摘 要：三向張力索網(wǎng)是構(gòu)成環(huán)形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據(jù)連續(xù)化薄膜理論建立三向張力索網(wǎng)橫向振動的動力學(xué)方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網(wǎng)的頻率和振型的解析表達(dá)式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結(jié)果都比較接近。

關(guān)鍵詞：張力索網(wǎng)；動力特性；連續(xù)化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛(wèi)星信號的接收和發(fā)射器，在工作時能否保持良好的狀態(tài)關(guān)系到衛(wèi)星通訊能否正常進(jìn)行，而張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是天線反射面的主要支撐結(jié)構(gòu)[1，2]。三向索網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有型面精度高等優(yōu)點，是星載可展開天線常用的張力索網(wǎng)形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強(qiáng)度等優(yōu)點，所以在太空環(huán)境中具有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]分別采用連續(xù)化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作對比計算分析。文獻(xiàn)[4]采用子空間迭代法研究索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結(jié)構(gòu)應(yīng)力剛度的影響。文中首先采用連續(xù)化薄膜d方法建立單層平面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)頻率和振型的近似解析表達(dá)式。結(jié)合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在太空環(huán)境中得到廣泛應(yīng)用提供前期的理論基礎(chǔ)。

1 張力索網(wǎng)振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，為研究其動力特性，文章可做如下假設(shè)：

（1）索網(wǎng)為一連續(xù)體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網(wǎng)是小垂度的，且結(jié)構(gòu)只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網(wǎng)材料滿足虎克定律。

在圓形索網(wǎng)中心O點建立Oxyz坐標(biāo)系、Ox1y1z坐標(biāo)系、Ox2y2z坐標(biāo)系，z軸為索網(wǎng)中心O點的法線。根據(jù)連續(xù)性薄膜振動理論可知圓形張力索網(wǎng)的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質(zhì)量，W（x，y，t）為圓形索網(wǎng)的法向位移。

由Oxyz坐標(biāo)系分別逆時針旋轉(zhuǎn)60°和120°得到Ox1y1z坐標(biāo)系和Ox2y2z坐標(biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設(shè)Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標(biāo)變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設(shè) 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設(shè) 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數(shù)。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網(wǎng)的自由振動的通解為：

（19）

式中系數(shù)Cmn、？茁、？茲可根據(jù)初始條件求出。

2 張力索網(wǎng)仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網(wǎng)體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網(wǎng)單位面積質(zhì)量M=52.2434×10-3kg/m2，索網(wǎng)各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網(wǎng)25個測點試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)辨識，得到張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。選擇其中非節(jié)點測點數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網(wǎng)的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網(wǎng)是軸對稱結(jié)構(gòu)，所以其固有頻率會出現(xiàn)重頻現(xiàn)象，可根據(jù)對應(yīng)的振型不同判斷其階數(shù)。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進(jìn)行有限元仿真計算。三向張力索網(wǎng)的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結(jié)果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結(jié)果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結(jié)束語

（1）文章通過連續(xù)性薄膜理論推導(dǎo)出三向張力索網(wǎng)自由振動的動力學(xué)方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應(yīng)的固有振型的解析表達(dá)式。用ANSYS仿真計算及試驗結(jié)果與理論解進(jìn)行比較，結(jié)果都非常的接近。這一理論結(jié)果對以后研究張力索網(wǎng)的強(qiáng)迫振動響應(yīng)分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網(wǎng)是柔性體，大變形易產(chǎn)生幾何非線性項的影響。張力索網(wǎng)在振動過程中索力是不斷變化的，從而導(dǎo)致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

參考文獻(xiàn)

[1]楊東武.星載可展開索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)設(shè)計與型面調(diào)整[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2010.

[2]劉麗坤，周志成，鄭鋼鐵，等.大型網(wǎng)狀可展開天線的動力學(xué)與控制研究進(jìn)展[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，2014，2：1-12.

[3]蘇何先.索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的計算方法研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2008.

[4]鄭家樹，余志祥.索網(wǎng)結(jié)構(gòu)振動模態(tài)特性分析[J].西南交通大學(xué)學(xué)報，2005，40（1）：58-63.

