型是：小正方體和計(jì)數(shù)器。教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生充分感受10，100，1000的直觀表象，知道一十是1列，一百是1片，一千成了1個(gè)大正方體（如圖1左圖）。通過小正方體不同的“形”領(lǐng)悟1個(gè)一、1個(gè)十、1個(gè)百、一個(gè)千不同數(shù)的意義，并通過豐富的操作、交流、分享使這些表象深刻扎根于學(xué)生的腦海里，再逐漸抽象為更高級(jí)、更具抽象化的直觀模型：計(jì)數(shù)器模型，一十、一百、一千的模型分別是十位上、百位上、千位上有一顆珠子（如圖1右圖）。至此，新的表象、經(jīng)驗(yàn)再次匯入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里，形成更為完善的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)環(huán)節(jié)需要教師帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷一次次“慢節(jié)奏”滿十進(jìn)一的過程，領(lǐng)悟數(shù)以及對(duì)應(yīng)模型的意義。

“形”的直觀性以及兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀形象思維的主導(dǎo)性決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象的學(xué)習(xí)都需要這樣的“形”作支撐。教學(xué)時(shí)，教師要向?qū)W生提供大量“形”的材料，如在數(shù)線中理解數(shù)的大小、運(yùn)算，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)、小數(shù)，通過點(diǎn)子圖、面積圖認(rèn)識(shí)乘法分配率等，將數(shù)與形完美對(duì)應(yīng)，正如王清宇教師所言：“用數(shù)形結(jié)合解題的基本途徑就是數(shù)、形互譯。”［2］

二、親歷有序操作，夯實(shí)數(shù)學(xué)思考

美國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞言，“在幾何中，視覺思維占主導(dǎo)地位，而代數(shù)中有序思維占主導(dǎo)作用?！?。數(shù)學(xué)學(xué)科螺旋上升和學(xué)生漸進(jìn)思維的特點(diǎn)告訴我們：教師在教學(xué)時(shí)，要用心領(lǐng)悟教材，明晰學(xué)習(xí)對(duì)象的核心本質(zhì)，抓住“核心”設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的實(shí)踐操作活動(dòng)，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)縱向數(shù)學(xué)化過程。

案例2：北師版一年級(jí)下冊(cè)《圖書館》，探索28+4 =？的計(jì)算教學(xué)。本節(jié)課是學(xué)生第一次接觸兩位數(shù)加一位數(shù)有進(jìn)位的加法，理解“個(gè)位上的8加4等于12，應(yīng)該滿十進(jìn)一給十位，十位由20變成30”是本課的難點(diǎn)。當(dāng)然，如果教師能夠組織學(xué)生準(zhǔn)備好直觀模型，充分預(yù)想每一種直觀模型的優(yōu)劣、層次，依著學(xué)生的思維順序逐層遞進(jìn)設(shè)計(jì)操作活動(dòng)的話，教學(xué)難點(diǎn)也將迎刃而解。比如我校鄭老師的教學(xué)實(shí)踐步驟：

1.觀察書本圖片模型。學(xué)生通過接著往下數(shù)的方法，29、30、31、32，得到結(jié)果。

2.小棒模型。用小棒替代書本，由實(shí)物圖片過渡到一般化的數(shù)學(xué)圖形。教學(xué)時(shí)先請(qǐng)學(xué)生說說應(yīng)該怎么操作，理清：1根小棒代表一本書，28本書要28根小棒，4本書要4根小棒，操作前先把20根捆成2捆，28根擺在一邊，4根放一邊，一一對(duì)應(yīng)，充分交流之后再進(jìn)行操作。學(xué)生反饋：8+4=12根，10根先捆成1捆，還有2根零散的，加上剛才的2捆，總共3捆又2根，即32根。

