張 淼，徐慕奇，許鑫鑫，陳錢錢

（1.長春工程學(xué)院理學(xué)院；2.長春工程學(xué)院國際教育學(xué)院，長春130012）

0 引言

有限元模態(tài)修正時，在準備好有限元計算的解析模態(tài)參數(shù)與實驗?zāi)B(tài)參數(shù)這2種數(shù)據(jù)后，接下來就要進行模型的匹配了，這是因為實測的模態(tài)參數(shù)多數(shù)情況下都是不完備的。一般來說，試驗的測量網(wǎng)點與有限元模型的節(jié)點并不能完全對應(yīng)。首先，實驗時的某個測量點未必能與有限元模型的某一節(jié)點對應(yīng)，但只要解析模型的建立者與試驗方案的設(shè)計者之間進行足夠的溝通即可避免這個問題。其次，有限元模型通常含有比實測的自由度多得多的自由度，而對于大多數(shù)的有限元模型修正的常用技術(shù)來說，都要求確保解析模型和實驗?zāi)Ｐ偷淖杂啥缺仨毻耆ヅ?。為了解決這種網(wǎng)點的不一致性，要么必須減少解析模型的系統(tǒng)矩陣維數(shù)，使之與實驗設(shè)置的自由度數(shù)相等，要么必須將實驗數(shù)據(jù)擴展至有限元解析模型所需要的自由度數(shù)，這就需要進行不完備實測模態(tài)參數(shù)的處理。本文在綜述過程中所使用的符號依據(jù)如下2個原則，第1個是在對多個參考文獻的內(nèi)容進行綜述時盡量使各參考文獻中所使用的符號在本文中能夠得到一定程度上的統(tǒng)一，在不產(chǎn)生歧義的情況下以便于讀者閱讀；第2個是沒有完全使用獨立于參考文獻中的符號，否則將不便于讀者查閱原文。

1 實模態(tài)參數(shù)與復(fù)模態(tài)參數(shù)理論［1－2］

描述自由度為N的線性阻尼離散系統(tǒng)的自由振動方程為

式中M、C和K ∈RN×N分別為質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。

從有限元模型修正出發(fā)，由拉氏域的運動方程

經(jīng)過特征分析而得到的方程

令λi＝－，則式（3）可化為

可以計算得到實頻率（無阻尼固有頻率）及實模態(tài)（振型）。記V ＝ ［v1，…，vN］為無阻尼規(guī)范化振型矩陣，那么此時模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度矩陣分別為

對經(jīng)典阻尼系統(tǒng)有

考慮含有阻尼時的系統(tǒng)極點及復(fù)模態(tài)對（si，ui）（i＝1，2，…，2 N）滿足方程

對于N自由度振動系統(tǒng)，特征方程det［s2M＋sC＋K］＝0有2 N個呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征值s1，s2，…，s2N（其中si＋1為si的共軛（i＝1，3，…，2 N －1）），稱為系統(tǒng)的復(fù)頻率。這些復(fù)頻率對應(yīng)著一組呈復(fù)共軛對出現(xiàn)的特征向量ui∈CN稱為系統(tǒng)（1）與si相對應(yīng)的第i個模態(tài)向量。將u1，u2，…，u2N（其中ui＋1為ui的共軛（i＝1，3，…，2 N－1））稱為復(fù)模態(tài)，復(fù)頻率和復(fù)模態(tài)統(tǒng)稱為復(fù)模態(tài)參數(shù)。它們的正交條件的形式有很多，常用的形式為

其中狀態(tài)向量矩陣為Φ ＝ ［φ1，φ2，…，φ2N］，狀態(tài)向量為φi＝ ［uisiui］T（i＝1，2，…，2 N），且

下文討論中用到的均為規(guī)范正交化后的實模態(tài)vi（i＝1，2，…，N）和復(fù)模態(tài)ui（i＝1，2，…，2 N）（見式（2）和式（6））。

