張少林

(麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系,云南麗江 674100)

如何解決工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)銷售中的優(yōu)化問題

張少林

(麗江師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)系,云南麗江 674100)

不論在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中,還是管理學(xué)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,小至日常用具的制作,大至生產(chǎn)科研和各類經(jīng)營活動,都要講究效率,考慮怎樣以以最小的投入最大化的解決問題。這類問題統(tǒng)稱為優(yōu)化問題,也是每年考研數(shù)學(xué)必考內(nèi)容,然而不少大學(xué)生在面臨該類問題時,仍習(xí)慣于利用中學(xué)時代配方法求解,費(fèi)時不少,吃力不小,卻效果不好。本文僅舉例說明在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)銷售中如何解決優(yōu)化問題,希望對大學(xué)生的學(xué)習(xí)和備考有所幫助。

優(yōu)化問題 函數(shù)的極值

不論在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中,還是管理學(xué)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中,人們做任何事情,小至日常用具的制作,大至生產(chǎn)科研和各類經(jīng)營活動,都要講究效率,考慮怎樣以最小的投入得到最大的產(chǎn)出,或者最大化的解決問題。這類問題,在數(shù)學(xué)上往往可以歸結(jié)為求某一函數(shù)在某個集合內(nèi)的的最大值或最小值問題,這個函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù),函數(shù)取值的集合稱為約束集或可行域。這類問題統(tǒng)稱為優(yōu)化問題[1]。該類問題也是每年考研數(shù)學(xué)必考內(nèi)容,然而不少高校理工類、經(jīng)濟(jì)類、管理類等門類學(xué)生在面臨該類問題時,仍然習(xí)慣于采用中學(xué)時代配方法求解,費(fèi)時不少,吃力不小,卻效果不好。本文僅舉例說明在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)銷售中如何解決優(yōu)化問題,希望對大學(xué)生的學(xué)習(xí)和備考有所幫助。

1 工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)銷售中的優(yōu)化問題實(shí)例

例1 從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏斗。問留下的扇形的中心角φ取多大時,做成的漏斗的容積最大[1]？

解：設(shè)漏斗為一個半徑為r,高為h的正圓錐,則中心角為φ的扇形鐵片的圓弧之長Rφ就是漏斗的底圓之周長 2πr,即2πr=Rφ,而漏斗的高為于是漏斗的容積為

例2在在化工生產(chǎn)中,反應(yīng)罐內(nèi)的液態(tài)化工原料排出后會在罐壁上留下10kg的殘液。現(xiàn)用一定的清水分兩次沖洗反應(yīng)罐,問如何分配兩次的水量,才能使得第二次沖洗后罐壁上所留殘液中化工原料最少[2]

解：設(shè)一定量的水為W,第一次用水量為x,則第二次用水量為W-x(單位kg)。沖洗前,化工原料殘液為10,第一次沖洗放水后,殘液中化工原料含量為,

第二次沖洗放水后,殘液中化工原料含量為

兩次沖洗效果最好就是R(x)最小,為此求f(x)=(10 +x)((10+W-x)(0 ＜x＜W)的最大值。

令f′(x) =W- 2x=0,得因f′′(x)=-2 ＜0, 故為最大,即

例3設(shè)某商品的需求量Q是單價P(單位：元)的函數(shù)Q=12000- 80P;商品的總成本C是需求量Q的函數(shù)C=25000 + 50Q;每單位商品需要納稅2元,試求使銷售利潤最大的商品單價和最大利潤額[3]。

解：因Q=12000 - 80P,C=25000 + 50Q=25000 +50(120000 - 80P)=625000 - 4000P,

故 總 利 潤 函 數(shù)L=PQ-C- 2Q=(P- 2)Q-C=(P-2)()(12000 - 80P)- 62500 + 4000P=- 80P2+ 16160P-649000

由此可見當(dāng)P=101(元)時獲利最大,且最大利潤maxL=L(101)=167080(元)。

例4設(shè)平均收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為AR=a-bQ,,其中常數(shù)

a＞ 0,b＞0待定。已知當(dāng)邊際收益MR=67,且需求價格彈性時,總利潤最大。求總利潤最大時的產(chǎn)量,并確定a,b的值[3]。

最大的產(chǎn)量Q及相應(yīng)的a,b應(yīng)滿足L′(Q)=0,MR=67 及即

把第一組數(shù)據(jù)中的a,b代入得總利潤函數(shù)+ 11Q- 50,雖然L′(3)=0,L′(3 )＜0,即L(3)確實(shí)是L(x)最大值,但L(3)＜0,不符合實(shí)際,故應(yīng)舍去。

把第二組數(shù)據(jù)中的a,b代入得總利潤函數(shù)也有,L′(11)=0,即L′(11)＜ 0,即是L(x)的最大值,故a=111,b=2,是所求常數(shù)的值,使利潤最大的產(chǎn)量Q=11。

2 小結(jié)

優(yōu)化問題廣泛存在于各行各業(yè)及日常生活生產(chǎn)實(shí)踐中,本文所選實(shí)例只是滄海一粟, 但由上述事例可以看出解決優(yōu)化問題要根據(jù)不同問題的具體情況采用不同的數(shù)學(xué)方法,首先根據(jù)實(shí)際問題,找出變量并列出目標(biāo)函數(shù)f(x)的表達(dá)式,雖然函數(shù)極大值、極小值與最大值、最小值一般不同,但如果問題所涉及的目標(biāo)函數(shù)具有連續(xù)性和可導(dǎo)性,可行域又是一個區(qū)間,往往可以采用微分學(xué)的方法加以解決：(1)求出目標(biāo)函數(shù)f(x)的全部駐點(diǎn)(即求出方程的全部實(shí)根)與不可導(dǎo)點(diǎn)算出比較上述值的大小,就得到最大值和最小值;(2)若f(x)在x0處存在二階導(dǎo)數(shù)且f(x)′≠0,當(dāng)f(x)′＜0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極大值,當(dāng)

0時,函數(shù)f(x)在x0處取得極小值,即可確定最大值和最小值(如例2),從而解決優(yōu)化問題,但一定要注意所求最值必須有實(shí)際意義,否則不是真的最值(如例4)。

由例1、例3可知,在實(shí)際問題中,如果根據(jù)問題的性質(zhì)可以判斷目標(biāo)函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間I內(nèi)部確實(shí)有最大值和最小值,而f(x)在I內(nèi)可導(dǎo)且只有唯一的駐點(diǎn)x0,那么就可以斷言f(x0)必定是f(x)的最大值或最小值。不需要另行判定[1]。

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.微積分(上冊)[M].高等教育出版社,2002.169,175,173.

[2]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.武漢科技學(xué)院數(shù)理系.微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)書[M].高等教育出版社,2002.124.

[3]劉西垣,李永樂,袁蔭棠.2012年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(考研數(shù)學(xué)三經(jīng)濟(jì)類)[M].國家行政學(xué)院出版社.2011.106,113.