3.應(yīng)用計(jì)數(shù)器模型。師生共同操作、探索，這個(gè)環(huán)節(jié)（特別是個(gè)位的十顆珠子換成十位的一顆珠子的這個(gè)小細(xì)節(jié)）需要教師放慢、再放慢速度，直至學(xué)生真正明白算珠所表示的實(shí)物、計(jì)算的算理之后再進(jìn)入下一環(huán)節(jié)。

4.抽象為豎式模型。充分經(jīng)歷上階段小棒、計(jì)數(shù)器操作之后，學(xué)生再來理解豎式計(jì)算這一抽象方法可謂輕而易舉。但需注意的是，教師要讓學(xué)生把豎式計(jì)算中“進(jìn)位的一”和小棒、計(jì)數(shù)器上“進(jìn)位的一”一一對(duì)應(yīng)，豐富數(shù)的原型，為抽象的數(shù)找到形象的支撐，真正理解算理。

讓學(xué)生經(jīng)歷分層運(yùn)用直觀模型操作探索的過程，有序思考，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的相互融合、對(duì)應(yīng)、替換，學(xué)生才能明白類似28+4=的算理，從而夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)有效、高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

三、感悟數(shù)學(xué)思想方法，升華數(shù)學(xué)思考

案例3：“2014年晉江市小學(xué)數(shù)學(xué)課堂觀摩”中蔡麗圓老師執(zhí)教《比賽場(chǎng)次》。精彩回放：教師呈現(xiàn)問題：我校有20人要參加象棋比賽，每?jī)蓚€(gè)人賽一場(chǎng)，20個(gè)人一共要賽幾場(chǎng)？學(xué)生陷入了沉思，都躍躍欲試，想要找到答案。教師適時(shí)點(diǎn)撥：看同學(xué)們思考得那么認(rèn)真，老師想起了一句話：如果方向錯(cuò)了，停下來就是進(jìn)步。接著，蔡老師引導(dǎo)學(xué)生先說說準(zhǔn)備用什么方法，以防學(xué)生走上思維的“歧途”。再把學(xué)生引向簡(jiǎn)單問題處：嘗試探索參賽人數(shù)為2、3、4、5人等情形，尋求解決問題的方法和規(guī)律。學(xué)生自由表達(dá)自己的思考過程，匯報(bào)如下（如下圖）：

每一種方法，蔡老師都通過不斷地追問引發(fā)學(xué)生深度思考，比如表格法，教師問：“表格中的√表示什么、斜線表示什么，空格表示什么，為什么要把表格的一半去掉”“表格是5行、5列，場(chǎng)數(shù)為什么不是5×5 ÷2”“每個(gè)人賽了幾場(chǎng)？”“再增加一個(gè)人應(yīng)該增加幾場(chǎng)”……每一個(gè)問題都直擊知識(shí)的內(nèi)核，學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到當(dāng)人數(shù)為n時(shí)，場(chǎng)數(shù)為：n×（n-1）÷2。本堂課中，有效的操作，數(shù)與形的完美結(jié)合，教師的準(zhǔn)確引導(dǎo)、追問使“代數(shù)式、數(shù)形結(jié)合、從簡(jiǎn)單問題入手、畫圖、列表、連線”等數(shù)學(xué)思想或方法體現(xiàn)得淋漓盡致，學(xué)生不僅知其然，更知其所以然。

數(shù)學(xué)是思維的體操，順應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)科規(guī)律和學(xué)生的思維特點(diǎn)，找準(zhǔn)直觀模型，數(shù)形結(jié)合，分層操作，引學(xué)生感悟隱藏其間的數(shù)學(xué)思想方法，方能實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維涵養(yǎng)的提升。

［1]孔凡哲，史寧中.關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式——對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)［J].課程·教材·教法，2012（7）.

［2]徐斌.追尋無(wú)痕教育［M].長(zhǎng)春：吉林音像出版社，2010.

［3]米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M].成都：四川教育出版社，1986.

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1673-9884（2015）09-0049-02

2015-07-27

張炎伙（1983-），女，福建寧化人，晉江市安海莊頭小學(xué)一級(jí)教師。