[5]孫遜，張仁杰.對弦振動方程與薄膜振動方程的探討[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，40（17）：236-240.

[6]廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結(jié)拉索的一種近似頻率計算公式[J].振動與沖擊，2013，32（6）：149-151.

[7]劉長江.建筑膜結(jié)構(gòu)非線性振動及其預(yù)張力測量理論和試驗研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2012.

[8]金向魯.懸索結(jié)構(gòu)計算理論[M].杭州：浙江科學(xué)出版社，1981.

[9]張渭濱.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[10]劉習(xí)軍，賈啟芬，張文德.工程振動與測試技術(shù)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2002.

作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint

摘 要：三向張力索網(wǎng)是構(gòu)成環(huán)形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據(jù)連續(xù)化薄膜理論建立三向張力索網(wǎng)橫向振動的動力學(xué)方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網(wǎng)的頻率和振型的解析表達(dá)式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結(jié)果都比較接近。

關(guān)鍵詞：張力索網(wǎng)；動力特性；連續(xù)化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛(wèi)星信號的接收和發(fā)射器，在工作時能否保持良好的狀態(tài)關(guān)系到衛(wèi)星通訊能否正常進(jìn)行，而張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是天線反射面的主要支撐結(jié)構(gòu)[1，2]。三向索網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有型面精度高等優(yōu)點，是星載可展開天線常用的張力索網(wǎng)形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強(qiáng)度等優(yōu)點，所以在太空環(huán)境中具有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]分別采用連續(xù)化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作對比計算分析。文獻(xiàn)[4]采用子空間迭代法研究索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結(jié)構(gòu)應(yīng)力剛度的影響。文中首先采用連續(xù)化薄膜d方法建立單層平面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)頻率和振型的近似解析表達(dá)式。結(jié)合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在太空環(huán)境中得到廣泛應(yīng)用提供前期的理論基礎(chǔ)。

1 張力索網(wǎng)振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，為研究其動力特性，文章可做如下假設(shè)：

（1）索網(wǎng)為一連續(xù)體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網(wǎng)是小垂度的，且結(jié)構(gòu)只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網(wǎng)材料滿足虎克定律。

在圓形索網(wǎng)中心O點建立Oxyz坐標(biāo)系、Ox1y1z坐標(biāo)系、Ox2y2z坐標(biāo)系，z軸為索網(wǎng)中心O點的法線。根據(jù)連續(xù)性薄膜振動理論可知圓形張力索網(wǎng)的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質(zhì)量，W（x，y，t）為圓形索網(wǎng)的法向位移。

由Oxyz坐標(biāo)系分別逆時針旋轉(zhuǎn)60°和120°得到Ox1y1z坐標(biāo)系和Ox2y2z坐標(biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設(shè)Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標(biāo)變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設(shè) 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設(shè) 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數(shù)。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網(wǎng)的自由振動的通解為：

（19）

式中系數(shù)Cmn、？茁、？茲可根據(jù)初始條件求出。

2 張力索網(wǎng)仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網(wǎng)體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網(wǎng)單位面積質(zhì)量M=52.2434×10-3kg/m2，索網(wǎng)各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網(wǎng)25個測點試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)辨識，得到張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。選擇其中非節(jié)點測點數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網(wǎng)的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網(wǎng)是軸對稱結(jié)構(gòu)，所以其固有頻率會出現(xiàn)重頻現(xiàn)象，可根據(jù)對應(yīng)的振型不同判斷其階數(shù)。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進(jìn)行有限元仿真計算。三向張力索網(wǎng)的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結(jié)果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結(jié)果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結(jié)束語

（1）文章通過連續(xù)性薄膜理論推導(dǎo)出三向張力索網(wǎng)自由振動的動力學(xué)方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應(yīng)的固有振型的解析表達(dá)式。用ANSYS仿真計算及試驗結(jié)果與理論解進(jìn)行比較，結(jié)果都非常的接近。這一理論結(jié)果對以后研究張力索網(wǎng)的強(qiáng)迫振動響應(yīng)分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網(wǎng)是柔性體，大變形易產(chǎn)生幾何非線性項的影響。張力索網(wǎng)在振動過程中索力是不斷變化的，從而導(dǎo)致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

參考文獻(xiàn)

[1]楊東武.星載可展開索網(wǎng)天線結(jié)構(gòu)設(shè)計與型面調(diào)整[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2010.

