摘 要：今年來(lái)，切換系統(tǒng)的研究成為了控制領(lǐng)域研究的核心問(wèn)題之一，得到了越來(lái)越多的學(xué)者的關(guān)注。切換系統(tǒng)涉及到了很多廣泛的領(lǐng)域，如：電子科技領(lǐng)域、通訊領(lǐng)域、交通領(lǐng)域等，對(duì)于切換系統(tǒng)的研究變得尤為重要。本文見(jiàn)以切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的研究現(xiàn)狀，進(jìn)而研究了切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的分析，為了切換系統(tǒng)的研究與發(fā)展，繼而提供了切換系統(tǒng)的最優(yōu)穩(wěn)定性的設(shè)計(jì)，以此展開(kāi)此文的論述。

關(guān)鍵詞：切換系統(tǒng)；穩(wěn)定性；分析；設(shè)計(jì)；研究

中圖分類(lèi)號(hào)：TP273

切換系統(tǒng)是混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的其中一種重要的模型，具有特殊性，混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)包括了兩種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，即離散事件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和連續(xù)或離散時(shí)間變量動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。切換系統(tǒng)在混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中是非常重要的其中的模型。

1 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性

切換系統(tǒng)的正常運(yùn)行，是基于系統(tǒng)的穩(wěn)定性能的前提下的，所以，穩(wěn)定性是切換系統(tǒng)的研究的話題。研究為了提高切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使切換系統(tǒng)正常運(yùn)行。由于對(duì)于系統(tǒng)內(nèi)部的復(fù)雜的程序與序列進(jìn)行符號(hào)識(shí)別與切換，并保證切換得當(dāng)，方能確保切換系統(tǒng)的穩(wěn)定操作與運(yùn)行。對(duì)于切換系統(tǒng)內(nèi)的子系統(tǒng)的穩(wěn)定性能如何，若切換得當(dāng)，切換系統(tǒng)都能穩(wěn)定運(yùn)行。因此，切換系統(tǒng)中的切換是否得當(dāng)，關(guān)系到切換系統(tǒng)能否穩(wěn)定運(yùn)行。以下通過(guò)介紹公共Lyapunov函數(shù)與多Lyapunov函數(shù)是如何控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的。

1.1 公共Lyapunov函數(shù)

為了研究切換系統(tǒng)在任意的切換信號(hào)下都能保持穩(wěn)定性，其中達(dá)到該目的需要有什么條件，在公共Lyapunov函數(shù)的系統(tǒng)中對(duì)于任意的切換信號(hào)下切換系統(tǒng)保持著相對(duì)穩(wěn)定地狀態(tài)，因此，公共Lyapunov函數(shù)可以解決在任意切換信號(hào)下控制切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性的問(wèn)題。對(duì)于公共Lyapunov函數(shù)的假設(shè)，我們可以認(rèn)為：切換系統(tǒng)內(nèi)的所有子系統(tǒng)都存在公共Lyapunov函數(shù)，切換系統(tǒng)在任意切換信號(hào)下，都能保持切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)于公共Lyapunov函數(shù)，如果Lyapunov函數(shù)V（x）>0，那么有：

上式則是公共Lyapunov函數(shù)，由以上的式子可以看出，當(dāng)V（x）>0時(shí)，系統(tǒng)能夠達(dá)到趨于穩(wěn)定狀態(tài)，但是，如果V（x）沒(méi)有這一局限性，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性是全局性的，不能很好地保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

在一組穩(wěn)定地矩陣Ai（i∈Q），則存在一個(gè)正定矩陣P>0，有：

該式稱(chēng)為公共二次Lyapunov函數(shù)。

對(duì)于切換系統(tǒng)中的公共Lyapunov函數(shù)若符合以下兩個(gè)條件：若線性切換系統(tǒng)Lie代數(shù) 可解，全部指數(shù)穩(wěn)定，則存在二次型公共Lyapunov函數(shù)；若非線性切換系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng) ，系統(tǒng)趨向穩(wěn)定，不分指數(shù)穩(wěn)定，則存在公共Lyapunov函數(shù)。

1.2 多Lyapunov函數(shù)

