張 曉 寒

(衡水職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部，河北 衡水 053000)

Fq是含有q個元素的有限域，是Fq上的n維線性空間，上的所有線性子空間構(gòu)成的集合，稱為Fq上的n階射影空間．在上定義度量，對于任意. C為射影空間中的碼，，碼C的參數(shù)為(n, M, d)，其中M表示碼C中碼字個數(shù)，即，d表示碼C的最小距離，即C中不同碼字距離的最小值，．如果碼C中每個碼字的維數(shù)都是k(0≤k≤n)，碼C稱為等維碼，碼C的參數(shù)為表示射影空間中(n, M, d)碼所含碼字的最大個數(shù)，表示射影空間中碼所含碼字的最大個數(shù)，能達(dá)到最大值的等維碼稱為最優(yōu)等維碼．Tuvi Etzion和 Alexander Vardy在文獻(xiàn)[1]中給出了的上界和下界，當(dāng)時，．本文利用對偶空間給出了最優(yōu)等維碼的一種構(gòu)造．

1 定義和引理

下面的定義和引理是我們構(gòu)造最優(yōu)等維碼的理論基礎(chǔ)．

引理1[1]1169設(shè)，則對任意q有，

引理2[1]1171，(k不整除n)．

定義1對于中的向量，，定義它們的內(nèi)積為

定義2設(shè)C是的子空間，對每個，也是上的線性子空間，稱為C的對偶空間，并且

引理3設(shè)為有限域Fq上的n維向量空間，G, H為它的子空間，則有的充要條件是

證明1) 必要性：由顯然,則,又因為，由

由引理1和引理2可以計算出上界下界之差為qr-2．當(dāng)q=2,r=1時，上界下界之差為0，當(dāng)n=2k+1,q=2時，由引理1和引理2可得出．下面我們利用對偶空間給出最優(yōu)等維碼的一種構(gòu)造方法．

2 最優(yōu)等維碼的構(gòu)造

由引理3知

下面我們給出一個具體例子．

3 最優(yōu)等維碼(7，17，6，3)的構(gòu)造

[1] ETZIONAND T, VARDY A. Error-Correcting Codes in Projective Space[J]. IEEE Transactions On Information Theory,2011,57(2):1165-1174.

[2] 馮克勤.糾錯碼的代數(shù)理論[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005:14-21.

[3] 林東岱.代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域[M].北京:高等教育出版社,2006:32-35.