[2]劉麗坤，周志成，鄭鋼鐵，等.大型網(wǎng)狀可展開天線的動力學(xué)與控制研究進(jìn)展[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，2014，2：1-12.

[3]蘇何先.索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的計算方法研究[D].昆明：昆明理工大學(xué)，2008.

[4]鄭家樹，余志祥.索網(wǎng)結(jié)構(gòu)振動模態(tài)特性分析[J].西南交通大學(xué)學(xué)報，2005，40（1）：58-63.

[5]孫遜，張仁杰.對弦振動方程與薄膜振動方程的探討[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，40（17）：236-240.

[6]廖敬波，唐光武，孟利波，等.固結(jié)拉索的一種近似頻率計算公式[J].振動與沖擊，2013，32（6）：149-151.

[7]劉長江.建筑膜結(jié)構(gòu)非線性振動及其預(yù)張力測量理論和試驗研究[D].重慶：重慶大學(xué)，2012.

[8]金向魯.懸索結(jié)構(gòu)計算理論[M].杭州：浙江科學(xué)出版社，1981.

[9]張渭濱.數(shù)學(xué)物理方程[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[10]劉習(xí)軍，賈啟芬，張文德.工程振動與測試技術(shù)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2002.

作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint

摘 要：三向張力索網(wǎng)是構(gòu)成環(huán)形可展開天線反射器的重要組成部分，研究其動力特性對星載天線的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和熱控制方面都提供有價值的參考。首先根據(jù)連續(xù)化薄膜理論建立三向張力索網(wǎng)橫向振動的動力學(xué)方程，然后采用分離變量法求得其自由振動的理論解，從而得到張力索網(wǎng)的頻率和振型的解析表達(dá)式。最后將ANSYS有限元仿真及試驗得出的自由振動的頻率及振型值與理論解比較，得出三者結(jié)果都比較接近。

關(guān)鍵詞：張力索網(wǎng)；動力特性；連續(xù)化薄膜理論；自由振動

引言

星載可展開天線作為衛(wèi)星信號的接收和發(fā)射器，在工作時能否保持良好的狀態(tài)關(guān)系到衛(wèi)星通訊能否正常進(jìn)行，而張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)是天線反射面的主要支撐結(jié)構(gòu)[1，2]。三向索網(wǎng)結(jié)構(gòu)具有型面精度高等優(yōu)點，是星載可展開天線常用的張力索網(wǎng)形式，且因芳綸纖維材料受溫度影響小、抗腐蝕、自重輕、高強(qiáng)度等優(yōu)點，所以在太空環(huán)境中具有廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[3]分別采用連續(xù)化薄膜理論和離散化非線性有限元理論對索網(wǎng)結(jié)構(gòu)作對比計算分析。文獻(xiàn)[4]采用子空間迭代法研究索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的頻率分布特性及振型情況，同時考慮幾何非線性對結(jié)構(gòu)應(yīng)力剛度的影響。文中首先采用連續(xù)化薄膜d方法建立單層平面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的線性振動平衡方程，然后通過分離變量法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)頻率和振型的近似解析表達(dá)式。結(jié)合ANSYS仿真及試驗分析驗證理論解的正確性，為索網(wǎng)結(jié)構(gòu)在太空環(huán)境中得到廣泛應(yīng)用提供前期的理論基礎(chǔ)。

1 張力索網(wǎng)振動平衡方程

如圖1所示的直徑為 三向圓形張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)，為研究其動力特性，文章可做如下假設(shè)：

（1）索網(wǎng)為一連續(xù)體；（2）索是理想柔性的，只能承受拉力；（3）索網(wǎng)是小垂度的，且結(jié)構(gòu)只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）索網(wǎng)材料滿足虎克定律。