由于公共Lyapunov函數(shù)需要滿足的條件非常多且復(fù)雜，具有一定的局限性，且許多的切換系統(tǒng)中并不存在公共Lyapunov函數(shù)，因此，也就研制出了多Lyapunov函數(shù)，該函數(shù)是可以根據(jù)需要設(shè)置出適當(dāng)?shù)那袚Q信號(hào)，使得切換系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行，相對(duì)于公共Lyapunov函數(shù)的局限性較少，具有更廣泛地應(yīng)用。對(duì)于多Lyapunov函數(shù)，其構(gòu)思是，先定義一組類(lèi)Lyapunov函數(shù)，然后對(duì)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判定。

1.3 基于逗留時(shí)間的穩(wěn)定性

長(zhǎng)逗留時(shí)間穩(wěn)定性，是指切換系統(tǒng)在各個(gè)子系統(tǒng)中進(jìn)行的序列切換時(shí)間足夠長(zhǎng)，足以抵消且超過(guò)切換過(guò)程導(dǎo)致的系統(tǒng)總能量的增長(zhǎng)趨勢(shì)，這樣，就能使得切換系統(tǒng)保持穩(wěn)定運(yùn)行的狀態(tài)。該長(zhǎng)逗留時(shí)間穩(wěn)定性的方法，是保證了切換系統(tǒng)在對(duì)序列的切換過(guò)程中的切換是否得當(dāng)?shù)倪^(guò)程，與上述的兩種公共Lyapunov函數(shù)和多Lyapunov函數(shù)不同。

最簡(jiǎn)單的長(zhǎng)逗留時(shí)間穩(wěn)定性的方法是，在切換系統(tǒng)的切換過(guò)程中，引入一個(gè)正常數(shù)x>0，并且進(jìn)行相應(yīng)的假設(shè)，相鄰的兩個(gè)切換過(guò)程所用的時(shí)間差大于等于x的切換信號(hào)，也就是切換系統(tǒng)每次在各自的子系統(tǒng)中的切換過(guò)程所逗留的時(shí)間不小于x。

如果各子系統(tǒng)都趨于穩(wěn)定，切換系統(tǒng)的切換信號(hào)在子系統(tǒng)中的序列切換逗留足夠長(zhǎng)的時(shí)間，x足夠大，那么就能夠保證切換系統(tǒng)的所有指數(shù)穩(wěn)定。

2 切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

由于時(shí)滯效應(yīng)廣泛存在于各種類(lèi)型的系統(tǒng)中，如網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)、電子通訊系統(tǒng)、氣壓系統(tǒng)等都存在著時(shí)滯效應(yīng)，因此切換系統(tǒng)內(nèi)部同樣也存在著時(shí)滯效應(yīng)。時(shí)滯效應(yīng)往往會(huì)導(dǎo)致切換系統(tǒng)不能穩(wěn)定運(yùn)行、切換系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中劇烈震蕩等不良的情形。以下簡(jiǎn)要分析時(shí)滯切換系統(tǒng)的兩種不同形式，即一類(lèi)狀態(tài)時(shí)滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析和一類(lèi)多時(shí)滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析。

2.1 一類(lèi)狀態(tài)時(shí)滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

對(duì)于一類(lèi)時(shí)滯切換非線性系統(tǒng)，有如下函數(shù)關(guān)系式：

以上兩個(gè)式子中的g、m是關(guān)于t的分段連續(xù)函數(shù)，其中β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號(hào)。為了保證上式滿足普遍性，通常是設(shè)為右連續(xù)。{1，2……，N}表示子系統(tǒng)順序?qū)?yīng)的序號(hào)集合，N表示子系統(tǒng)的總數(shù)目，以β=i，i∈{1，2，……，N}。

另外，連續(xù)函數(shù)中的α：[0，a）→[0，∞）需要以遞增的形式，并且需要滿足α（0）=0，則有α∈K函數(shù)。相反，如果a=∞，且r→∞，則α（r）→∞，則α∈k函數(shù)。

對(duì)于連續(xù)函數(shù)β：[0，a）×[0，∞）→[0，∞），則有，對(duì)于任意一個(gè)固定的s，都會(huì)有一個(gè)相應(yīng)的β（r，s）是關(guān)于r的K函數(shù)，且對(duì)于每個(gè)一定的r，則都會(huì)有相應(yīng)的β（r，s）關(guān)于s的遞減函數(shù)。當(dāng)s→∞，則有β（r，s）→0，β屬于KL函數(shù)。

