毛春華

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410205）

0 引言

風(fēng)險(xiǎn)型決策的最基本的決策準(zhǔn)則是期望值準(zhǔn)則，其基本原理是決策者應(yīng)該選擇行動(dòng)空間中期望值最大的行動(dòng).期望值準(zhǔn)則也是最直觀處理風(fēng)險(xiǎn)決策的方法，但它不是一個(gè)很合理的準(zhǔn)則，像著名的Petersburg悖論指出的那樣，利用期望值準(zhǔn)則可以導(dǎo)致不理性的決策.為解決Petersburg悖論，Bernouli在1738年提出了效用函數(shù)的概念并論述效用函數(shù)的可能形式.但是，期望效用理論在其形成與發(fā)展過程中，也遇到了一些新的挑戰(zhàn).最大期望效用準(zhǔn)則在某些實(shí)際問題中顯示出了偏差.如在1952年，法國數(shù)學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟(jì)獎(jiǎng)獲得者Allias就提出了著名的悖論.本文試圖引進(jìn)決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，和期望效用一起作為另一個(gè)決策變量，在作出決策行動(dòng)時(shí)綜合考慮每一行動(dòng)方案的期望效用與風(fēng)險(xiǎn)大小，該模型能很好地解釋決策悖論，是對(duì)期望效用理論的完善與發(fā)展.

1 模型的建立

風(fēng)險(xiǎn)型決策問題G=（Θ,A,u),每一決策行動(dòng)對(duì)于決策人來說，既具有一定的期望效用，但也面臨一定的風(fēng)險(xiǎn).所以，決策人在作出決策行動(dòng)時(shí)，必須同時(shí)考慮以上兩個(gè)方面的因素.因此，我們把它們作為兩個(gè)決策變量，引入到同一個(gè)決策函數(shù)f[Eu,Hu]中.為此，我們首先構(gòu)造一個(gè)評(píng)價(jià)決策行動(dòng)優(yōu)劣的決策函數(shù)f[Eu,Hu].

定義1 給出風(fēng)險(xiǎn)型決策問題G=（Θ,A,u)，且行動(dòng)空間中至少存在兩個(gè)行動(dòng)方案，如果行動(dòng)方案a∈A使存在，則行動(dòng)a的效用決策函數(shù)定義為

其中,E[u(a)]表示行動(dòng)a的期望效用，Hu(a)表示行動(dòng)a的效用風(fēng)險(xiǎn)熵，而λ表示決策者對(duì)于所面臨的決策問題的期望效用和風(fēng)險(xiǎn)大小的平衡系數(shù)，它隨著決策著的不同而不同，也隨著決策行動(dòng)空間的變化而變化.不妨稱λ為決策行動(dòng)的效用—風(fēng)險(xiǎn)平衡系數(shù)，一般來說，當(dāng)決策者比較重視決策行動(dòng)的期望效用而不重視風(fēng)險(xiǎn)大小時(shí)，λ接近于1，當(dāng)λ=1時(shí)，則該決策函數(shù)就是決策行動(dòng)的期望效用.反之，當(dāng)決策者特別關(guān)注決策行動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，λ相對(duì)較小.

顯然，該效用決策函數(shù)只是一個(gè)比較性定義，它只具有相對(duì)性的含義.由決策行動(dòng)空間中的各個(gè)決策行動(dòng)的期望效用和每個(gè)行動(dòng)本身的效用風(fēng)險(xiǎn)熵決定，它既考慮了每一決策行動(dòng)對(duì)決策者所具有的主觀期望效用，也考慮了每一行動(dòng)所具有的不確定性大小給決策者帶來的效用風(fēng)險(xiǎn).

定義2 風(fēng)險(xiǎn)型決策問題（Θ,A,u),a1，a2∈A,如果f(a1)>f(a2)，則我們稱行動(dòng) a1優(yōu)于 a2，即 f(a1)>f(a2)圳a1>a2.

如果存在行動(dòng)a*∈A,使得,則稱行動(dòng)方案a*為在效用決策模型下的最優(yōu)方案.

利用效用模型的決策方法可以將行動(dòng)空間中的每一行動(dòng)方案按其函數(shù)值的大小進(jìn)行排序，從而找出其中的最優(yōu)方案.

