田 豐，孫 劍，邵 山

（1.沈陽航空航天大學(xué)自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110136;2.沈陽飛機設(shè)計研究所，遼寧 沈陽 110136）

0 引言

在性能試驗測試工程中，由于內(nèi)部和外部噪聲的干擾，總是影響后續(xù)的分析效果。因此，在對測量數(shù)據(jù)進行分析之前，能否有效地去除這些噪聲干擾，以提高數(shù)據(jù)信噪比，就顯得十分重要。

小波分析克服了傳統(tǒng)傅里葉變換在單分辨率上的缺陷，具有多分辨率分析的特點，在時域和頻域都有表征信號局部信息的能力，時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)動態(tài)調(diào)整。小波分析可以探測信號中的瞬態(tài)成分，并展示其頻率成分，被稱為數(shù)學(xué)顯微鏡，廣泛應(yīng)用于各種時頻分析領(lǐng)域［1］。

針對航電試驗信號的特點，有針對地正確選擇小波函數(shù)，閾值和分解層數(shù)等參數(shù)對于處理結(jié)果起著決定性作用［2，3］。本文以傳感器性能測試試驗中的死區(qū)測試為例來說明這些參數(shù)的選取過程。

1 小波閾值去噪原理

假設(shè)一個含噪聲的一維信號的模型可表示為

其中，e（n）為噪聲，σ為噪聲強度，f（n）為真實信號，s（n）為含噪信號。最簡單的情況下可以假設(shè)e（n）為高斯白噪聲，且σ=1［4，5］。在實際工程中，有用信號通常表現(xiàn)為低頻信號或較平穩(wěn)的信號，而噪聲信號則通常表現(xiàn)為高頻信號。所以，小波去噪的過程可細分為如下幾段:

1）分解過程:選取合適的小波基函數(shù)，確定合理的分解層數(shù)，對含噪信號進行小波分解，獲取各個尺度上的小波分解系數(shù);

2）作用閾值過程:通過估計各個尺度上的高頻系數(shù)的噪聲水平確定閾值，然后利用該閾值對小波系數(shù)進行削減;

3）重建過程:將處理后的小波系數(shù)進行逆變換，重構(gòu)得到去噪后信號。

從以上小波去噪過程可以看出:小波閾值作用函數(shù)和小波基的選擇是小波去噪的關(guān)鍵，直接影響試驗數(shù)據(jù)的去噪效果。

2 小波閾值去噪

2.1 小波閾值函數(shù)的選取

在對小波分解系數(shù)作用門限閾值處理操作時，主要有2種函數(shù)方法，硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值處理令較小的小波系數(shù)為0，并保留較大的小波系數(shù)

軟閾值處理將較小的小波系數(shù)置0，并對較大的小波系數(shù)向0作了收縮

對直線作用硬閾值和軟閾值的結(jié)果見圖1，從圖中可以看出:軟閾值處理可以有效地避免間斷，使得重建的信號比較光滑，而硬閾值處理會在某些點產(chǎn)生間斷。軟閾值處理實質(zhì)上是對小波分解系數(shù)作了收縮，從而Donoho-Johnstone將這種去噪技術(shù)稱之為小波收縮（wavelet shrinkage）［5］。用軟閾值的方法去噪能夠使估計信號實現(xiàn)最大均方誤差最小化，即去噪后的估計信號時原始信號的最優(yōu)估計，所以，本文使用軟閾值處理方法。

圖1 硬閾值方法和軟閾值方法Fig 1 Hard threshold and soft threshold method

2.2 小波閾值的確定

小波變換中，對各層系數(shù)降噪所需的閾值一般是根據(jù)原信號的信噪比來取的。在理論模型里這個量用式（1）中的t=來表示，從s（n）中提取σ的方法有很多，這里介紹4種基于樣本估計的閾值函數(shù)形式［1］:

1）無偏似然估計（rigrsure）:基于Stein無偏似然估計（SURE）的軟閾值估計。對于給定的閾值t，得到它的似然估計，然后將似然估計最小化，得到所需的閾值。

