王公正，李曉蒙，莫潤陽，葉 明，楊厚祿

(陜西師范大學物理學與信息技術學院/陜西省超聲學重點實驗室，陜西西安 710062)

超聲空化機理已經得到了人們的廣泛關 注［1-7］，1917年，Rayleigh首先提出無限大不可壓縮液體中單個球形空化泡運動學模擬［5］，由于沒考慮表面張力、含氣量和壓縮性等因素對空泡運動的影響，其計算的結果有時與實際情況不符。Prospertti A通過引入聲輻射這一因素，對其修正得到R-P方程［8］，但這些都是研究液體中微小氣泡的運動情況?，F實生活中，超聲作用下的液-液兩相非均相系統(tǒng)或膜隔離的兩相系統(tǒng)經常遇到如下問題:超聲催化乳化體系［9-13］，超聲對生命體中細胞膜內、外物質和能量的傳輸［14-16］，超聲作用下軟物質液滴(如:凝膠、囊泡等)會怎樣變化，以及超聲吸脂減肥過程中［17-19］，超聲對脂肪粒和脂肪細胞這些類似于水滴物質的作用機理如何等，這些問題都是令人關注的。因此關于超聲場中反相乳液的研究就顯得尤為重要。本文參考空化泡運動方程的推導方法［20-22］，推導出水滴在超聲作用下的運動方程，用數值模擬的方法研究了在超聲作用下油中水滴半徑的變化，為進一步研究超聲對反相乳液作用機理提供理論依據。

1 水滴運動學方程的理論推導

1.1 模型的簡化

本文以油為分散相，研究一個水滴在邊緣無限大的分散相中的運動，如圖1所示。液體的可壓縮性比較小，但外加高強度超聲作用時，水滴因外加壓力作用而引起的微小體積變化與半徑為微米級的初始水滴體積相比，其變化不容忽略，即水滴可壓縮性不能被忽略，而相同外加壓力作用在分散相液體上所引起的微小體積變化與分散相這個大環(huán)境整個體積相比是微乎其微的，因而此過程分散相液體可以被假設為不可壓縮的。假設水滴在超聲場作用下發(fā)生體積膨脹收縮現象，則肯定會伴有能量轉換存在。由能量守恒推導出多參數下的水滴運動方程，并對模型進行以下簡化:①水滴在運動過程中始終保持球形;②水滴壁只做徑向運動，避免因水滴壁運動的不對稱性所帶來的復雜情況;③ 假設分散相液體為不可壓縮液體，水滴為可壓縮液體;④ 忽略重力影響;⑤ 水滴在運動過程中無能量損失。

1.2 水滴壁受力分析

由于水滴壁界面兩邊分子性質不同，界面上分子所處力場不是各向同性的，因此存在收縮界面的界面張力［23］。如果知道兩相物質的表面張力，那么就可以利用調和平均方程求出兩相之間的界面張力，調和平均方程主要適用于低能物質(如聚合物、有機液體、水等)之間的界面張力的求解［24］。凸液面表面的附加壓強為［25］

圖1 油相中水滴簡化模型Fig.1 Simplified model of a water-drop in oil phase

因為兩相液體分別為油相與水，所以權衡后為了簡化，下文界面張力系數統(tǒng)一取σ12=0.050 0N/m。

無超聲作用時，油和水滴組成的系統(tǒng)為靜止流體系統(tǒng)，所以其組成界面為等壓面，水滴在油中保持平衡，水滴壁內外壓力相等，因此有

其中P0為水滴周圍油的靜壓，R0為水滴的初始半徑。

1.3 水滴動力學方程推導

假設整個過程為等溫過程，那么水滴體積僅是壓力的函數。由等溫壓縮系數和體積彈性模量進行推導，可以得出液體的等溫狀態(tài)方程［26-27］

其中對于恒定溫度下同種液體，A、C、n是定值，本文取水滴溫度為40℃，則A=3.688 1，C=3 653，n=0.158 11。

在無超聲作用時，水滴的等溫狀態(tài)方程為

在外加超聲時，設水滴壁內對應的壓力為P'in，則對應水滴的等溫狀態(tài)方程為

聯立(1)，(2)式可得:

進一步整理可得:

此時對應的水滴壁外部受力為

其中PA=Pasin(ωt)為超聲波作用在水滴壁上的壓力，Pa為超聲聲壓幅值。

在外力作用下，水滴半徑從R0變化到R，合外力對水滴做功為

水滴收縮液體獲得的動能為

根據能量守恒，水滴在合外力作用下半徑從R0變化到R，合外力對水滴做的功就等于水滴所獲得的動能，即

此處 P=P'in-P'out。

兩邊對R微分，整理可得

若進一步考慮水滴運動過程中的能量粘滯損耗，以及水滴振動時向分散相液體輻射聲波而存在的輻射阻尼［22］，代入 P'in，P'out則公式可修正為

在不同參數影響下的水滴壁運動方程屬于2階非線性常微分方程，得不出解析解，需要先變形為形如R·=R(t，R)的一階微分方程組，再采用數值迭代法求出其數值解。本文采用4-5階的Runge-Kutta算法［28］，利用 MATLAB 軟件進行計算機模擬，得出模型方程的解。

