余 躍，張 春，畢勤勝

(1.南通大學理學院，江蘇南通226019;2.江蘇大學土木工程與力學學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

物理、化學、生物以及各種工程技術領域的許多實際問題會涉及到不同子系統之間的切換，如含有雙向開關切換的控制電路、反應催化中的自激振蕩、生態(tài)系統的季節(jié)更替等.這些問題的理論模型大都可以由兩組或兩組以上的微分方程組加上切換條件，組成切換系統來刻畫.由于切換系統具有廣泛的應用背景，其復雜性分析及其相應的機理研究引起了各國學者廣泛關注.Bao W.等［1］、吳天一等［2］及Zhang C.等［3］討論了切換電路系統動力學行為.Xie G.M.等［4］、蔡國梁等［5］分析了時滯切換系統的穩(wěn)定性.Cheng D.等［6］討論了切換系統的穩(wěn)定性控制.Liu X.G.等［7］針對某些特定切換系統闡述了魯棒穩(wěn)定性問題.Chen G.R.等［8］通過混沌系統的反控制發(fā)現了一個和著名Lorenz系統相似、但拓撲不等價的新混沌吸引子—Chen系統.不同參數下的Chen系統可以經周期切換生成一類三維周期切換系統.此類切換系統的狀態(tài)空間連續(xù)，但系統的向量場不連續(xù).當切換條件滿足時，軌線交替受到不同子系統向量場控制，故其數學模型代表了一類典型非光滑動力系統.R.I.Leine等［9］對非光滑系統周期解的不連續(xù)分岔作了進一步的研究.

本研究在非光滑系統已有工作基礎上，分析研究參數變化時一類非線性切換系統的動力學演化過程，擬給出不同類型的周期振蕩行為，以準確揭示系統隨參數變化時的混沌振蕩行為.

1 數學模型

考慮兩自治系統:

其中，向量場fi(X)由Chen系統構成.

令向量場fi以周期T交替切換，生成周期切換系統:

周期切換系統的軌線包含因切換產生的一類非光滑點，即切換點.軌線通過切換點連接由兩子系統定義的軌道.分析此類系統，不僅需要掌握兩子系統的局部行為及分岔模式，還需要了解切換點處系統特性的轉遷過程.下面首先分析子系統的穩(wěn)態(tài)運動及其相應的分岔特性，進而探討周期切換下整個系統的動力學行為.

2 分岔分析

設Chen系統一般方程

取b=5，此時Chen系統有3個平衡點，分別為

分析特征方程可知，E0始終是不穩(wěn)定的，而E±的特征方程表示為

式中:α0=20ac-10a2;α1=5c，α2=a-c+5.根據Routh-Hurwitz準則，當 α0＞0，α2＞0，且 α1α2-α0＞0時，平衡點E±穩(wěn)定，其失穩(wěn)會導致不同形式的分岔，從而得到Fold分岔集F和Hopf分岔集H.F可以表示為2c-a=0，H可以表示為15a2-25ac-5c2+25c=0.

圖1為b=5.0時Chen系統的分岔集.圖2為方程(3)的圖像.

圖1 方程(3)在參數(a，c)平面上的分岔集

圖2 方程(3)的圖像

由圖1曲線可知:分岔集將參數(a，c)平面劃分為3個區(qū)域.區(qū)域① 中只有一個平衡點，即鞍點E0.在區(qū)域② 中E±為穩(wěn)定的焦點，在圖2a中，Chen系統的結構，由鞍點E0定義的鞍曲面將相空間劃分為2個子空間，子空間的中心區(qū)域分別構成穩(wěn)定焦點E±的吸引盆.注意到Chen系統具有自然的對稱性，即它在變換(x，y，z)→(-x，-y，z)下保持不變，軌線在相空間內具有對稱結構.而當參數穿越超臨界Hopf分岔集進入區(qū)域③ 時，E±會失穩(wěn)導致周期振蕩解.如當a=6.0，c=4.2時，存在穩(wěn)定極限環(huán)，如圖2b所示.隨著參數的變化，Chen系統會呈現出諸如穩(wěn)定的平衡態(tài)、周期振蕩等不同的動力特性，在一定范圍內，甚至產生混沌運動.參與切換的子系統的軌跡發(fā)生改變，系統全局的動力學行為也發(fā)生相應變化.

3 切換系統的分岔與混沌

為揭示不同穩(wěn)態(tài)解下的周期切換系統的動力學演化過程，固定系統參數為T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6，取c2為分岔參數，變化范圍 3.00 ＜c2＜4.40.顯然在此參數條件下，子系統1表現為穩(wěn)定的焦點.當c2＜4.19時，子系統2也存在穩(wěn)定的焦點.當c2＞4.19后，子系統2失穩(wěn)產生穩(wěn)定的極限環(huán).故切換系統的軌跡會以周期2T在焦點與焦點、焦點與極限環(huán)這兩類吸引子上來回變換，產生豐富的動力學現象.

