張 智
(六盤水職業(yè)技術(shù)學(xué)院,貴州 六盤水553001)
從近幾年的貴州省中職單報(bào)高職招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷來看,三角函數(shù)這部分內(nèi)容的比重較重,2010 年、2011 年、2012 年均為31 分,占到總分?jǐn)?shù)的20% ,題型基本由選擇題、填空題和計(jì)算題構(gòu)成。
考查的主要內(nèi)容分別是任意角的三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、加法定理、最值、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。下面筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐,結(jié)合試卷上的問題,談?wù)劚救藢?duì)三角函數(shù)知識(shí)復(fù)習(xí)的粗淺看法。
例1.若角α 的終邊過點(diǎn)P(3、-4),則sinα=( D ) (2011 卷)
例2.若角α 的終邊過點(diǎn)P(-1,1),則cosα=( C ) (2012 卷)
根據(jù)已知任意角α 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo), 先求出點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,那么代入對(duì)應(yīng)的公式,得解。 這部分內(nèi)容考試時(shí)以選擇題的形式出現(xiàn),學(xué)生只要能熟記定義,對(duì)角α 的正弦、余弦對(duì)應(yīng)的比值分辨得清楚,不弄混淆,基本上都能夠作出正確的選擇。
中學(xué)階段學(xué)習(xí)的銳角的三角函數(shù)值, 比如30°、45°、60°對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值,我們現(xiàn)階段的中職生多數(shù)記不住,個(gè)別記住的,又記混淆了。 再加上還要記住0°、90°、180°、270°、360°這些新增加的特殊角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值,就更難了。每次用到的話,如果都要臨時(shí)用定義去推算的話,得不償失,既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力。 對(duì)于這個(gè)知識(shí)點(diǎn),我借助它們的圖像(“五點(diǎn)法”作的正弦、余弦函數(shù)圖像以及[-90°,90°]間正切函數(shù)的圖像)和相應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性以及特殊交點(diǎn)的值,就能把不易記住、易混淆的函數(shù)值都弄清楚,這對(duì)順利解決相關(guān)問題幫助很大,效果很明顯。當(dāng)然對(duì)角度制和弧度制轉(zhuǎn)換是要熟練掌握的。
對(duì)部分學(xué)生來說,要記住并且熟練運(yùn)用這些誘導(dǎo)公式,是較難的一件事情。 我在給學(xué)生們講解這部分內(nèi)容時(shí),分別用不同的語言描述出這些公式的特點(diǎn),直觀淺顯地教給學(xué)生,讓他們輕松自如地使用它們。
這些角與α 具有相同的終邊,k 取整數(shù)。 公式描述為:“終邊相同的角同名三角函數(shù)值相等”?!巴弊匀皇侵溉呛瘮?shù)名稱前后一致。常見的代表角度,比如390°角與30°角,sin390°就直接等于sin30°,其中k=1。
這組公式我們從正弦、 余弦和正切函數(shù)它們的簡(jiǎn)單圖像入手,容易發(fā)現(xiàn)它們的圖像只有余弦的關(guān)于y 軸對(duì)稱,從而判定余弦函數(shù)是偶函數(shù)。其余兩個(gè)圖像關(guān)于圓點(diǎn)對(duì)稱,只能是奇函數(shù)。公式描述為:“負(fù)號(hào)出現(xiàn)在cos 里面,負(fù)號(hào)要消失”。 言外之意,負(fù)號(hào)出現(xiàn)在sin、tan 里面,負(fù)號(hào)都要往前提。
把α 看作一個(gè)銳角,在它的基礎(chǔ)上加上一個(gè)正的180°,自然這個(gè)角的終邊就到第三象限了。我們知道,第一、第三象限的角的正切值為正。 這組公式就選常見的一句話——“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”來描述。 三個(gè)公式中,只有正切的公式直接相等,即tan(180°+α) = tanα, 正弦、余弦的公式展開后都要帶負(fù)號(hào)。
這組公式選用初中的補(bǔ)角關(guān)系來描述更簡(jiǎn)單,又更容易記住?!盎檠a(bǔ)角的兩個(gè)角,正弦值相等”。余弦、正切的話,公式展開后都要帶負(fù)號(hào)。
掌握以上知識(shí)后,解決下面的問題就比較簡(jiǎn)單了。
以上四組公式,用單位圓的知識(shí)進(jìn)行講解的話,對(duì)我們的學(xué)生來說,學(xué)習(xí)起來很困難,并且教學(xué)質(zhì)量無法保證。如果都用一句口訣——“函數(shù)名不變,符號(hào)看象限”來記的話,學(xué)生會(huì)覺得很籠統(tǒng),不透徹,無法激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。本人覺得,考慮到學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際,四組公式從不同的特點(diǎn)入手,選用個(gè)性化、差別化的口訣來幫助理解、記憶,直觀簡(jiǎn)單了很多,有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。
例6.sin22.5°cos22.5°的值是( C ).(2011 年卷)
這是二倍角正弦公式的反用情況。 二倍角正弦公式可以理解為,同角的正弦和余弦相乘的2 倍等于這個(gè)角2 倍角的正弦。
例7.sin10°cos20°+cos10°sin20°=(2012 年卷)。
這是正弦加法定理的反用情況, 利用口訣—— “正余余正符號(hào)同”,上式就等于30o 的正弦值了。 余弦加法定理的口訣則為“余余正正符號(hào)異”。 口訣記住了,解決這類問題就不難了。
這道題只要代入sinx 的兩個(gè)最值1 和-1, 就很容易得到所求的最大值是2。
以上三個(gè)知識(shí)點(diǎn),只要學(xué)生能找到訣竅來理解公式,合理運(yùn)用公式應(yīng)該是很容易做到的。
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:sin2α+cos2α=1,.知道正弦函數(shù)值,可以利用平方關(guān)系,求出余弦函數(shù)值;然后利用商數(shù)關(guān)系,求出正切函數(shù)值.當(dāng)然這種方法運(yùn)算起來過程較為復(fù)雜,按部分學(xué)生的計(jì)算能力來講的話,要完整的得到正確答案,有較高的難度。 這類型的問題選用用“四步法”來解決的話,較為簡(jiǎn)單。 “四步法”就是“一畫”:用已知條件所給的比的絕對(duì)值,畫出相應(yīng)的直角三角形(把α 看做是銳角)。 “二用”:用勾股定理求出直角三角形的第三邊,即是α 角的鄰邊。 “三求”:用銳角三角函數(shù)定義,求出α 的余弦、正切值的絕對(duì)值分別為“四定”:根據(jù)α是第二象限的角,確定α 的余弦和正切值都取負(fù)值,即就分別是所求的三角函數(shù)值。 這種方法理解掌握后,只需為數(shù)不多的幾步就能完成整個(gè)解題過程,能將學(xué)生從繁重的計(jì)算中解放出來。
三角函數(shù)這部分內(nèi)容,知識(shí)點(diǎn)較多而且有些雜亂,在復(fù)習(xí)時(shí)我們要以《考試大綱》為依據(jù),立足教材,重視基礎(chǔ),因材施教,教給學(xué)生一些直觀、易懂、實(shí)用的方式方法,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中做到心中有數(shù),有的放矢,從而能在有限的時(shí)間內(nèi)取得最佳的學(xué)習(xí)效果。