2 模態(tài)參數(shù)的識別與估計

系統(tǒng)按阻尼比的大小可分成過阻尼系統(tǒng)（ξ＞1），臨界阻尼（ξ＝1）和欠阻尼（ξ＜1）系統(tǒng)，過阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)只有衰減成分，而沒有振蕩趨勢，而欠阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)是一種衰減振蕩，臨界阻尼是過阻尼與欠阻尼的一種分界。實際系統(tǒng)的阻尼比很少有大于10%的，除非這些系統(tǒng)設(shè)置有很強的阻尼機制，因此多數(shù)情況下，我們只研究欠阻尼系統(tǒng)的情形。實測主要針對無阻尼固有頻率及振型，而測量阻尼比的目的之一是當阻尼比很小時，實測頻率才與無阻尼固有頻率一致。

根據(jù)實驗?zāi)康牡牟煌?，我們可以選擇不同的參數(shù)估計方法，估計復(fù)模態(tài)或純模態(tài)。如果要進行模型修正，那么實驗?zāi)B(tài)就應(yīng)當是實模態(tài)。一般來說，一個系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是它的若干階模態(tài)振型的迭加，但如果假定在給定的頻帶內(nèi)只有一個模態(tài)是重要的，那么該模態(tài)參數(shù)可以單獨確定。以這一假定為根據(jù)的就是所謂的模態(tài)參數(shù)識別方法。就系統(tǒng)矩陣而言，模態(tài)振型向量服從正交性條件，這些正交性條件又決定了模態(tài)比例因子。時域方法——直接以輸入和輸出信號時間歷程估計參數(shù)；頻域方法——以輸入和輸出信號在頻域中的關(guān)系為依據(jù)估計參數(shù)。均勻離散的信號經(jīng)由傅麗葉變換可以很容易地在時域和頻域之間變來變?nèi)ァ?/p>

如果模態(tài)分析實驗的目的是為了得到實模態(tài)，那么分析者應(yīng)該選擇能夠估計這類模態(tài)的方法，例如最小二乘頻域方法（近似方法）和頻域直接參數(shù)識別方法（精確方法）。比例阻尼時，特征值與無阻尼時的特征值稍有不同，特征向量與無阻尼時的特征向量完全相同［3］。比例阻尼或無阻尼系統(tǒng)的極點都是復(fù)值的，而且為純虛的，它們的模態(tài)為實模態(tài)，然而非比例阻尼系統(tǒng)具有復(fù)值極點和復(fù)值模態(tài)振型。一般對于欠阻尼結(jié)構(gòu)，假定它是比例阻尼還是非比例阻尼差別并不大。對于阻尼較大的結(jié)構(gòu)，特別是那些具有集總阻尼部件的結(jié)構(gòu)（例如裝備完善的汽車），多半認為是非比例阻尼的。如需實模態(tài)分析（K＋λ2M）v＝0，則實測出ωr，vr，其中λr＝iωr，如需復(fù)模態(tài)分析（s2M＋sC＋K）u＝0，實測出sr＝δr＋iνr，ur也能測得。如果無阻尼或阻尼比很小時，ωr＝νr。

3 模型縮聚

解決測量自由度遠小于有限元模型解析自由度這一矛盾的一個途徑是模型減縮，即將模型的位移基縮聚到測量自由度上。事實上，要鑒別與每一個實驗自由度相對應(yīng)的解析自由度，這一操作的具體過程就是定義一組“有效”自由度，而其他的解析自由度叫做“廢棄”自由度。僅僅得到解析自由度與實驗自由度的相應(yīng)關(guān)系后，實驗?zāi)B(tài)與解析模態(tài)及系統(tǒng)矩陣的維數(shù)仍然是不相同的，因此要通過縮減方法來解決尺寸不一致的問題。

縮減技術(shù)是通過一個變換矩陣TD或TF定義有效自由度與廢棄自由度之間的一種關(guān)系：

式中：XA是有效自由度；XD是廢棄自由度；XF是全部自由度；TF用于壓縮系統(tǒng)的質(zhì)量和剛度矩陣。

有很多的減縮方法可供使用，其中經(jīng)典的方法之一是靜力縮聚，或 Guyan－Irons減縮［4］。我們選測量自由度為主坐標（有效自由度）xm，其余的自由度為副坐標（廢棄自由度）xs，于是位移基（全部自由度）縮聚到主坐標上