在基于長(zhǎng)逗留時(shí)間的輸入狀態(tài)-穩(wěn)定性的分析中，首先需要考慮的是當(dāng)切換系統(tǒng)中的子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，則會(huì)有g(shù)i（t，x）、mi（t，x）關(guān)于t的分段連續(xù)函數(shù)。當(dāng)αi>0、βi>0、θi>0，則

滿足以上條件，則切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定。以該式子來(lái)推算出的最后切換非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論，主要是通過(guò)限制了自治切換系統(tǒng)內(nèi)的所有子系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定，并且能夠使得切換系統(tǒng)內(nèi)的所有子系統(tǒng)都處于輸入-狀態(tài)的穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 一類(lèi)多時(shí)滯仿射切換非線性系統(tǒng)的輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性分析

對(duì)于一類(lèi)多狀態(tài)時(shí)滯仿射切換非線性系統(tǒng)，有如下式子出現(xiàn)：

上式中的g1、m1是關(guān)于t的分段連續(xù)函數(shù)。β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號(hào)，是一個(gè)時(shí)間的變量分段的常數(shù)值的函數(shù)。為了保證上式滿足普遍性，通常是設(shè)為右連續(xù)。{1，2……，N}表示子系統(tǒng)順序?qū)?yīng)的序號(hào)集合，N表示子系統(tǒng)的總數(shù)目，以β=i，i∈{1，2，……，N}。

對(duì)于以上的多狀態(tài)時(shí)滯切換系統(tǒng)的式子，當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)輸入u1（t）=0時(shí)，則可以得到多狀態(tài)的時(shí)滯自治切換系統(tǒng)，如下：

在上式中， 是一個(gè)狀態(tài)的向量，其余的所有數(shù)學(xué)字符表示的含義與多狀態(tài)時(shí)滯切換系統(tǒng)中的字符表示的含義相同。假設(shè)在上式中，為一個(gè)多狀態(tài)時(shí)滯的自治切換系統(tǒng)，取N=1時(shí)，就可以得到普通的多狀態(tài)時(shí)滯自治系統(tǒng)。當(dāng)切換系統(tǒng)內(nèi)的各個(gè)子系統(tǒng)進(jìn)行心寒的轉(zhuǎn)化時(shí)， 仍然是連續(xù)性的。

當(dāng)多狀態(tài)時(shí)滯的自治切換系統(tǒng)內(nèi)的所有子系統(tǒng)均為穩(wěn)定的，則會(huì)有g(shù)1、m1是關(guān)于t的分段連續(xù)函數(shù)。β：[0，∞）→{1，2……，N}為切換信號(hào)，u1（t）表示的是控制輸入信號(hào)，該函數(shù)是一個(gè)關(guān)于t的連續(xù)有界函數(shù)，且需要滿足條件||u1（t）||<=sup||u1（t）||。r1（t，x）是有界函數(shù)，該有界函數(shù)的絕對(duì)值需要小于等于r2，。在子系統(tǒng)內(nèi)，存在有函數(shù) ，αi>0、βi>0、θi>0，則會(huì)推出以下式子

則會(huì)得出多狀態(tài)時(shí)滯切換系統(tǒng)中的輸入-狀態(tài)是穩(wěn)定的，其中可以算得平均逗留時(shí)間為

3 結(jié)束語(yǔ)

研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，已成為現(xiàn)今時(shí)代的熱門(mén)話題之一，為了今后的切換系統(tǒng)能夠快速的更新?lián)Q代，為以后的通訊領(lǐng)域、網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域、交通領(lǐng)域等各個(gè)領(lǐng)域界的發(fā)展貢獻(xiàn)。

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作者簡(jiǎn)介：柳智鑫（1982.09-），女，內(nèi)蒙古赤峰人，碩士研究生，講師，研究方向：電氣自動(dòng)化；蘇波寧（1981.04-），男，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，碩士研究生，研究方向：物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)

作者單位：內(nèi)蒙古電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，呼和浩特 010070；內(nèi)蒙古京泰發(fā)電有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古鄂爾多斯 010300

基金項(xiàng)目：2013內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)院科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：NJZC13349）。