陳開(kāi)源， 李柏青， 朱秀娟， 王亞利

（佛山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系，廣東佛山528137）

0 引言

振動(dòng)現(xiàn)象是機(jī)械結(jié)構(gòu)常見(jiàn)問(wèn)題之一，由于振動(dòng)會(huì)形成結(jié)構(gòu)共振或引起材料疲勞，從而破壞結(jié)構(gòu)，所以了解結(jié)構(gòu)自身的振動(dòng)特性十分必要。固有頻率和振型是機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的兩個(gè)重要參數(shù)，它們直接關(guān)系到結(jié)構(gòu)實(shí)際工作的安全性與使用壽命。

模態(tài)分析可以研究機(jī)械結(jié)構(gòu)或機(jī)器零部件的振動(dòng)特性，得到其固有頻率和振型，從而可以在結(jié)構(gòu)工作過(guò)程中避免因共振造成不必要的損失。對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確的模態(tài)分析可以為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)特性分析、振動(dòng)故障診斷、新產(chǎn)品結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能的預(yù)估以及結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)化提供科學(xué)的依據(jù)。因此，模態(tài)分析在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中具有十分重要的意義。本文以某電磁動(dòng)態(tài)塑化擠出機(jī)的轉(zhuǎn)軸為例，通過(guò)ANSYS軟件分析其模態(tài)，為轉(zhuǎn)軸的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供依據(jù)。

1 模態(tài)分析基本理論

對(duì)于具有N個(gè)自由度的彈性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，可用矩陣表示為［1-2］

式中：［M］為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣，［C］為結(jié)構(gòu)總阻尼矩陣，［K］為結(jié)構(gòu)總剛度矩陣，｛δ｝為節(jié)點(diǎn)位移列陣，｛P｝為結(jié)構(gòu)載荷列陣。

在模態(tài)分析中，可以?。鸓｝為零矩陣，由于結(jié)構(gòu)阻尼較小，對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率、振型影響甚小，可忽略不計(jì)，因此可得到結(jié)構(gòu)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程：

式（2）為常系數(shù)線性齊次微分方程組，其解的形式可描述為

式中：ω為振動(dòng)固有頻率；φ為振動(dòng)初相位。

將式（3）代入式（2）后，得到

式（4）具有非零解的條件是其系數(shù)行列式等于零，即

當(dāng)矩陣［K］以及［M］的階數(shù)均為 n時(shí)，式（5）是 ω2的n次實(shí)系數(shù)方程，稱(chēng)為常系數(shù)線性齊次常微分方程組（2）的特殊方程，系統(tǒng)固有頻率和振型的求解問(wèn)題就是求矩陣特征值ω和特征向量｛δ｝的問(wèn)題。

2 ANSYS模態(tài)分析

ANSYS軟件是一款目前流行的融結(jié)構(gòu)、流體、電場(chǎng)、磁場(chǎng)、聲場(chǎng)、熱力場(chǎng)為一體的通用有限元分析軟件。ANSYS軟件功能強(qiáng)大，能夠高效地求解各種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的靜力、動(dòng)力、振動(dòng)、碰撞、線性和非線性、模態(tài)分析、諧波響應(yīng)分析、斷裂力學(xué)等問(wèn)題。它具有完善的前后處理模塊和強(qiáng)大的數(shù)據(jù)接口，是計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）、工程數(shù)值分析和仿真的有效工具，也是應(yīng)用最為廣泛的通用CAE軟件之一。

ANSYS的模態(tài)分析過(guò)程包括4個(gè)步驟：建立模型、加載及求解、擴(kuò)展模態(tài)和后處理。

ANSYS提供了6種模態(tài)分析的方法，分別是子空間迭代法（Subspace）、分塊 Lanczos方法（Block Lanczos）、Power Dynamics方法、縮減法（Reduced）、非對(duì)稱(chēng)矩陣法（Unsymmetric）和阻尼法（Damped）［2］。在通常的使用中，選擇分塊Lanczos方法、子空間迭代法、Power Dynamics方法、縮減法已經(jīng)足夠大多數(shù)分析使用了。

本文利用ANSYS軟件進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)采用的是子空間迭代法。子空間迭代法是求解廣義特征值問(wèn)題的有效方法。它的特點(diǎn)是能充分利用［K］及［M］的稀疏帶狀性質(zhì)而且能在一次求解出前幾個(gè)模最大的廣義特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。在求解大型結(jié)構(gòu)的少數(shù)特征時(shí)，子空間迭代法是很有效的方法［3］。

3 轉(zhuǎn)軸的模態(tài)分析

3.1 分析對(duì)象描述

該分析對(duì)象為某電磁動(dòng)態(tài)塑化擠出機(jī)的一根轉(zhuǎn)軸。實(shí)體模型如圖1所示。轉(zhuǎn)軸材料采用40Cr鋼，材料參數(shù)：彈性模量 E=2.1×1011Pa，密度 ρ=7820 kg/m3，泊松比 μ=0.3。

