杜振華 諶海云 曾 歡 石明江

1. 西南石油大學電氣信息學院，成都610500

2. 中海油節(jié)能環(huán)保服務有限公司，天津300457

多目標系統(tǒng)最優(yōu)控制主要研究存在多個目標泛函時，在給定的狀態(tài)約束條件下尋求最優(yōu)控制律并達到?jīng)Q策者所需的最優(yōu)。在工程實際中，多個指標之間往往相互沖突、相互矛盾，一方利益的獲得會導致另一方利益的受損。決策者則會通過自身的經(jīng)驗給予各個指標不同的權(quán)重。這種傳統(tǒng)的設(shè)計方法偏離了實際數(shù)值意義上的最優(yōu)。

從上世紀90年代起，一些學者提出了針對二次性能指標的多目標最優(yōu)控制，諸如Khargnnekar 和Rotea 的凸優(yōu)化方法［1］，Salukvadze 的向量值法［2］，Shtessel 的比例損耗原理及我國學者張成科的小波逼近法［3］。這些傳統(tǒng)方法的數(shù)值計算十分復雜，且對問題性質(zhì)有著要求。

進化計算的發(fā)展對復雜問題的尋優(yōu)提供了有效方法，本文將現(xiàn)代控制論與多目標進化算法結(jié)合，通過構(gòu)建免疫克隆選擇算法求解多目標情況下的最優(yōu)控制問題。并針對具有較多先驗知識的決策者，提出了一種用層次分析法分配多目標之間權(quán)重的方法。

1 系統(tǒng)數(shù)學模型

隨著空間技術(shù)的發(fā)展及最短時間問題的提出，最優(yōu)控制理論逐漸發(fā)展起來，其基本數(shù)學模型如下:

一個被控系統(tǒng)可以用下式表征

式中，x 描述被控對象的n個獨立變量，u 為控制量，f(x，u，t)是描述被控對象動態(tài)特征的n 維矢值函數(shù)。則存在一個容許控制ui(t)，i = 1，2，…，r;ui(t)≤M，使得性能指標取極小。

那么多目標的系統(tǒng)則表述為:

尋求最優(yōu)控制律ui(t)，i = 1，2，…，r，同時使得如下指標取極小值

2 層次分析法

層次分析法(Analytical Hierachy Process，AHP)是一種整理和綜合人們主觀判斷的客觀分析方法，也是一種定性與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析方法，它在經(jīng)濟學領(lǐng)域的應用較為普遍，但對于控制系統(tǒng)而言也可以借鑒這一方法。對于具有大量先驗經(jīng)驗的工程師而言，已經(jīng)對多個目標之間相互比對的重要程度有了主觀意見，就可以采用層次分析法客觀的確定主觀決策的權(quán)重大小。

層次分析法的重點就是建立判斷矩陣并求解判斷矩陣的最大特征根λmax對應的歸一化特征向量W，然后對判斷矩陣進行一致性檢驗，如果檢驗通過，則該特征向量就是各目標的加權(quán)系數(shù)。下面以一個三性能指標的二階積分系統(tǒng)為例說明層次分析法在優(yōu)化控制中的使用方法。

假設(shè)如下一個二階積分系統(tǒng)

其性能指標為

首先根據(jù)Saaty 教授提出的標度法(如表1 所示)對各目標相對于其他目標的兩兩比較重要性來確定判斷矩陣B。然后通過和積法(或方根法)求判斷矩陣B 的最大特征根λmax，再由式(8)和(9)求出一致性指標CI 和一致性比率CR，檢驗B 的一致性，最后求λmax的歸一化特征向量W。

表1 標度法

采用和積法求取判斷矩陣B 的最大特征根λmax及其歸一化特征向量W，其步驟如下:

1) 將判斷矩陣B 的每一列元素作正規(guī)化處理

2) 將每一列經(jīng)正規(guī)化后的判斷矩陣按行相加

則W = (W1，W2，…，Wr)T即為B 的最大特征根λmax對應的歸一化特征向量。

4) 計算判斷矩陣B 的最大特征根

判斷矩陣B 的滿意一致性可用一致性比率CR檢驗

稱CI 為判斷矩陣B 的一致性指標，CI 越小，B的最大特征根λmax越接近完全一致性判斷矩陣的最大特征根。當CR ＜0.1 時，則判斷矩陣B 具有滿意一致性。否則，判斷矩陣B 不具有滿意一致性，需要對判斷矩陣B 進行調(diào)整。

按照上述方法對假設(shè)的二階積分系統(tǒng)的性能指標進行權(quán)值計算，首先根據(jù)3個指標重要性的兩兩比較來建立判斷矩陣B，如表2 所示。然后用和積法進行計算，可得λmax= 3.009 ，RI = 0.580 ，CI =0.005 ，CR = 0.09 ＜0.1 ，通過一致性檢驗，得到各目標的權(quán)值為W1= 0.540 ，W2= 0.163 ，W3=0.297 。

表2 判斷矩陣

則該二階積分系統(tǒng)的性能指標為

3 交互式?jīng)Q策

在一些工程實際中，工程師對各指標的重要程度不具有先驗經(jīng)驗或者各專家關(guān)于指標重要程度有分歧，則可通過交互式?jīng)Q策方法供決策者來協(xié)調(diào)多項指標。

對于多目標優(yōu)化問題而言，目標解的好壞無法用傳統(tǒng)意義上的“好壞”來衡量，這意味著不能采用傳統(tǒng)的基于導數(shù)信息的優(yōu)化技術(shù)或傳統(tǒng)的啟發(fā)式隨機搜索方法(模擬退火、遺傳算法、人工免疫算法等)來求解該問題。因此，多目標優(yōu)化算法的提出是解決此類問題的關(guān)鍵，區(qū)別于傳統(tǒng)的計算方法，本文采用改進的免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法來求解這類問題。

3.1 多目標優(yōu)化

多目標優(yōu)化問題(MOP)可用如下數(shù)學表達式描述:

給定決策向量X = (x1，x2，…，xn)∈Ω，它滿足下列約束

設(shè)有r個優(yōu)化目標，且這r個優(yōu)化目標是相互矛盾的，一方收益會導致一方利益受損，則優(yōu)化目標可以表示為

尋求X*= ()使得F(X*)最優(yōu)，且滿足式(10)的2個約束條件。在此基礎(chǔ)上給出如下幾個重要定義。

定義1 如果X 滿足約束條件(10)，則稱X 為可行解。所有可行解組成的集合稱為可行解集合，記為Ω。

定義2 設(shè)X 和X*是多目標優(yōu)化問題候選解集中的任意2個非等值個體，假定X*是非支配的(Pareto－占優(yōu))，則需要滿足如下條件:

1)對于所有的子目標，X*不比X 差，即fk(X*)≤fk(X)，(k = 1，2，…，r);

2)至少存在一個子目標，使得X*比X 好，即?q ∈{1，2，…，r}， 至 少 有 一個 子 目 標 使fq(X*)＜fq(X)。其中，r 為子目標的數(shù)量，此時可用“ ＞”表示兩者的關(guān)系，即X*＞X。

定義3 若X*∈Ω，且不存在其他的使得成立，且其中至少一個是嚴格不等式，則稱X*是minF(X)的Pareto最優(yōu)解

定義4 Pareto 最優(yōu)解集在其目標函數(shù)空間中的表現(xiàn)形式稱為Pareto 邊界(或稱為Pareto front)，Pareto 最優(yōu)邊界PF*定義為:

3.2 免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法

免疫是生物體的一種生理機能，生物依靠這種功能識別“自己”和“非己”成分，從而破壞和排斥進入人體的抗原物質(zhì)，或人體本身所產(chǎn)生的損傷細胞和老化細胞等，以維持人體的健康。本文所用算法主要模仿了脊椎動物的免疫應答及免疫記憶過程。圖1 為人體免疫應答過程的一個簡化示意圖，為更清楚的描述這一過程與算法的對應關(guān)系，現(xiàn)給出以下定義。