將M與K也同理進行分塊，分塊后的運動方程（2）可寫成

式中Guyan減縮矩陣為

式中Im是m×m的單位矩陣，常把Csm＝－稱為原始模型的約束模態(tài)。Guyan減縮有多種改進，比如O'Callahan的改進是引入慣性項作為準靜態(tài)力［5］，它的縮聚矩陣是

其中

式中MR，KR是壓縮質(zhì)量矩陣和壓縮剛度矩陣。

還有一種方法是利用原模型計算特征向量［6］，再去生成主、副坐標之間的變換，以φ表示有限元模型計算的前r階解析特征向量，按主、副坐標的分塊形式是

利用模態(tài)縮聚變換，得到

由第一分塊式得

式中的廣義逆矩陣（當主坐標個數(shù)大于實測模態(tài)個數(shù)時）為

把方程（9）代入式（8），可得到壓縮陣為

至今已有很多模型縮聚方法，除上述提到的幾種之外，比較成熟的有矩量匹配法、代價分析法（Cost Analysis）、最優(yōu)投影法（Optimal Projection）、平衡降階法（Balanced Reduction）以及這些方法的組合。在大規(guī)模動力系統(tǒng)的降階建模中，克雷洛夫子空間技術(shù)（Krylov Subspace Tecnique）得到人們的極大關(guān)注，它已經(jīng)在各種動力系統(tǒng)，包括二階和非線性系統(tǒng)中獲得了廣泛的應(yīng)用并取得了巨大進展。

另一種得到廣泛應(yīng)用的是Kidder模型縮聚法［7］，它能保留式（7）中的慣性量，并能獲得較高精度的模型修正結(jié)果。這里簡要介紹運用Kidder原理縮減解析模型的剛度和質(zhì)量矩陣，使得它們與實測的振型分量φm的維數(shù)保持一致，設(shè)得到結(jié)構(gòu)動力模型的所有節(jié)點上的振型分量為

式中Im是m×m維的單位矩陣，逆矩陣P（λi）－1和矩陣Q（λi）通過式（10）～ （11）得到

因此，縮減后的剛度和質(zhì)量矩陣分別為

式（12）～（13）中的剛度和質(zhì)量矩陣必須滿足如下的正則方程

式中：Λ是t×t維的由實測頻率構(gòu)成的對角陣；φm是對應(yīng)的m×t維的實測振型矩陣；t為測量數(shù)據(jù)的個數(shù)。

有限元解析模型的縮減過程就是把廢棄自由度從解析模態(tài)振型及系統(tǒng)矩陣中剔除。模態(tài)振型的壓縮思想極為直截了當，從模態(tài)振型中把廢棄自由度抹掉就可以了，但針對系統(tǒng)矩陣的縮減就不那么簡單了，必須采用上述的縮減技術(shù)。在實際中各種縮減技術(shù)的正確性都會受到一定的限制。壓縮后的系統(tǒng)矩陣只是在一個或若干個特定的頻率上能準確描述有效自由度的動態(tài)特性。除此之外，系統(tǒng)矩陣一旦經(jīng)過壓縮，它的連通性就會受到破壞。然而由于壓縮技術(shù)針對的是比較整體的測量數(shù)據(jù)，并且這種壓縮結(jié)果在特定的頻率上具有明確的物理意義，因此使用壓縮解析系統(tǒng)矩陣方法常常比使用擴展實驗?zāi)B(tài)振型方法在處理不完備實測模態(tài)參數(shù)時要更具有優(yōu)越性［8］。