在圓形索網(wǎng)中心O點建立Oxyz坐標(biāo)系、Ox1y1z坐標(biāo)系、Ox2y2z坐標(biāo)系，z軸為索網(wǎng)中心O點的法線。根據(jù)連續(xù)性薄膜振動理論可知圓形張力索網(wǎng)的振動平衡方程為：

（1）

其中Hx、Hx1、Hx2分別為x，x1，x2方向上的水平張力初值，M為單位面積質(zhì)量，W（x，y，t）為圓形索網(wǎng)的法向位移。

由Oxyz坐標(biāo)系分別逆時針旋轉(zhuǎn)60°和120°得到Ox1y1z坐標(biāo)系和Ox2y2z坐標(biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)變換公式可得：

（2） （3）

由此可求得：

（4）

（5）

代入方程（1），可設(shè)Hx=Hx1=Hx2=H0得：

（6）

采用極坐標(biāo)變換得：

（7）

式中 。

采用分離變量法，設(shè) 代入方程（7）得：

（8）

（9）

求解方程（8）為：

（10）

設(shè) 代入方程（9）可得：

（11）

（12）

式中？姿=■，求方程（11）的解為：

（13）

由邊界條件知？漬（0）=？漬（2？仔）=0，所以n為整數(shù)。

方程（12）是n階貝塞爾方程，其解為：

（14）

由|R（0）|<+∞知A4=0，且由邊界條件R（■）=0可知：

Jn（■）=0 （15）

以？滋■■表示Jn（x）=0的第m個正零點，即：

？滋■■=■？姿■■ （16）

求其固有頻率和振型為：

（17）

（18）

可得三向張力索網(wǎng)的自由振動的通解為：

（19）

式中系數(shù)Cmn、？茁、？茲可根據(jù)初始條件求出。

2 張力索網(wǎng)仿真及試驗分析

采用三向圓形平面索網(wǎng)體系為參考物，其直徑l=440mm，各向索截面直徑d=1mm，初始張力T=10.4N，間距為40.8mm。索網(wǎng)單位面積質(zhì)量M=52.2434×10-3kg/m2，索網(wǎng)各方向水平張力初值H0=10.4N/0.0408m=254.9N/m。

通過脈沖激勵方式，采集三向張力索網(wǎng)25個測點試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)辨識，得到張力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。選擇其中非節(jié)點測點數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析如圖2所示，其中有個別頻率如48Hz、175Hz和191Hz是固定張力索網(wǎng)的圈框頻率，可以忽略。由于三向張力索網(wǎng)是軸對稱結(jié)構(gòu)，所以其固有頻率會出現(xiàn)重頻現(xiàn)象，可根據(jù)對應(yīng)的振型不同判斷其階數(shù)。

為檢驗上述理論解的正確性，可采用ANSYS軟件進(jìn)行有限元仿真計算。三向張力索網(wǎng)的各階固有頻率及振型的仿真和試驗結(jié)果如表1和表2，并與理論解比較。

從表1和表2中可以看出，仿真和試驗結(jié)果與理論解誤差均小于5%，所以可以得出理論解是正確的。

3 結(jié)束語

（1）文章通過連續(xù)性薄膜理論推導(dǎo)出三向張力索網(wǎng)自由振動的動力學(xué)方程，并采用分離變量法求出其固有頻率及對應(yīng)的固有振型的解析表達(dá)式。用ANSYS仿真計算及試驗結(jié)果與理論解進(jìn)行比較，結(jié)果都非常的接近。這一理論結(jié)果對以后研究張力索網(wǎng)的強(qiáng)迫振動響應(yīng)分析提供重要的參考。（2）文章中未考慮非線性因素影響，而張力索網(wǎng)是柔性體，大變形易產(chǎn)生幾何非線性項的影響。張力索網(wǎng)在振動過程中索力是不斷變化的，從而導(dǎo)致其剛度變化，是屬于非線性硬化剛度體系，其頻率會隨著振幅的增大而增大。

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作者簡介：唐光明（1985-），男，碩士研究生。endprint