李繼鎖，朱克強(qiáng)，孫培軍，王 晨

(寧波大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，浙江 寧波315211)

0 引 言

海洋作為戰(zhàn)略性的資源基地，其中蘊(yùn)含著極其豐富的油氣資源［1］。然而這些資源的探測、開采和運(yùn)輸都要用到海洋平臺(tái)以及各類船舶。要使這些海洋結(jié)構(gòu)物安全地生產(chǎn)，必須要有可靠的系泊系統(tǒng)來為它們定位，這就促使系泊動(dòng)力分析成為一項(xiàng)重要的 技 術(shù) 領(lǐng) 域。Childers，Niedzwecki，Casarella 及Nath and Felix［2－7］等對(duì)系泊纜索的動(dòng)力分析做出了重要貢獻(xiàn)。

為了逼真地模擬系泊系統(tǒng)的動(dòng)力特征，必須滿足以下要求:

1)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型模擬系統(tǒng);

2)獲得所有環(huán)境載荷的計(jì)算方法［8］;

3)確定并將系泊系統(tǒng)的剛度特點(diǎn)應(yīng)用到船舶的動(dòng)力分析之中。

一旦得到纜索恢復(fù)力與時(shí)間的關(guān)系，就可以推導(dǎo)出船舶的運(yùn)動(dòng)方程。

通過對(duì)船舶運(yùn)動(dòng)方程的求解，可以得到纜索的張力特性，這對(duì)系泊系統(tǒng)的動(dòng)力分析非常有意義。

本文討論船舶在系泊系統(tǒng)作用下的動(dòng)力特征，采用拉格朗日方程對(duì)纜索的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行計(jì)算，得出纜索在動(dòng)態(tài)情況時(shí)張力隨時(shí)間的變化關(guān)系。通過船舶的三自由度運(yùn)動(dòng)方程比較纜索在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)時(shí)的張力特點(diǎn)，得出船舶的動(dòng)態(tài)特性對(duì)纜索張力的影響。

1 纜索數(shù)學(xué)模型

為了得到一種預(yù)測纜索動(dòng)態(tài)特性的方法，Khan和Ansari 把纜索抽象成由多個(gè)部分組成的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，然后用運(yùn)動(dòng)方程來表示張力與船舶位移之間的關(guān)系。纜索的數(shù)學(xué)模型可由多階自由變量構(gòu)成，并且可以把2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的部分看成是無質(zhì)量的剛性連接。

以錨的坐標(biāo)為(x0，y0)建立坐標(biāo)系，根據(jù)拉格朗日方程:

式中:T，V 分別為系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能;p1，p2，…，pn為一組用于定義系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo);N為坐標(biāo)個(gè)數(shù);λ?為拉格朗日乘數(shù);Qk為作用在pk上的廣義不守恒力;a?k定義為，(? = 1，2...c;k = 1，2，…，N);f?為關(guān)于常數(shù)c的方程。

對(duì)于n 段纜索模型，其動(dòng)能和勢(shì)能為:

纜索所受的約束為:

錨的運(yùn)動(dòng)方程為:

n 段纜索模型也可以用如下n個(gè)方程組成的矩陣方程［9］表示:

虛功率和纜索廣義力［10］的關(guān)系為:

纜索p 段受到的切向和法向力為:

那么可由式(7)得到切向力和法向力。而纜索的切向力相對(duì)于其他力非常小，可以忽略不計(jì)，則p 節(jié)點(diǎn)的廣義力為:

纜索的尾端力為:

由此可得相鄰部分的張力關(guān)系為:

根據(jù)式(10)～式(12)從第n 段開始計(jì)算就可以計(jì)算出纜索張力和時(shí)間的關(guān)系。

2 船舶動(dòng)力分析

船舶動(dòng)力分析最準(zhǔn)確的方法是使用船舶的六自由度運(yùn)動(dòng)方程，但這種方法過程復(fù)雜，計(jì)算量大，因此一般情況只使用三自由度運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行計(jì)算。船舶的運(yùn)動(dòng)方程如下:

由于系泊系統(tǒng)的動(dòng)力特性與任意時(shí)刻的船位有關(guān)，那么Qx，Qy，Qα可表示為:

式中:βj為第j 段纜索與x 軸的夾角;為纜索的水平張力;為船舶質(zhì)量中心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)船舶導(dǎo)纜孔的初始坐標(biāo)。

3 數(shù)值求解

以上得到的一系列關(guān)于纜索的方程均可以表示成如下形式:

式中:M為質(zhì)量矩陣;{F}為力的列矩陣。

以纜索的靜態(tài)平衡外形作為初始條件，如果知道任意時(shí)刻的θs和，代入［M］和{F}就可以得到關(guān)于的方程，并用高斯消元法對(duì)方程進(jìn)行化簡得到n個(gè)非線性的方程組，然后使用Runge－Kutta[12]計(jì)算法求解。

系泊船舶的運(yùn)動(dòng)方程是一組二階、非線性相關(guān)的微分方程。文中為簡化運(yùn)算采用了3 自由度數(shù)學(xué)模型，則有3個(gè)方程表示船舶在橫蕩、縱蕩和首搖方向上的運(yùn)動(dòng)。在使用Runge－Kutta 計(jì)算法之前先確定一個(gè)纜索的平衡外形作為Runge－Kutta 計(jì)算法的初始條件，接著就可以計(jì)算出纜索的水平投影，與此相對(duì)應(yīng)的纜索的張力就可以從張力－位移圖［13］中查到。

對(duì)于其他時(shí)變力和力矩，如波浪力、風(fēng)力、洋流力等可以根據(jù)具體的海況計(jì)算得到，然后就可以使用Runge－Kutta法解船舶的運(yùn)動(dòng)方程，這是一種自啟方法，只要提供初始條件就可以計(jì)算出每一步的結(jié)果直到所給的時(shí)間上限。若所取的計(jì)算時(shí)間比較合適，那么可以計(jì)算出x，y，α，在一個(gè)時(shí)域內(nèi)的值，所得的結(jié)果比較準(zhǔn)確。因此就可以研究任何時(shí)刻的系泊系統(tǒng)，并且可以得到纜索張力與船舶橫蕩、縱蕩和首搖運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。

4 算例參數(shù)

選用工作水深15.2 m的浮式生產(chǎn)船的系泊系統(tǒng)為研究對(duì)象，該系泊系統(tǒng)是由6 根多組件纜索組成的多錨腿系統(tǒng)。6 根纜索間隔60°均勻布置，船舶的主尺度為60 m×18.3 m×4.3 m，吃水2.3 m，并且在1.82 m的隨機(jī)橫浪中工作。纜索長152.4 m，直徑54 mm，錨抓力為444 kN，在距錨45.7 m 處有一44.4 kN的配重。

5 結(jié) 語

1)由準(zhǔn)靜態(tài)分析可知，在船舶橫蕩以及迎流纜預(yù)緊力為89 kN 時(shí)，同時(shí)由于縱蕩和首搖運(yùn)動(dòng)作用比較弱，可忽略不計(jì)，只有在船舶最大橫蕩時(shí)纜索的配重才離開海底，但此時(shí)纜索的張力也只有最大值的30%，這時(shí)錨能夠提供足夠的抓力，維持系統(tǒng)的安全。

2)由動(dòng)態(tài)分析可知，系泊系統(tǒng)在波動(dòng)后恢復(fù)平衡的速度非?？欤⑶矣骼|在船舶橫蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，每個(gè)周期的最大張力相差較小，這對(duì)研究船舶系泊纜索在隨機(jī)橫浪作用下的特性非常有意義。

3)在考慮纜索動(dòng)態(tài)影響時(shí)，可以得到在船舶平均橫蕩0.55 m 時(shí)，迎流纜的平均張力為262 kN。在船舶最大橫蕩時(shí)，迎流纜的張力可達(dá)到435 kN，但相比于準(zhǔn)靜態(tài)要小，而迎流纜的平均張力卻要比準(zhǔn)靜態(tài)高111%。

4)在考慮纜索的動(dòng)態(tài)影響時(shí)，背流面纜索會(huì)有更大的張力，而迎流面纜索的張力卻相對(duì)較小，同時(shí)所有纜索的平均張力都比準(zhǔn)靜態(tài)時(shí)要大。

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