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        一個擴展的可積Broer-Kaup方程族

        2014-12-29 05:26:52
        長春師范大學(xué)學(xué)報 2014年4期
        關(guān)鍵詞:曲率代數(shù)出版社

        于 義

        孤立子與可積系統(tǒng)方向是當(dāng)今非線性科學(xué)研究的主流方向,在光纖通訊、淺水波、等離子體、磁流體、超導(dǎo)等科技領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用背景。其研究涉及眾多主干數(shù)學(xué)分支,包括常微分方程、偏微分方程、泛函分析、微分幾何、橢圓函數(shù)、代數(shù)函數(shù)、代數(shù)曲線、微分拓撲、辛幾何、李群與李代數(shù)及表示論、無窮維李代數(shù)等[1-4]。該研究對許多數(shù)學(xué)分支及交叉學(xué)科的發(fā)展都有著重要影響和促進作用。自從反散射方法發(fā)現(xiàn)以來,可積系統(tǒng)及孤立子理論不僅在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物通訊領(lǐng)域得到了廣泛深入的研究和應(yīng)用,而且迅速拓展到生物、光學(xué)、材料、天體等自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。作為非線性科學(xué)的核心問題,可積孤子方程有幾個重大的特征:一是孤立子解,二是Backlund變換,三是無窮多守恒律,四是散射反演法。正是這些特點促使可積系統(tǒng)成為當(dāng)今世界研究的熱點問題之一[5-7]。本文將利用圈-李代數(shù)方法構(gòu)造一個新的可積方程族。

        1 矩陣圈代數(shù)

        它們具有如下的交換子運算

        定義階為

        2 擴展的Broer-Kaup方程族

        由駐定零曲率方程

        則方程(5)化為

        可知,(7)左面的階≥0,而右面的階≤0。因此,(7)的階為0。由此

        取修正項 Vn,即 V(n)=+Vn,Vn=cn+1e1(0).

        進而,由零曲率方程

        其中 J 為 Hamiltonian 算子,M1=-u3-u3+2u2-2u2-1u2,

        M2=--u1-2u2-1+u4+u1u4,M3=-2-1u2-+u1+u4-u1u4.

        利用(6),可以得到遞推算子L,

        這里 l1=u3+-1u3-2u2-2-1,l2=2u4-1u2+4-1u2,

        l3=2-1u2+u1-,l4=+u1+2 u2-1.

        因此,系統(tǒng)(9)可以寫為

        當(dāng)n=2時,得到下面的非線性演化方程

        特別地,在(11)中,取 u1=q,u2=r,u3=u4=0,得

        方程(12)恰為著名的Broer-Kaup方程。由此可見方程族(10)為Broer-Kaup方程的擴展可積模型。

        [1]谷超豪.孤立子理論與應(yīng)用[M].杭州:浙江科技出版社,1990.

        [2]谷超豪.孤立子理論中的Darboux變換及其幾何應(yīng)用[M].上海:上??萍汲霭嫔纾?999.

        [3]李翊神.孤立子與可積系統(tǒng)[M].上海:上??萍汲霭嫔?,1999.

        [4]曹策問.保譜方程的換位表示[J].科學(xué)通報,1989,34(10):723-725.

        [5]馬文秀.一個新的Liouville可積的廣義Hamilton方程族及其約化[J].數(shù)學(xué)年刊,1992(1):115-124.

        [6]Zhenya Yan.Two types of hierarchies of evolution equations associated withthe extended Kaup-Newell spectral problem with an arbitrary smooth function[J].Chaos,Solitons and Fractals,2003,15(4):639-645.

        [7]Guizhang Tu.A trace identity and its application to integrable systems of 1+2 dimensions[J].J.Math.Phys,1991,32(7):1900-1907.

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