陳 峰，徐一鳴，鐘永彥，林 純

（南通大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南通 226019）

0 引言

多維力傳感器是智能機器人重要組成部分，已廣泛應(yīng)用于機器人和遙控操作領(lǐng)域，獲取力的變化方向和強度大小是其主要任務(wù)。對臂—環(huán)境交互的感知能力是機器人由單一的重復(fù)行為轉(zhuǎn)變?yōu)獒槍ξ粗h(huán)境或任務(wù)具有一定自主決策能力的智能體系［1］。多維力傳感器應(yīng)用在可穿戴型助力機器人系統(tǒng)，用于獲取人—機交互信息［2］;針對目前常用手寫設(shè)備信息獲取不全面問題，基于多維力傳感器設(shè)計的筆交互設(shè)備能獲取手寫全力信息［3］。另外，廣泛應(yīng)用于靈巧手的多維指力傳感器［4］，使手指實現(xiàn)智能抓取成為現(xiàn)實。

對于多維力傳感器而言，一旦受力，彈性體在各個方向上均會產(chǎn)生形變，從而導(dǎo)致各向輸出，即使是理想的輸入也會產(chǎn)生不期望的結(jié)果——耦合誤差。解耦方法通常被用來提高輸出精確度，避免因耦合誤差而引起系統(tǒng)誤動作。利用最小二乘法所構(gòu)建的靜態(tài)線性解耦方法常應(yīng)用于工程解耦中［5～8］，其解耦效果的好壞主要依賴于傳感器的結(jié)構(gòu)設(shè)計、加工工藝等的優(yōu)劣，該方法的主要優(yōu)點是便于實現(xiàn)逆解。但在實際應(yīng)用中，靜態(tài)線性解耦并不十分理想，其原因在于傳感器的輸入—輸出關(guān)系并非是理想的線性關(guān)系。為此，有研究人員提出用分段線性化法，因其計算時間太長而無法應(yīng)用于工程實際中［9］。借鑒風(fēng)洞天平非線性標(biāo)定方法，理論上利用多次非線性擬合手段，實現(xiàn)非線性解耦［8］，仿真已證明其可行性。近年來，智能計算被廣泛應(yīng)用于多維力傳感器解耦與誤差補償中，借助其良好的非線性逼近能力和自學(xué)習(xí)能力，通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機等方法重新構(gòu)建多維力傳感器輸入—輸出關(guān)系或進行非線性校正及靜態(tài)誤差補償［10～13］。

1 靜態(tài)線性解耦

靜態(tài)線性解耦方法是在假設(shè)傳感器各維間是一理想線性關(guān)系的前提下，構(gòu)建關(guān)于傳感器各通道力/力矩信息與傳感器輸出信息間的直線方程。傳統(tǒng)的靜態(tài)線性解耦方法可描述為［5］

式中 F為力/力矩向量，U為傳感器輸出向量，通常是電壓信號，C為解耦矩陣。

該方法不足之處在于沒有考慮系統(tǒng)的零點輸出信息。在此基礎(chǔ)上，改進的線性解耦方法［6］得以提出

式中 B為傳感器各維和維間的零點信息。

應(yīng)用該方法時，首先利用標(biāo)定數(shù)據(jù)集和常用的最小二乘法完成單維和維間的直線擬合，利用獲得的擬合方程系數(shù)構(gòu)建輸入—輸出耦合矩陣，其次通過解方程，即逆解，通常是對標(biāo)定的耦合矩陣直接求逆，從而獲得解耦矩陣。

為了敘述方便，把文獻［5］中的解耦方法暫定為方法1，文獻［6］中的解耦方法暫定為方法2，本文中的正解耦方法稱為方法3。

2 靜態(tài)非線性正解耦

因結(jié)構(gòu)設(shè)計、加工工藝、敏感元件抗干擾能力、傳感器零點漂移等因素，傳感器各維力/力矩信息與傳感器輸出信息之間存在某種非線性關(guān)系。實驗也證實，有的耦合表現(xiàn)為單調(diào)非線性，有的則會出現(xiàn)幾個彎［9］。利用多項式方程可以盡量彌補與真實值間的差距。當(dāng)然，上面提及的傳統(tǒng)靜態(tài)線性解耦方法也可以擴展為多項式方程，利用傳統(tǒng)分析方法將六維腕力傳感器輸入—輸出關(guān)系擴展為二次曲線形式，如下式所示

式中i，j=1，…，6，F(xiàn)Mj為第j項加載（如j=1意味著Fx加載，其它方向無任何加載;j=4意味著Mx加載，其它方向無任何加載），Uij對應(yīng)第j項加載時產(chǎn)生的6路輸出信息。當(dāng)i=j時，為主輸出項;當(dāng)i≠j時，為耦合輸出項。在傳感器靜態(tài)標(biāo)定完成后，aij，bij和cij可通過最小二乘法求解獲得。而每一維的最終輸出是其主輸出項與耦合輸出項之和，即

