劉艷霞，方建軍，楊清梅

（北京聯(lián)合大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院電氣與控制工程系，北京 100101）

0 引言

加速度計(jì)是果蔬采摘機(jī)器人控制必不可少的傳感器。機(jī)器人借助加速度計(jì)掌握姿態(tài)信息（橫滾、俯仰），控制姿態(tài)，保持平衡，并做出相應(yīng)的動(dòng)作。果蔬采摘機(jī)器人采用霍尼韋爾生產(chǎn)的QA—160T型石英撓性加速度計(jì)，它具有機(jī)械性能穩(wěn)定、內(nèi)耗小、遲滯小、漂移小、價(jià)格低等優(yōu)勢(shì)，成為一種十分有發(fā)展前景的撓性加速度計(jì)。文獻(xiàn)［1］對(duì)石英加速度計(jì)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果表明:加速度計(jì)的輸出曲線中包括常值偏差、周期振蕩誤差和白噪聲。文獻(xiàn)［2］利用16位置翻轉(zhuǎn)法對(duì)加速度計(jì)誤差進(jìn)行標(biāo)定和補(bǔ)償。真實(shí)加速度采用不同位置時(shí)重力加速度在三軸上的投影，利用這16組投影數(shù)據(jù)和加速度計(jì)的16組輸出值，通過最小二乘法求解誤差模型參數(shù)，對(duì)加速度計(jì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。該方法對(duì)不同位置時(shí)姿態(tài)角精度要求較高，姿態(tài)誤差會(huì)大大影響加速度計(jì)誤差參數(shù)計(jì)算和補(bǔ)償精度。

本文提出一種基于橢球假設(shè)的三軸加速度計(jì)誤差標(biāo)定和補(bǔ)償方法，數(shù)據(jù)采集時(shí)只需要傳感器姿態(tài)在三維空間大致均勻分布即可。

1 加速度計(jì)誤差模型

三軸加速度計(jì)由于制造工藝的限制存在零位誤差、靈敏度誤差和三軸不正交誤差。零位誤差指無加速度輸入時(shí)，因制造誤差加速度計(jì)也會(huì)有一定非零伏的輸出電壓［3］，可表示為

其中，g0x，g0y，g0z分別為三軸加速度計(jì)在x軸、y軸和z軸的零位偏差。

靈敏度誤差是當(dāng)被測(cè)加速度在x，y和z軸的分量相等時(shí)，三軸加速度計(jì)靈敏度不一致，輸出和標(biāo)稱值之間出現(xiàn)偏差，可表示為

其中，Sx，Sy，Sz分別為加速度計(jì)x，y，z3 個(gè)測(cè)量軸的實(shí)際靈敏度，Sn為靈敏度的標(biāo)稱值。

理想情況下，加速度計(jì)的3個(gè)軸是完全正交的，但即便是經(jīng)過廠商精密加工，其敏感軸通常也會(huì)偏離正交坐標(biāo)系微小的角度［4］，輸出產(chǎn)生三軸不正交誤差。假設(shè)加速度計(jì)z軸和正交坐標(biāo)系pm的z軸完全重合，其它兩軸與正交坐標(biāo)系的夾角分別為α，β和γ，如圖1所示。

圖1 三軸加速度計(jì)不正交誤差Fig 1 Nonorthogonal error of three-axis accelerometer

不正交誤差可表示為

通常，廠商提供的三軸加速度計(jì)不正交誤差角度小于0.5°，為計(jì)算方便，可以對(duì)式 （3）中的三角函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)。綜合考慮以上三軸加速度計(jì)的各種制造誤差，真實(shí)加速度ge和三軸加速度計(jì)測(cè)量值gm之間的關(guān)系如下

共6個(gè)獨(dú)立的誤差參數(shù)，加上3個(gè)零點(diǎn)偏差，式（5）中共9個(gè)未知參數(shù)。

2 橢球假設(shè)校準(zhǔn)法

理想三軸加速度計(jì)在同一地點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，重力加速度幅值不變，三軸輸出軌跡為圓球面，但受誤差影響輸出軌跡會(huì)產(chǎn)生畸變。對(duì)式（5）取ge模的平方可得到

整理為曲面的二次型形式

因三軸加速度計(jì)不正交誤差一般小于0.5°，誤差矩陣C嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)［5］。由此可知矩陣LTL嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，為正定實(shí)對(duì)稱矩陣，式（7）為二次型橢球面方程，寫成二次曲面一般方程有