圖3 是方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6時的相圖.圖3a為焦點到焦點的2T周期解;圖3b為焦點與極限環(huán)通過切換生成的穩(wěn)態(tài)解，S1，S'1均為切換點.

圖3 方程(2)的平面相圖

在參數變化的過程中，切換系統并不是兩子系統動力特性的簡單連接，而是通過切換點不斷調整改變，產生分岔行為，并伴隨混沌演化過程.圖4為方程(2)在T=2，a1=2，b1=b2=5，c1=2，a2=6 時的相圖.圖4a，b 分別給出了c2=3.18，c2=3.25 時切換系統的2周期解和4周期解.圖4c，d數值模擬了切換系統的混沌振蕩.這些豐富的動力學行為的產生正是由于切換本身所引起的非光滑性，導致向量場的不連續(xù)，從而引起主系統非光滑分岔行為的出現.

圖4 方程(2)的相圖

4 切換系統Lyapunov指數計算

根據Lyapunov指數判據，當所有Lyapunov指數小于0，則系統有漸近穩(wěn)定的周期解;只有1個Lyapunov指數等于0，其余都小于0，表示穩(wěn)定的周期解即將分岔;而當Lyapunov指數大于0，則系統此時處于混沌狀態(tài).因此，計算Lyapunov指數對判斷周期切換系統的穩(wěn)定性很有價值.

4.1 Poincaré映射及其Jacobi矩陣

引入局部映射，構造Poincaré映射分析切換系統的不動點.通過Poincaré映射方法將問題轉化為離散動力系統，即可回避切換系統在切換點處Jacobi矩陣的計算問題.設φi為切換系統(2)兩子系統的解.由于切換周期T固定，故選取相位面為Poincaré截面.由兩子系統的解定義局部映射為

則整個系統的Poincaré映射P可表示為上述局部映射的復合，即

其Jacobi矩陣DP計算可以借助P1，P2的Jacobi矩陣，結合復合映射鏈式求導法求得，即

而DP1，DP2可通過非光滑系統非線性分析的打靶法和Runge-Kutta算法，從0到T數值積分計算其數值解.

4.2 Lyapunov指數的計算

通過公式(5)所描述的Poincaré映射P，可將方程(2)轉化為離散動力系統:

系統(7)的2個相近的 Poincaré映射點X0和X0+δX0，對應X0和X0+δX0的相近軌道G0和G1，稱G0為基準軌道，G1為鄰近軌道.在k時刻，基準軌道和鄰近軌道上的點分別為Xk(X0)和Xk(X0+δX0)，記 δXk(X0)=Xk(X0+ δX0)-Xk(X0).

當δXk(X0)充分小時，其滿足系統(7)在Xk處的線性化方程:

其中DP(Xk)為(7)在Xk處的3階Jacobi矩陣.由(7)，(8)，利用復合函數求導法則，可得其中，

此時，Lyapunov指數就定義為

圖5 3.15＜c2＜3.60時方程(2)的動力學演化行為

為了驗證上述周期切換系統Lyapunov指數的計算方法有效性，將其與分岔進行比對.圖5a中為了更精確地得到分岔值，c2變化步長一般取為0.000 1，而最大Lyapunov指數計算程序的步長一般可以稍大，取為0.001 0.由圖5a與b可知，吸引子特性與對應的最大Lyapunov指數較一致.分岔圖中c2=3.175，3.225，3.267，3.331 時，最大 Lyapunov指數皆等于0，表明此時系統即將發(fā)生分岔.當c2＞3.331或c2＜3.175時，切換系統最大 Lyapunov指數小于0，系統作穩(wěn)定的周期運動.當3.267＜c2＜3.331或3.175＜c2＜3.225 時，系統最大Lyapunov指數穿越0值(圖5b中y=0直線上方)，此時系統發(fā)生混沌振蕩.

5 結論

不同參數下的Chen系統之間，通過周期切換導致各種復雜振蕩行為.不同參數下，子系統存在不同的穩(wěn)態(tài)解，切換導致軌線在兩子系統間產生明顯的分界點，發(fā)生各種穩(wěn)定的周期振蕩.隨著參數變化，軌線受子系統不同吸引子的吸引，對應不同的周期振蕩解.參數的變化還會導致切換系統出現分岔行為和混沌振蕩.利用Poincaré映射方法可以計算周期切換系統的Lyapunov指數，并與相圖以及分岔圖比對，驗證了上述方法的有效性.本研究中的數值方法和機理分析對研究此類非線性復合系統有一定理論意義.

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