圖1 轉(zhuǎn)軸三維實(shí)體模型

3.2 建模及網(wǎng)格劃分

轉(zhuǎn)軸的實(shí)體模型在三維軟件Pro/E中建立，通過(guò)格式轉(zhuǎn)換導(dǎo)入到ANSYS軟件中。采用SOLID95單元進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共有14267個(gè)節(jié)點(diǎn)，7987個(gè)單元，如圖2所示。

圖2 網(wǎng)格劃分

3.3 加載及求解

為了根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)情況盡量準(zhǔn)確建模，將轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為一端固定，一端滑動(dòng)的簡(jiǎn)支梁支撐結(jié)構(gòu)，如圖3所示。前處理設(shè)置完畢，便可以進(jìn)行求解。

圖3 施加約束的有限元模型

3.4 模態(tài)計(jì)算結(jié)果

計(jì)算得到轉(zhuǎn)軸的前四階固有頻率為：110.70 Hz、110.91 Hz、704.61 Hz、706.92 Hz。固有頻率和振型見(jiàn)表1。從軟件顯示的動(dòng)畫(huà)可以看出，1階固有頻率和2階固有頻率分別為y方向和z方向的振動(dòng)彎曲，3階固有頻率為z、y方向同時(shí)振動(dòng)彎曲，4階固有頻率為y方向的振動(dòng)彎曲。

圖4至圖7給出了第1階～第4階頻率下對(duì)應(yīng)的振型圖。

表1 計(jì)算結(jié)果

圖4 轉(zhuǎn)軸的第1階振型

圖5 轉(zhuǎn)軸的第2階振型

圖6 轉(zhuǎn)軸的第3階振型

3.5 模態(tài)分析

1）轉(zhuǎn)軸工作過(guò)程中，有可能在電動(dòng)機(jī)額定轉(zhuǎn)速內(nèi)發(fā)生強(qiáng)烈的共振，動(dòng)應(yīng)力急劇增加，致使轉(zhuǎn)軸過(guò)早地出現(xiàn)扭轉(zhuǎn)疲勞和彎曲疲勞的破壞。靜力學(xué)計(jì)算不能完全滿足設(shè)計(jì)的要求，通過(guò)對(duì)轉(zhuǎn)軸的模態(tài)分析，計(jì)算得到了前4階的固有頻率和振型，為轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

圖7 轉(zhuǎn)軸的第4階振型

2）分析固有頻率的計(jì)算結(jié)果，由于轉(zhuǎn)軸的結(jié)構(gòu)是高度對(duì)稱(chēng)的，所以有些自振頻率數(shù)值非常接近。

3）表1中數(shù)據(jù)意味著當(dāng)外部激勵(lì)的頻率接近表中數(shù)值時(shí)，有可能產(chǎn)生共振，損害結(jié)構(gòu)，因此可通過(guò)修改結(jié)構(gòu)及參數(shù)設(shè)計(jì)，改變整根軸振動(dòng)出現(xiàn)的頻率范圍，以提高安全性和使用壽命。

4）高階固有振型要比低階的對(duì)轉(zhuǎn)軸的振動(dòng)影響大，固有頻率越高其振動(dòng)越劇烈對(duì)結(jié)構(gòu)影響就越大，因此高階振型對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)態(tài)特性起決定作用。從表1及各個(gè)振型圖可以看出，1、2階振型其振動(dòng)只發(fā)生在一個(gè)單一的方向上，振幅較??；第3階振型其振動(dòng)從一個(gè)方向轉(zhuǎn)向兩個(gè)方向上，發(fā)生共振；第4階振型其振動(dòng)從最容易發(fā)生的地方轉(zhuǎn)移向最穩(wěn)固的地方，容易損壞。

5）通過(guò)前4階振型可以看出轉(zhuǎn)軸前端第二段根部（即左軸承附近）以及轉(zhuǎn)軸最后端一段根部易產(chǎn)生變形，是轉(zhuǎn)軸的薄弱環(huán)節(jié)。

4 結(jié)語(yǔ)

基于ANSYS軟件，利用模態(tài)分析方法對(duì)轉(zhuǎn)軸的固有頻率和振型進(jìn)行了分析計(jì)算，求出了轉(zhuǎn)軸的前4階固有頻率和振型，實(shí)踐證明該分析具有計(jì)算快捷、方法簡(jiǎn)便、結(jié)果直觀、便于選擇的優(yōu)點(diǎn)。本文所得結(jié)論可以為轉(zhuǎn)軸設(shè)計(jì)提供參考，避開(kāi)共振，延長(zhǎng)壽命，為轉(zhuǎn)軸的動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)通過(guò)本方法得到固有頻率，為設(shè)計(jì)者在選擇電機(jī)時(shí)提供幫助。

［1］ 楊永謙.實(shí)用有限元分析技術(shù)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［2］ 袁安富，陳俊.ANSYS在模態(tài)分析中的應(yīng)用［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2007（8）：79-82.

［3］ 康方，范晉偉.基于ANSYS的數(shù)控機(jī)床動(dòng)態(tài)特性分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008（7）：181-182.