2）固定閾值（sqtwolog）:固定閾值t的計算公式為t=2logn，其中，n為信號的長度。

3）啟發(fā)式閾值（heursure）:前2種形式的綜合形式，當信噪比很小時rigrsure形式產(chǎn)生的閾值抑制噪聲的效果不明顯，這時heursure采用固定閾值sqtwolog。

4）最小極大方差閾值（minimaxi）:使得選取的閾值產(chǎn)生最小的極大方差。在統(tǒng)計學(xué)上，降噪后的信號可以看成與未知回歸函數(shù)的估計式相似，所以，這種方法通過求得未知回歸函數(shù)與原信號方差在最壞情況下的最小值來獲取閾值。

以db5小波作為小波基，采用軟閾值方法，將上述4種閾值形式分別在2～7層上進行去噪處理得到的信噪比、均方差和平滑度做對比［6］。如圖2～圖4所示，信噪比總是隨著分解層數(shù)的增加而減少，均方差總是隨著分解層數(shù)的增加而增加，然而4種閾值情況下的這2項指標并無明顯的差別，反而在平滑度上固定閾值（sqtwolog）和啟發(fā)式閾值（heursure）有著更好的表現(xiàn)，在去噪作用原理上啟發(fā)式閾值（heursure）更為優(yōu)秀，故選擇啟發(fā)式閾值（heursure）規(guī)則作用于航電伺服系統(tǒng)死區(qū)測試數(shù)據(jù)去噪。

圖2 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的信噪比Fig 2 Signal-to-noise ratio of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

圖3 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的均方差Fig 3 Mean square error of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

圖4 不同分解層數(shù)下的不同閾值規(guī)則去噪的平滑度Fig 4 Smoothness of de-noising of different decomposition levels different threshold rules

2.3 小波基函數(shù)的選擇

小波基函數(shù)的選取對于去噪效果極其重要，正確地選擇小波基函數(shù)能夠使得有用信號與噪聲得到充分分離。同傅里葉分析不同，小波分析的基（小波函數(shù)）不是唯一存在的。到目前為止，已經(jīng)構(gòu)造出的小波基函數(shù)有很多，包括Haar小波、Daubechies小波族、Symlets（symN）小波族、Biorthogonal（biorNr.Nd）小波族、Coiflet（coifN）小波族、Morlet小波、Mexican Hat小波、Meyer小波等。實際選擇小波的標準主要有以下3種:

1）自相似原則:如果選擇的小波與原始信號有一定的相似性，也是在下式的基礎(chǔ)上

若χ2j（t）和f（t）有某種程度的相似，則變換后的能量就比較集中，可以有效減少計算量。

2）正交性:選擇正交性好的小波基和雙正交小波基，有利于航電試驗信號的重構(gòu)。

3）支集長度:大部分應(yīng)用選擇支集長度在5～9之間的小波，因為支集太長會產(chǎn)生邊界問題，支集太短消失矩太低，不利于信號能量的集中。

小波函數(shù)的主要性質(zhì)還包括對稱性、消失矩階數(shù)和正則性等。一般情況下用某組小波基對信號進行分解得到的小波系數(shù)能量集中在少數(shù)的幾個系數(shù)上，則認為這組小波基較好。由于航電試驗的測試信號類型不同，根據(jù)測試信號（梯形波、鋸齒波、方波等）特點引入重構(gòu)因子來選擇小波基函數(shù)，這里選用一定階數(shù)的Daubechies（dbN）和Symlets（symN）小波族較合適。

重構(gòu)信號的能力反映了小波變換對真實信號的提取能力，也即反映了去噪能力的強弱，故引入重構(gòu)因子對小波基的去噪效果進行評判

定義重構(gòu)因子

通過向量的2種距離保證消噪信號同原始信號間的整體偏差和局部偏差能夠充分暴露出來。如果計算出某小波基的ρ越大，則認為用該小波基進行信噪分離的效果越好。本文中對于兩者在重構(gòu)相對誤差中的權(quán)重γ1和γ2各取0.5［7～9］。由于已知航電試驗的測試信號類型已知，可以通過事先在白噪聲下的仿真找出各種類型信號的最優(yōu)小波基函數(shù)。以階躍特性試驗為例，在Simulink中以方波通過二階系統(tǒng)的輸出來仿真標準階躍信號s，該標準信號分別加入信噪比為10的高斯白噪聲模擬含噪輸出信號s1，選取通用閾值δ，其中，δ為各層系數(shù)的標準差，N為信號的長度，進行5層小波分解閾值去噪得到去噪信號s2。根據(jù)式（5）、式（6）選取10種常用的db小波和10種sym小波，計算重構(gòu)因子如圖5所示。