2 結果與討論

2.1 聲速及分散相液體參數對水滴半徑變化的影響

2.1.1 聲速對水滴半徑變化的影響 分散相液體不同即油的種類不同，對應的超聲傳播速度就不同。圖2a是聲速分別取1 000 m/s，1 100 m/s，1 200 m/s，1 300 m/s，1 400 m/s的分散相液體中水滴半徑在5T(5個周期)內的變化，可以看出不同的聲速下水滴半徑變化幾乎完全相同，增長幅值大約都為初始半徑的25倍。圖2(b)為圖2(a)的二維圖，從圖中可以得出，水滴大約每0.7T完成一次增長和收縮。收縮達到的最小值約為初始半徑的0.6倍，增長和收縮后大約0.3T的時長，水滴半徑在初始半徑附近作微小的震蕩，如圖2(c)所示。

2.1.2 密度對水滴半徑變化的影響 油的種類不同，其對應密度就不同。圖3(a)是分散相液體密 度 分 別 為 700kg/m3，800kg/m3，900kg/m3，950kg/m3時水滴半徑變化情況，圖3(b)為圖3(a)的二維圖。從圖中可以看出，分散相液體密度越大，水滴增長振幅越小。密度從700kg/m3增加到950kg/m3的過程中，水滴增長幅值大約從水滴初始半徑的25.6倍降到22.1倍，水滴壓縮幅值大約為初始半徑的0.6倍。分散相液體密度不同，但水滴增長壓縮所用的時長及作微小震蕩所用時長幾乎一樣，分別為0.7T和0.3T。

2.1.3 粘滯系數對水滴半徑變化的影響 油的種類不同，粘滯系數就不同。圖4(a)為分散相液體粘滯系數分別取1×10-3Pa·s，50×10-3Pa·s，100 ×10-3Pa·s，150 ×10-3Pa·s時水滴半徑變化，圖4(b)為圖4(a)的二維圖。從圖中可看出，分散相液體粘滯系數越小，水滴振動的振幅越大，粘滯系數從1×10-3Pa·s增加到150×10-3Pa·s的過程中，水滴增長幅值從初始半徑的大約24倍減小到5倍左右，水滴收縮幅值大約為初始半徑的0.6倍。同時隨著粘滯系數的增加，水滴增長收縮所用時長逐漸減小，而作微小震蕩所用時長逐漸增長，例如當粘滯系數為1×10-3Pa·s時，水滴增長收縮所用時長為0.7T，作微小震蕩所用時長為0.3T，當粘滯系數增長到150×10-3Pa·s時，水滴增長收縮所用時長減小到大約0.45T，作微小振動所用時長大約增長到0.55T。

圖2 不同聲速下水滴半徑的變化Fig.2 Variation of water-drop radius at the different sound velocity

圖3 不同密度下水滴半徑的變化Fig.3 Variation of water-drop radius at the different density of oil phase

2.1.4 靜壓對水滴半徑變化的影響 圖5(a)為分散相液體靜壓分別取2×1.013×105Pa，3×1.013×105Pa，4×1.013×105Pa時水滴半徑的變化情況，圖5(b)為圖5(a)的二維圖。從中可以看出，當靜壓不小于超聲激勵聲壓幅值(2×1.013×105Pa)時，水滴半徑在初始半徑附近作小幅度的震蕩，并且隨著靜壓的增大，水滴增長收縮幅值都越來越小，當靜壓和超聲激勵聲壓幅值相等時，水滴增長幅值大約只有初始半徑的1.14倍，收縮幅值大約只能達到初始半徑的0.97倍。而從圖2，3，4可以得知，當超聲激勵聲壓幅值與靜壓分別取2×1.013×105Pa與1.013×105Pa時，即超聲激勵聲壓幅值大于靜壓時，水滴都會有相對明顯的增長和收縮，水滴增長幅值可達到初始半徑的25倍左右，收縮幅值幾乎為初始半徑的0.6倍?？梢娕c超聲激勵聲壓幅值大于靜壓相比，靜壓不小于超聲激勵聲壓幅值時，水滴更不容易增長和壓縮，在激勵聲壓幅值不變的情況下，靜壓越大水滴體積越不容易發(fā)生變化。

圖4 不同粘滯系數下水滴半徑的變化Fig.4 Variation of water-drop radius at the different of the viscous coefficient

圖5 不同靜壓下水滴半徑的變化Fig.5 Variation of water-drop radius at the different of the static pressure

2.2 初始半徑及外界超聲激勵參量對水滴半徑變化的影響

2.2.1 初始半徑對水滴半徑變化的影響 圖6為水滴初始半徑分別取 3μm，6μm，9μm 時水滴半徑在超聲激勵下的變化。從圖中可以看出，水滴初始半徑越大，水滴半徑變化幅度越小，在初始半徑為3μm時，水滴的增長幅度可達初始半徑的45倍左右，當初始半徑為9μm時，水滴的增長幅度減小為初始半徑的15倍左右。假設水滴初始半徑一直增大，那么對應的水滴增長幅度就會一直減小，最終減小到不再增長，也就是當水滴初始半徑足夠大時，即使在超聲激勵下水滴也很難發(fā)生體積變化。