2 模型的性質(zhì)

定義1風(fēng)險(xiǎn)型決策的效用模型有如下一些性質(zhì)：

定理1 決策函數(shù)f[Eu,Hu]是關(guān)于期望效用E[u(a)]的增函數(shù)，是關(guān)于效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)的減函數(shù).且對(duì)于a1,a2∈A，如果有

E[u(a1)]≥E[u(a2)]，且 Hu(a1)≤Hu(a2)，則 f(a1)≥f(a2).

證明 由定義1中效用決策函數(shù)表達(dá)式

容易得出結(jié)論.

定理2 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題（Θ,A,u)，有

(1)若決策行動(dòng)A中的所有行動(dòng)方案的期望效用E[u(a)]都相同，則效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)最小的行動(dòng)是最優(yōu)行動(dòng).

(2)決策行動(dòng)A中的所有行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)的效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)都相同，則期望效用E[u(a)]最大的行動(dòng)即為最優(yōu)行動(dòng).

證明 因?yàn)槊恳粵Q策行動(dòng)的期望效用E[u(a)]都相同，決策函數(shù)f[Eu,Hu]是關(guān)于效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)的減函數(shù)，從而效用風(fēng)險(xiǎn)熵最小的行動(dòng)決策函數(shù)值最大，根據(jù)定義2，它是最優(yōu)行動(dòng).

同理，若每一決策行動(dòng)效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)相同，決策函數(shù)是關(guān)于期望效用E[u(a)]的增函數(shù)，從而期望效用E[u(a)]最大的行動(dòng)決策函數(shù)值也最大，即它是最優(yōu)行動(dòng).

由以上可知，若所有決策行動(dòng)的期望效用E[u(a)]相同，則只要比較它們的效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)的大小即可，效用風(fēng)險(xiǎn)熵最小的即為最優(yōu)行動(dòng)；如果所有行動(dòng)方案的效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)的相同，則只要比較它們的期望效用E[u(a)，期望效用最大的即為最優(yōu)行動(dòng).特別地，我們有：

定理3 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題（Θ,A,u)，當(dāng)行動(dòng)空間中只有行動(dòng)a1和a2時(shí)，若行動(dòng)方案a1和a2的期望效用E[u(a)]相同，則效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)小的行動(dòng)即為最優(yōu)行動(dòng)；如果它們的效用風(fēng)險(xiǎn)熵Hu(a)相同，則期望效用E[u(a)]大的即為最優(yōu)行動(dòng).

更進(jìn)一步，如果兩個(gè)決策行動(dòng)a1和a2中，a1是確定性行動(dòng)，a2為風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)，則還有如下結(jié)論：

定理4(1)若兩行動(dòng)a1和a2有相同的期望效用E[u(a)],則確定性行動(dòng)a1即為最優(yōu)行動(dòng).(2)若兩行動(dòng)有相同的均值，假設(shè)決策者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，則確定性行動(dòng)a1為最優(yōu)行動(dòng).

證明 （1）很顯然，由效用風(fēng)險(xiǎn)熵的性質(zhì)可知Hu(a1)=0,Hu(a2)>0，且它們的期望效用值E[u(a)]相同，根據(jù)定理2,有f(a1)>f(a2)，即a1為最優(yōu)行動(dòng).

(2)設(shè)風(fēng)險(xiǎn)型行動(dòng)a2的概率分布為

表1 風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)a2的概率分布

令a1和a2的期望值為c，由于決策者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的，于是其效用函數(shù)局部為上凸的，由Jesen不等式，可以得到

于是有

行動(dòng)a1和a2的效用風(fēng)險(xiǎn)熵有Hu(x,a1)=0,Hu(x,a2)>0,因而，根據(jù)定理3有f(a1)>f(a2)，即a1為最優(yōu)行動(dòng).

對(duì)于如上的決策問題，如果用期望效用準(zhǔn)則來進(jìn)行決策，同樣可以得出行動(dòng)a1優(yōu)于行動(dòng)a2.即對(duì)于該決策問題，用效用決策方法與期望效用理論得到的結(jié)果相一致.由此可見，在某些情況下，兩個(gè)準(zhǔn)則得到的結(jié)論是相容的.同時(shí)，上述定理得到的結(jié)論與一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的決策者憑直覺作出的決策一致.由此也可以說明，對(duì)于該決策問題，效用—風(fēng)險(xiǎn)決策模型既可以作為決策的規(guī)范化模型，也可以作為決策的描述性模型.