由圖5可見，對于航電伺服系統(tǒng)階躍特性測試信號，sym5和db8小波基的重構(gòu)因子較大，其去噪效果好于其它小波基，較適用于該類信號的去噪。

圖5 20種小波基對應(yīng)的重構(gòu)因子Fig 5 Reconfiguration factor corresponding to 20 wavelet basis

2.4 小波分解層數(shù)的選擇

由于傳感器性能死區(qū)測試試驗數(shù)據(jù)去噪是后續(xù)數(shù)據(jù)處理的預(yù)處理部分，較好的去噪平滑度便于數(shù)據(jù)的處理與分析，因此，以去噪平滑度［10］為指標來確定分解層數(shù)。

平滑度指標的定義式為

式中f（n）為原始信號，^f（n）為去噪后的信號。

式（7）表明:當數(shù)據(jù)足夠多時，去噪后信號的差分數(shù)的方差根與原始信號的差分數(shù)的方差根之比，指標r反映了去噪信號的平滑度。

小波分解層數(shù)對于去噪效果的影響很大，如果分解層數(shù)過少，低頻部分的噪聲得不到抑制，信噪分離的效果不好，去噪后的信號仍含有較多噪聲且平滑度不理想，不便于后期數(shù)據(jù)處理;如果分解層數(shù)過多，去噪效果滿意，平滑度理想，但是可能導(dǎo)致去噪后的信噪比下降，同時增大了運算量，圖像處理的速度，故選擇合適的分解層數(shù)非常重要。

以db5小波為例，分解層數(shù)分別取2～6，應(yīng)用啟發(fā)式閾值（heursure）軟閾值去噪方法去噪效果如圖6所示。

由圖6可以看出:在不同分解層次下，小波閾值去噪的效果有著明顯的差異。在4層分解層次以上已經(jīng)有較好的平滑性，可以進行后續(xù)的數(shù)據(jù)分析了，5，6層分解雖也有不錯的平滑性，但在細節(jié)保留和運算程度上4層分解更有優(yōu)勢。

表1給出來了圖6各層次去噪處理的信噪比、均方差、平滑度3種評價指標，由表中可以看出:幾種分解層次的信噪比均方差別不大，難以確定分解層次，但從平滑度上可以看出去噪分解到4層已經(jīng)足夠了。

圖6 不同分解層數(shù)下的db5小波去噪效果Fig 6 De-noising effects of db5 wavelet of different decomposition levels

表1 不同分解層數(shù)下的小波閾值去噪評價指標值Tab 1 Wavelet threshold de-noising evaluating indicator values in different decomposition levels

從以上確定分解層數(shù)的討論可以得出，當小波去噪從信噪比、均方差上不足以確定分解層數(shù)時，可以綜合考慮平滑度指標作為確定分解層數(shù)的依據(jù)。

3 結(jié)束語

本文給出了傳感器性能死區(qū)測試實驗數(shù)據(jù)預(yù)處理的小波閾值去噪方法，對小波去噪函數(shù)的各個參數(shù)的選擇進行了研究，通過去噪信噪比、均方差和平滑度的比較確定了選擇啟發(fā)式閾值（heursure）的閾值規(guī)則，引入了重構(gòu)因子對小波基函數(shù)進行了選擇，給出了利用平滑度指標來確定分解層數(shù)的方法。對于其它一些試驗項目，要根據(jù)這些項目試驗數(shù)據(jù)的特點確定各個去噪?yún)?shù)，方法的選擇與本文類似。該方法在保證平滑度適宜的基礎(chǔ)上，最大程度的保留了信號的細節(jié)信息，是一種切實可行的去噪方法。

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