2.2.2 超聲激勵聲壓幅值對水滴半徑變化的影響 圖7(a)為超聲激勵聲壓幅值分別取2×1.013×105Pa，4 ×1.013 ×105Pa，8 ×1.013×105Pa時水滴半徑的變化情況。從圖中可以看出，隨著超聲激勵聲壓幅值的小幅度增大，水滴增長振幅逐漸變大，水滴在一個周期內增長收縮所用時長增加，在初始半徑附近做微小振動時長減短。當超聲激勵聲壓幅值為2×1.013×105Pa時，水滴增長幅值為初始半徑的24倍左右，增長收縮所用時長大約為0.7T，在初始半徑附近做微小振動所用時長大約為0.3T，當超聲激勵聲壓幅值為8×1.013×105Pa時，水滴增長幅值增長到初始半徑的92倍左右，增長收縮所用時長大約為1T，水滴半徑幾乎不再在初始半徑附近做微小振動。

圖6 不同初始半徑下水滴半徑的變化Fig.6 Variation of water-drop radius at the different of the initial radius

圖7(b)為超聲激勵聲壓幅值分別為10×1.013×105Pa，100×1.013×105Pa，200×1.013×105Pa，500×1.013×105Pa時水滴半徑變化情況，圖7(c)為圖7(b)的二維圖。從圖中可以看出，隨著超聲激勵聲壓幅值大幅度增長，水滴增長振幅在逐漸變大的同時，各個周期水滴半徑的增長幅值并不相同，但2T，4T時間段水滴增長振幅會周期性地逐漸趕上1T，3T，5T時間段的增長振幅?？梢娂盥晧涸酱?，水滴半徑增長越大，當激勵聲壓足夠大時，奇偶周期段水滴增長幅度不同，但偶數周期段水滴半徑的變化會隨著激勵聲壓幅值的大幅度增大而周期性地趕上奇數周期段水滴半徑的變化幅度。

圖7 不同激勵聲壓幅值下水滴半徑的變化Fig.7 Variation of water-drop radius at the different of the pressure magnitude

2.2.3 超聲激勵頻率對水滴半徑變化的影響圖8(a)為超聲頻率分別為2×104Hz，4×104Hz，1×105Hz，2×105Hz時水滴半徑的變化。從中可以看出，隨著超聲頻率的增大，水滴增長幅值逐漸變小，當頻率為2×104Hz時，水滴增長幅值大約為初始半徑的106倍，當頻率為2×105Hz時，水滴增長幅值減小到初始半徑的11倍左右。

圖8(b)為超聲頻率，分別為1×106Hz，2×106Hz，1×107Hz時水滴半徑的變化。從中可以看出，隨著超聲頻率的增大水滴振幅逐漸減小的同時，增長出現次峰值的個數卻在增多。頻率為1×106Hz時，水滴每做一次劇烈收縮，半徑增長出現2個峰值，頻率為2×106Hz時，水滴做一次劇烈收縮，半徑增長有時會出現3，4個峰值，當頻率為1×107Hz時，水滴半徑幾乎不再發(fā)生變化。

圖8 不同激勵頻率下水滴半徑的變化Fig.8 Variation of water-drop radius at the different ultrasonic frequency

3 結語

兩相液體中分散水滴在超聲場作用下所發(fā)生的變化，不僅僅取決于水滴本身和分散相液體的參數，即“內因”，也取決于外界所加超聲激勵參數即“外因”。對于不同的分散相液體所對應的不同聲速、密度、粘滯系數而言，在激勵頻率為2×104Hz、激勵聲壓幅值為2×1.013×105Pa的超聲作用下，聲速對水滴半徑變化幾乎沒影響，密度和粘滯系數越小，水滴半徑變化越明顯，靜壓越大，水滴越不容易發(fā)生體積變化，初始半徑越小，水滴變化幅度越大;在分散相液體確定的情況下，超聲激勵聲壓幅值越大，水滴半徑增長幅度越大，超聲激勵頻率越高，水滴半徑增長越小，當激勵頻率為1×107Hz時，水滴半徑幾乎處于初始半徑的穩(wěn)定狀態(tài)。在超聲激勵下，與水滴壓縮相比，水滴增長更明顯些。通過分析油相中水滴在超聲場中半徑變化的模擬計算結果，可以推測出反相乳液系統(tǒng)或類似于反相乳液系統(tǒng)，其內部近似水滴部分在超聲作用下將發(fā)生增長和微小收縮現象，并且增長收縮程度不只取決于外加超聲場的各個參量大小，而且取決于所研究系統(tǒng)本身的一些參量。這些結果會對超聲在生物醫(yī)學工程研究方面提供指導。

本文在水滴動力學方程推導的過程中有的因素并沒有考慮進去，如分散相液體相對更小的可壓縮性等，這有待于進一步深化研究。

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