4 模型擴展

有限元解析模型的自由度數(shù)一般總是大大超過實驗測量的自由度數(shù)，有限元建模分析要求細密的節(jié)點網(wǎng)格作為支撐，但是在實際結(jié)構(gòu)上測出所有對應(yīng)的自由度是不現(xiàn)實的，甚至是不可能的，這是因為：首先許多有限元節(jié)點處于結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，無法進行測量，其次轉(zhuǎn)動自由度確實難以測量，最后對于實驗?zāi)B(tài)分析來說，細密的測量網(wǎng)格是不必要的，常常也是不實際的。然而大多數(shù)的模型修正方法都要求解析自由度與實驗自由度之間具有一一對應(yīng)關(guān)系。對這樣的2組數(shù)據(jù)，自由度的數(shù)目及位置必須相同。

對于大型結(jié)構(gòu)來說，要想在所有自由度上測全數(shù)據(jù)是很難的。但在進行結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計時，由于給出的目標振型是理想振型，不存在誤差平滑問題，故可采用振型自由度的直接擴展方法。擴展技術(shù)是把測量得到的模態(tài)振型擴充到有限元解析模型的全套自由度上。大多數(shù)擴充技術(shù)都采用的是把有限元模型的計算振型數(shù)據(jù)用來擴展實測模態(tài)振型的數(shù)據(jù)。但應(yīng)用時一定要注意不要偏離實測模態(tài)振型數(shù)據(jù)所給出的信息。

實測模態(tài)振型中的未知廢棄自由度的估算常常是以解析模型中有效自由度與廢棄自由度之間的關(guān)系為依據(jù)進行的。因此各種壓縮技術(shù)都可以被用作擴展技術(shù)，因為壓縮技術(shù)定義的是解析模型的有效自由度與廢棄自由度之間的一種關(guān)系：

同樣的變換矩陣可用于實驗?zāi)B(tài)振型

注腳x表示實測數(shù)據(jù)。

下面針對實模態(tài)參數(shù)介紹一種擴展技術(shù)［9］。假定系統(tǒng)有限元模型第i階振型為φi，當實測自由度小于解析模型自由度時，將振型分塊為

于是，將M與K也同理進行分塊，分塊后方程（2）可寫成：

式中：ωi為第i階實測固有頻率為第i階不完備的實測振型。

將式（14）展開，由第2行得

即

那么有

可得：

因此，

其中：

令

則有實測振型的擴展式：

現(xiàn)有的修正方法，特別是參數(shù)型修正方法，一般都只考慮實模態(tài)的情況，但在實際結(jié)構(gòu)中，復(fù)模態(tài)情況更為普通，雖然Ibrahim曾提出過從復(fù)模態(tài)中提取實模態(tài)參數(shù)的方法［10］，但由于其結(jié)果的唯一性沒有解決而不便實用。

近年來文獻［11］提出了一種利用不完備復(fù)模態(tài)參數(shù)修正結(jié)構(gòu)有限元模型的迭代修正方法，認為結(jié)構(gòu)有限元模型誤差主要來源于某些形狀或物理性質(zhì)太復(fù)雜的局部，其結(jié)構(gòu)質(zhì)量與剛度矩陣的誤差可直接由這些局部的幾何、材料參數(shù)來修正，質(zhì)量、剛度矩陣的誤差同時又影響阻尼矩陣，將阻尼陣表達為質(zhì)量、剛度矩陣的多項式，再通過修正多項式系數(shù)來修正阻尼矩陣。文中還討論了復(fù)模態(tài)振型的擴充問題。當測試自由度小于解析模型的自由度時，將第i階復(fù)振型Ψi按已測量與未測量自由度進行分塊：