將上式展開可得聯(lián)立方程

式中aij，bij和cij均為已知系數(shù)。該方程組也可以寫成矩陣形式

應(yīng)用時，將測量獲得的輸出值代入方程式（5）或式（6），解出FM。對于多元高次方程組而言，逆解運算較為因難，主要表現(xiàn)在:

1）即使利用Matlab等計算工具，多元高次方程組的解也需較長時間（當(dāng)次數(shù)大于2時）;

2）力輸出的唯一性使在多元高次方程組多解結(jié)果中選擇其一也較為困難，且需要增加額外的約束條件;

3）方程式（3）的形式越復(fù)雜，如增加開方項、指數(shù)項或三解函數(shù)項等，對應(yīng)方程式（5）或式（6）的求解就越困難。

但方程式（5）或式（6）的通解形式可表示為

式中fi表示與傳感器各維輸出項相關(guān)的多項式函數(shù)，該函數(shù)結(jié)構(gòu)形式不唯一，主要由方程式（5）或式（6）的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定。鑒于此，針對多維力傳感器，本文提出非線性正解耦方法，該方法通過直接構(gòu)造力/力矩信息與輸出信息（通常是電壓信息）間的關(guān)系函數(shù)，與傳統(tǒng)線性解耦方法相比，方法3無需進行曲線擬合、解方程組，故稱該方法為正解耦方法，該方法也無需假定對象是線性系統(tǒng)。以Fx為例，其關(guān)系方程可表示為

該方程包含主輸出項u1、耦合項ui（i=2，…，6）、交叉耦合項ui·uj（i≠j，i，j=1，…，6）。利用同樣方法，可分別構(gòu)造出 Fy，F(xiàn)z，Mx，My，Mz。因此，公式（8）經(jīng)擴展后用矩陣形式表示

為了方便求解待定系數(shù)矩陣 A，B，C，G，H和R，方程式（9）重新改寫為

矩陣F和Q的維數(shù)由標(biāo)定數(shù)據(jù)集確定。根據(jù)標(biāo)定的數(shù)據(jù)矩陣集和廣義逆矩陣中的矩陣右逆，可得解耦矩陣

該方法中，多項式結(jié)構(gòu)的選擇及維間交叉項形式與求解解耦矩陣的難易無關(guān)，若矩陣Q右逆不存在，可利用Moore-Penrose逆實現(xiàn)最佳最小二乘解。

3 實驗結(jié)果分析

利用文獻［5］中的完整標(biāo)定數(shù)據(jù)集（取遞增負(fù)載與遞減負(fù)載兩者對應(yīng)輸出值之和的均值作為其相應(yīng)輸出值），可得（7）式中的F為6×51矩陣，Q為55×51矩陣。解耦矩陣具體計算步驟如下:

1）提取標(biāo)定數(shù)據(jù)集中的力/力矩信息，構(gòu)造矩陣F∈R6×51，如 Fx=5，擴展為向量［5 0 0 0 0 0］T，如 Fy=5，擴展為向量［0 5 0 0 0 0］T，依此類推;

2）提取標(biāo)定數(shù)據(jù)集中的輸出信息，構(gòu)造矩陣 U∈R6×51，其每一列是與步驟（1）中加載項相對應(yīng)的6路輸出信息;

3）計算向量 U2∈R6×51，U（i，j）=U（i，j）·U（j，j）;

4）計算向量 Uu∈R15×51，Uu（m，n）=U（i，n）·U（j，n），i≠j，i，j=1，…，6;

5）計算 U1/3=nthroot（U，3），=nthroot（Uu，3），=nthroot（Uu，5）;

6）構(gòu)造矩陣

最后獲得

針對文獻［5］中的標(biāo)定數(shù)據(jù)集，分別采用方法1和方法2的解耦結(jié)果在文獻［6］中已作比較，這里不再贅述。本文僅對方法2與方法3的解耦結(jié)果作比較。利用方法2與方法3所獲得的解耦結(jié)果如附表1和表2所示。表中數(shù)據(jù)均采用科學(xué)表示法。圖1是表中主輸出項Mz在2種方法下產(chǎn)生的誤差柱狀圖。

圖1 Mz方向上的解耦誤差Fig 1 Decoupling error of Mz-axis

4 結(jié)論

1）采用非線性正解耦方法，系統(tǒng)輸出優(yōu)于采用傳統(tǒng)的線性解耦方法;

2）非線性正解耦無需進行單維和維間的曲線擬合與方程逆解;

3）非線性正解耦方程可根據(jù)實際需要，其多項式方程可任意擴展。

考慮到標(biāo)定時所使用的單位（力:kgf;力矩:kgf·m），方法3也存在解耦不理想情況，如表2中的Mx輸出項。

表1 Fz加載，其它方向無加載時解耦結(jié)果（力（kgf），力矩（10－2kgf·m））Tab 1 Decoupling results of Fz，no load in other directions（Force（kgf），Moment（10 －2kgf·m））

表2 Mz加載，其它方向無加載時解耦結(jié)果 （力（kgf），力矩（10－2kgf·m））Tab 2 Decoupling results of Mzis loaded，no load in other directions（Force（kgf），Moment（10 －2kgf·m））

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