如果決策者為風(fēng)險(xiǎn)中性的，我們還有如下的結(jié)論：

定理5 對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題（Θ,A,u)，假定決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的，具有線性的效用函數(shù),設(shè)對(duì)于行動(dòng)空間中的行動(dòng)a1和a2具有相同的均值，即E[u(a1)]=E[u(a2)],如果Hu(x,a1)

證明 由于決策者具有線性的效用函數(shù)，且行動(dòng)a1和a2有相同的期望值，從而它們有相同的期望效用，又Hu(x,a1)

3 模型的應(yīng)用

在以下實(shí)例中，假設(shè)決策者是風(fēng)險(xiǎn)中性的（其它風(fēng)險(xiǎn)情形，模型的應(yīng)用方法亦相同），有線性的效用函數(shù)u(x)=，其中xmax和xmin分別表示最大的和最小的損益值.例1 設(shè)風(fēng)險(xiǎn)型決策只有兩個(gè)行動(dòng)a1和a2，它們分別如下

a1：以0.3的概率得到10元，以0.4的概率得到20元，以0.3的概率得到30元；

a2：以0.2的概率得到10元，以0.6的概率得到20元，以0.2的概率得到30元.列表如下:

表2 風(fēng)險(xiǎn)型行動(dòng)a1和a2的收益及其概率

通過計(jì)算，我們得到行動(dòng)a1和a2的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵于下表：

表3 行動(dòng)a1和a2的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵

因?yàn)?Eu(a1)=Eu(a2)，但 Hu(a1)>Hu(a2)，因此，對(duì)任意的 λ，由定理 3，都有 f(a1)

例2 現(xiàn)有三個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型投資決策X1,X2,X3其收益率（%）及其相應(yīng)的概率如下表所示

表4 風(fēng)險(xiǎn)投資行動(dòng)X1,X2,X3

通過計(jì)算，我們可以得到三個(gè)行動(dòng)X1，X2，X3的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵，對(duì)其列表如下

表5 行動(dòng)X1,X2,X3的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵

很明顯，由于Eu(X3)>Eu(X2),且Hu(X3)

再來分析X3與X1，假設(shè)決策者的期望效用－效用風(fēng)險(xiǎn)熵平衡系數(shù)為λ，則X3與X1的效用函數(shù)值分別

X3優(yōu)于X1的充要條件為

即當(dāng)且僅當(dāng)0.511<λ≤1時(shí)，投資者的決策行動(dòng)X3優(yōu)于X1.同理，我們可以討論X2與X1之間的優(yōu)劣關(guān)系.

接下來我們進(jìn)一步分析X1,X2,X3之間的隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，不難得到它們的分布函數(shù)分別為

容易驗(yàn)證，X1和X2之間，X1和X3之間不具有一階隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系，而對(duì)任何x，均有F3(x)≤F2(x)，且至少存在一個(gè)x0，使得 F3(x0)≤F2(x0)，于是 X3一階隨機(jī)占優(yōu)于 X2，這與效用決策模型得到的結(jié)論一致.

例3 Allias悖論的解釋,Allias決策悖論的損益值及其相應(yīng)的概率可列表如下：

表6 Allias悖論的決策行動(dòng)

計(jì)算它們的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵于下表：

表7 行動(dòng)a1,a2,a3,a4的期望效用和效用風(fēng)險(xiǎn)熵

于是，它們的效用決策函數(shù)值分別為

由效用決策模型，我們有

4 結(jié)束語

利用本文構(gòu)造的決策模型比較合理的解釋了Allias悖論，同時(shí)也可以看出，人的決策行為不只是考慮期望效用，其實(shí)還要考慮決策的風(fēng)險(xiǎn)因素，因此在解決風(fēng)險(xiǎn)型決策問題時(shí)，同時(shí)考慮期望效用和風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)因素更加科學(xué)，也更符合決策者的決策行為機(jī)理.

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