由上式第2行可得：

即

那么

簡記上式為：

則有實測振型的擴展式

利用式（15），可對第i階復(fù)振型進行擴展，即通過已測量自由度上的復(fù)振型計算未測量自由度上的復(fù)振型。

再討論另外幾種擴展技術(shù)：

特征向量混合法是把相應(yīng)的解析模態(tài)振型的值填補到實驗?zāi)B(tài)振型中所缺失的自由度上

填補之前，解析模態(tài)振型和實驗?zāi)B(tài)振型必須加以比例換算，使二者長度相等：

注腳a表示解析數(shù)據(jù)。

模態(tài)坐標法是把實測模態(tài)振型定義為解析模態(tài)振型的線性組合，該線性組合的系數(shù)根據(jù)有效自由度來計算：

然后利用矩陣q來估計實測振型中所缺失的自由度：

對于有效自由度來說，原來的測量值可以保留，也可以用它們在解析模態(tài)振型組合上的投影代替，這樣做對實驗?zāi)B(tài)振型來說具有平滑的效果。

插值法也可以用來估計缺失的自由度，插值法的一個優(yōu)點是，擴展實驗?zāi)B(tài)振型時不必用解析數(shù)據(jù)，該方法在很大程度上依靠的是不同自由度之間的連通性，因此每個插值絕不可能獨立，這就使它的實際應(yīng)用變得相當困難。實踐中，插值法的應(yīng)用只限于一維部件所組成的結(jié)構(gòu)。當有效自由度組僅由直線自由度組成時，用插值法對轉(zhuǎn)動自由度的估計也是一種數(shù)值上不穩(wěn)定的過程。

近年來文獻［12］利用動態(tài)擴充法進行模態(tài)擴展進而進行模型修正時，提出了一種新的迭代方法，在模型修正過程中考慮了誤差項，并將其以修正項的形式添加到模型修正當中，同時該方法沒有限定所使用模型修正的方法，具有一定的通用性。如果將模型縮聚直接應(yīng)用到模型修正中，模型縮聚的近似帶來的誤差會影響到模型修正的精度。因此文獻［13］提出將模型縮聚和模型修正之間關(guān)系進行整合，將模型縮聚技術(shù)與模型修正過程有效結(jié)合，提高了模型修正的精度。主要方法是在用修正元的線性組合式和為擬修正系數(shù)）表示出有限元模型的剛度、質(zhì)量陣與物理模型的剛度、質(zhì)量陣之間的關(guān)系ΔK＝Ka－Kt和ΔM＝Ma－Mt后，事實上得到了模型修正方程，然后提出了物理模型和有限元模型的縮聚矩陣的概念，認為多數(shù)修正方法都令這2個縮聚矩陣是相等的，但當有限元模型與物理模型差別較大時，該恒等假設(shè)所帶來的誤差會較大，進而影響修正的精度，因此文獻提出在修正過程中打破這種恒等假設(shè)，形成新的修正系數(shù)的迭代方程。

5 位置矩陣法［14］

當結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜時，只能測量得到部分信息，在這種不完備信息的情況下，修正矩陣中的修正元ΔM，ΔC，ΔK沒有唯一解，這里將質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣的修正量局部化，利用位置矩陣將修正量集中在測量自由度上，則有

式中：m，c，k均為r×r階的實對稱矩陣；r為測量自由度數(shù)目；P∈Rn×r稱為位置矩陣，它是由n階單位陣劃去非測量自由度對應(yīng)列所構(gòu)成的矩陣。

6 利用實測復(fù)模態(tài)計算解析實模態(tài)［10，15］

在實際結(jié)構(gòu)中，阻尼矩陣一般為非比例阻尼，且實測模態(tài)的數(shù)目小于結(jié)構(gòu)自由度，即實際情況中多為不完備復(fù)模態(tài)條件，對于線性結(jié)構(gòu)來說，識別后得到復(fù)模態(tài)滿足

（si，ui）（i＝1，2，…，Ne）為實測復(fù)模態(tài)參數(shù)，由于實測自由度數(shù)目Ne與有限元結(jié)構(gòu)自由度數(shù)目N不符，因此上述方程不能解出M－1K，為此補充解析高階復(fù)模態(tài)所滿足的那部分方程

用最小二乘法解出M－1K，再用解析方法

7 結(jié)語

本文通過把有限元模型修正中處理不完備實測模態(tài)參數(shù)有關(guān)的基本知識、常用方法及最新進展進行綜述，展示了這一應(yīng)用領(lǐng)域中所包含的技術(shù)基礎(chǔ)、內(nèi)在聯(lián)系和應(yīng)用特點，為相應(yīng)的有限元模型修正的前期數(shù)據(jù)處理提供了良好的技術(shù)支持。

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