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        選修4-2《矩陣與變換》與《高等代數(shù)》

        2014-12-27 05:25:12
        科技視界 2014年5期
        關(guān)鍵詞:數(shù)表行列式線性方程組

        田 瑩

        (沈陽師范大學(xué),遼寧 沈陽110034)

        1 選修4-2《矩陣與變換》中矩陣的引入

        對(duì)于高中生它們對(duì)于矩陣沒有接觸過,是一個(gè)新的概念,非常的陌生。

        其引入過程如下:設(shè)直線l在平面α內(nèi),那么對(duì)與平面α內(nèi)任意一點(diǎn)p,都存在平面α內(nèi)唯一一點(diǎn)p',使p'與p關(guān)于直線l對(duì)稱,我們稱這樣的對(duì)稱關(guān)系為平面α關(guān)于直線l的反射變換。進(jìn)一步,如果在平面α內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xoy,那么平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)。這樣,我們又可以從代數(shù)的角度來研究反射變換,例如,關(guān)于x軸的反射變換,把平面α內(nèi)的任意點(diǎn)p(x,y)變成它關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),p'(x',y'),對(duì)于坐標(biāo)p(x,y)與p'(x',y')可以得到:

        顯然,表達(dá)式①完全刻畫了關(guān)于x軸的反射變換,因此,也稱①為關(guān)于x軸的反射變換。

        我們將反射變換①變形為:

        由于②式由右端式子中x,y系數(shù)唯一確定,我們把它們按原來的順序?qū)懗鰜?,并在兩端分別加上一個(gè)括號(hào),就得到正方形數(shù)表,正方形數(shù)表也完全刻畫了關(guān)于x軸的反射變換,我們把這種正方形數(shù)表稱為二階矩陣,這樣關(guān)于x軸的反射變換就可以有二階矩陣完全確定。事實(shí)上,在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi),很多兒何變換都具有下列形式:

        其中系數(shù)a,b,c,d均為常數(shù),我們把形如③的兒何變換叫做線性變換,③式叫做這個(gè)線性變換的坐標(biāo)變換公式。我們引進(jìn)正方形數(shù)表],那么線性變換③可以由唯一確定。像這樣,由4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表]稱為二階矩陣。

        2 《高等代數(shù)》中矩陣的引入

        《高等代數(shù)》由多項(xiàng)式、行列式、線性方程組、矩陣、二次型、線性空間、λ-矩陣、歐幾里得空間、雙線性函數(shù)與辛空間十個(gè)章節(jié)組成,是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高,是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一。在其中線性方程和矩陣一直貫穿始終。對(duì)于大學(xué)生的學(xué)習(xí)是在第一章多項(xiàng)式的鋪墊下,在第二章行列式中直接定義矩陣的符號(hào)。

        對(duì)于二元線性方程組

        當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí),次方程組有唯一解,即

        我們稱a11a22-a12a21為二級(jí)行列式,用符號(hào)表示為:

        于是上述解可以用二級(jí)行列式敘述為:

        當(dāng)二級(jí)行列式

        時(shí),該方程組有唯一解,即

        同理由三元線性方程組,定義了三級(jí)行列式。在其后,應(yīng)用排列對(duì)矩陣的意義進(jìn)一步對(duì)矩陣進(jìn)行解釋。

        n級(jí)行列式

        等于所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積

        的代數(shù)和,這里j1,j2…jn是1,2,…,n的一個(gè)排列

        接著就是學(xué)習(xí)對(duì)行列式的變形與展開,線性方程組的一些重要性質(zhì)反映在它的系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質(zhì)上,并且解方程組的過程也表現(xiàn)為變換這些矩陣的過程,除線性方程組之外,還有大量的各種各樣的問題也都提出矩陣的概念,并且這些問題的研究常常反映為有關(guān)矩陣的某些方面的研究,甚至于有些性質(zhì)完全不同的、表面上完全沒有聯(lián)系的問題,歸結(jié)成矩陣問題以后卻是相同的,這就使矩陣成為數(shù)學(xué)中一個(gè)極其重要的應(yīng)用廣泛的概念。

        [1]劉紹學(xué).矩陣與變換[M].人民教育出版社.

        [2]王鄂芳,石生明.高等代數(shù)[M].3版.高等教育出版社.

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