其中，σ =［a，b，c，d，e，f，p，q，r，s］T為橢球系數(shù)向量。另外，由式（6）可以很容易得到

3 橢球擬合問題

擬合的原理就是找到一個(gè)理想橢球使得測(cè)量數(shù)據(jù)點(diǎn)到該橢球面的代數(shù)距離平方和最小

也可表示為矩陣形式

一旦確定了橢球系數(shù)，就可以利用解析法得到誤差校準(zhǔn)矩陣L和零位偏差g0。

橢球擬合問題就轉(zhuǎn)化為求約束下的條件極值?？梢酝ㄟ^奇異值分解，求（DTD，C）的廣義特征值λi和對(duì)應(yīng)的廣義特征向量σi。文獻(xiàn)［7］中證明式（14）的特征值中有且僅有一個(gè)為正，該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量即為待定的橢球系數(shù)向量σ。根據(jù)橢球系數(shù)，利用解析的方法即可求出誤差參數(shù)（其中，‖ge‖取當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋?.8 m/s2）

由這些誤差參數(shù)即可求出誤差矩陣C和校準(zhǔn)矩陣L，結(jié)合橢球系數(shù)p，q，r進(jìn)一步得到橢球球心坐標(biāo)g0。把L和g0代入式（5），即可實(shí)現(xiàn)對(duì)三軸加速度計(jì)的誤差補(bǔ)償。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為驗(yàn)證上述橢球假設(shè)法標(biāo)定的誤差補(bǔ)償效果，將三軸加速度計(jì)固定在三自由度轉(zhuǎn)臺(tái)上，為獲得最佳的橢球擬合效果，標(biāo)定位置的姿態(tài)應(yīng)盡量均勻分散在圓球表面的各個(gè)方向［8］。根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的等夾角均勻分布公式，當(dāng)不同俯仰角時(shí)，使轉(zhuǎn)臺(tái)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)1周，在不同航向角位置采集三軸加速度數(shù)據(jù)（姿態(tài)角不需要太精確，大致均勻分布即可）。

采集的數(shù)據(jù)組成第3節(jié)中提到的設(shè)計(jì)矩陣D，利用最小二乘法可實(shí)現(xiàn)橢球擬合;然后根據(jù)擬合后的橢球系數(shù)解算出誤差參數(shù)，對(duì)加速度計(jì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償結(jié)果如圖2所示。

圖2 三軸加速度計(jì)44組數(shù)據(jù)誤差補(bǔ)償Fig 2 Error compensation results of 44 groups of datas of three-axis accelerometer

圖2中加速度計(jì)最大最小絕對(duì)誤差由校準(zhǔn)前的0.2241 m/s2減小為0.0027 m/s2，均方根誤差由校準(zhǔn)前的0.0950 m/s2下降到6.2547 ×10-4m/s2。

圖3和圖4分別為另外2次24組數(shù)據(jù)和80組數(shù)據(jù)的誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)。

圖3中加速度計(jì)最大最小絕對(duì)誤差由校準(zhǔn)前的0.4608 m/s2減小為 0.002 7 m/s2，均方根誤差由校準(zhǔn)前的0.1540 m/s2下降到6.6795 ×10-4m/s2。

圖4 三軸加速度計(jì)80組數(shù)據(jù)誤差補(bǔ)償Fig 4 Error compensation results of 80 groups of datas of three-axis accelerometer

圖4中加速度計(jì)最大最小絕對(duì)誤差由校準(zhǔn)前的0.4071 m/s2減小為 0.004 0 m/s2，均方根誤差由校準(zhǔn)前的0.1153 m/s2下降到8.6051 ×10-4m/s2。

5 結(jié)論

利用橢球假設(shè)法，把加速度計(jì)誤差標(biāo)定問題轉(zhuǎn)化為求橢球約束下的條件極值，實(shí)現(xiàn)三軸加速度計(jì)誤差補(bǔ)償。該方法對(duì)傳感器標(biāo)定時(shí)姿態(tài)角精度要求不高，大致均勻分布即可，操作簡(jiǎn)單易行。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:橢球假設(shè)法補(bǔ)償后，加速度計(jì)最大最小絕對(duì)誤差可以減小100倍左右，精度達(dá)到10-3m/s2，補(bǔ)償效果顯著。3次誤差補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了實(shí)驗(yàn)具有重復(fù)性。這種補(bǔ)償方法還可推廣應(yīng)用于陀螺加速度計(jì)等慣性器件。

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