圖1 生物免疫應答過程

抗原:抗原(antigen)是指能刺激機體免疫系統(tǒng)引發(fā)免疫應答而產(chǎn)生抗體和致敏淋巴細胞，并能與之發(fā)送特異性結(jié)合而產(chǎn)生免疫效應的物質(zhì)。在多目標優(yōu)化問題中，抗原定義為目標函數(shù)或目標函數(shù)的變換函數(shù)。

抗體:抗體是指免疫系統(tǒng)受到抗原刺激后，B 淋巴細胞轉(zhuǎn)化為漿細胞并產(chǎn)生能與抗原發(fā)生特異性結(jié)合的免疫球蛋白(immunoglobulin，Ig)，該免疫球蛋白即為抗體。在人工免疫系統(tǒng)中一般指問題的候選解，與進化算法中的個體相似，抗體的集合稱為抗體群。

設(shè)抗體a 代表一個候選解，a = (a1，a2，…，an)，那么一個規(guī)模為N 的抗體群定義為:A = {a1，a2，…，aN}。

抗體－抗原的親和力:抗體和抗原的作用是通過力或化學鍵實現(xiàn)的，抗體單個結(jié)合部位與單價抗原(或表位)的結(jié)合力稱為親和力(affinity)。反映整體抗體分子與抗原之間總的結(jié)合力稱為親合力(avidity)。在單目標的人工免疫系統(tǒng)一般是指抗原的適應度，在多目標情況下可以是抗體的支配與非支配情況或序值。

抗體－抗體親和度:抗體與抗體間的結(jié)合能力稱之為抗體－抗體親和度。在人工免疫系統(tǒng)中，一般指候選解間的距離。

克隆:克隆是指通過無性生殖而產(chǎn)生遺傳上均一的生物群，即具有完全相同的遺傳物質(zhì)組成的一群細胞或者生物個體。在多目標情況下克隆主要實現(xiàn)候選解的復制，克隆比通常取5 ～10。

克隆操作Rcc 定義為:當對第it 代群體A(it)={a1(it)，a2(it)，…，aN(it)}進行克隆操作時，可以表示為:

3.2.1 算法編程及測試

(1)編碼

對于連續(xù)變量而言，二進制編碼存在嚴重缺陷，傳統(tǒng)的二進制編碼，在處理個體擁擠距離時，通常是采用相似度函數(shù)進行判別。但是相似度函數(shù)的判別結(jié)果有時和實際情況大相徑庭。例如1000000000和0111111111 這2個個體，在表現(xiàn)型空間中是相鄰的點，具有最小的歐氏距離，但是在基因型空間中卻具有很大的Hamming 距離。因此本文采用實數(shù)編碼。

對于函數(shù)優(yōu)化問題，實數(shù)編碼最為有效，并且已經(jīng)證實，在函數(shù)優(yōu)化和約束優(yōu)化領(lǐng)域，實數(shù)編碼比二進制和Gray 編碼更為有效。實數(shù)編碼的遺傳算子大體上有4 類:傳統(tǒng)算子、算數(shù)算子、基于方向的算子和隨機算子。本文采用傳統(tǒng)算子。

(2)進化算子

高斯變異(Gaussian Mutation)是改進算法對重點搜索區(qū)域大局部搜索性能的另一種變異操作方法。所謂高斯變異操作是指進行變異操作時，用符合均值為m，方差為δ2的正太分布的一個隨機數(shù)來替換原有基因值。高斯變異的具體操作過程是:

1)每個染色體上都進行變異操作，變異的基因位選擇方式為

2)對每一個變異點，以概率pm 從對應基因的取值范圍內(nèi)取一隨機數(shù)來取代原有基因值。新基因由下式計算得到:

設(shè)xk為變異點，其取值范圍是，則令

當問題的抗體約束范圍較廣時，高斯變異方法所得的Pareto 最優(yōu)解分布的均勻性會變差。因此，在這種情況可以使用均勻變異算子。均勻變異是用抗體約束范圍內(nèi)均勻分布的隨機數(shù)來取代變異基因位，其MATLAB 程序表述為如下:

算法中，chrom 表示需要進行變異操作的抗體，pm 為變異概率，bound 為變異基因位的取值范圍，通常以矩陣形式描述。

3)選擇算子

克隆選擇操作是從抗體各自克隆增殖后的子代中選擇優(yōu)秀的個體，從而形成新的抗體群。一個抗體能否被選擇到下一代中，主要取決于其是否為非支配抗體。這樣就需要將抗體群劃分為支配抗體群和非支配抗體群，這也是算法的主要時間復雜度所在。本文采用擂臺法進行非支配操作，其時間復雜度為O(rmN)。

擂臺法構(gòu)造進化群體的Pareto 最優(yōu)解集時，每一輪從構(gòu)造集中選一個解作為擂臺主，其余個體依次打擂臺，失敗者則被淘汰出局，勝者成為新的擂臺主，并繼續(xù)該輪比較。一輪比較后，最后的擂臺主即為非支配個體。按這種方法進行下一輪的比較，直到構(gòu)造集中的被支配個體都被淘汰出局。算法的時間復雜度為O(rmN)，式中r 為目標數(shù)，m 為非支配個體數(shù)，N 為群體大小，比起NSGA－II 算法的復雜度(O(rN2))有所降低。

4)種群修剪

為保持種群良好的分布性和均勻性，需要對種群進行修剪。其重要思想是:計算抗體之間的聚集距離，并以此分配適應值，兩端個體分配無窮大適應值，以此來選取非支配且聚集距離大的個體產(chǎn)生新的種群。這樣還能保證抗體規(guī)模維持在設(shè)定范圍內(nèi)，而不至于過渡繁殖。

5)依概率免疫記憶

對抗原進行進化操作時，按概率保留一定的非支配抗原作為精英，以此為算法必然收斂的前提。為驗證算法的性能，選取了kur，MOP5 和MOP7 三個標準測試函數(shù)。圖2 為免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法的算法流程圖。圖3(a)～(c)分別為免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法的kur，MOP5 和MOP7 函數(shù)測試結(jié)果。圖3(d)為NSGA－II 算法的MOP5 測試結(jié)果。相比而言，由于算法省去了二進制到十進制的轉(zhuǎn)換及交叉等操作，比起NSGA －II 的執(zhí)行時間更短。由圖3(c)和(d)比較可見針對3個目標的測試結(jié)果，免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法的Pareto 最優(yōu)解分布更廣泛，要優(yōu)于NSGA－II。

3.3 基于Pareto 最優(yōu)的多目標系統(tǒng)最優(yōu)控制方法

用交互式?jīng)Q策方法來求解多目標系統(tǒng)最優(yōu)控制問題需要將算法與模型仿真相結(jié)合。在Matlab 環(huán)境下建立算法的M 文件，并通過語句assignin(ws，‘var’，val)和［t，x，y］= sim(model，timespan)建立多目標免疫優(yōu)化算法與需求解問題的Simulink 仿真模型之間的聯(lián)系。為說明交互式?jīng)Q策法及免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法在求解實際問題時的有效性，本文以飛機增穩(wěn)控制器的設(shè)計為例進行說明。

3.3.1 示例

圖2 免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法流程

圖3 算法測試結(jié)果

高性能飛機的飛行包線范圍很廣，要滿足高空高速，低空低速的要求，且在受到自然環(huán)境影響(如自然風)下仍能保證較好的穩(wěn)定度，僅依靠飛機的氣動外形設(shè)計很難實現(xiàn)，因此需要在飛機中加入增穩(wěn)系統(tǒng)，以提高飛機的穩(wěn)定性和操縱性。這類為增加和改善飛機穩(wěn)定性的控制系統(tǒng)稱為增穩(wěn)系統(tǒng)(Stability Augmentation Systems，簡稱SAS)。由于本文只為說明免疫算法對多目標系統(tǒng)的優(yōu)化控制方法，故對SAS 這一多輸入多輸出系統(tǒng)做以下簡化:1)飛機模型采用縱向小擾動線性化模型，其線性化平衡點處于飛行包線內(nèi)低空高速區(qū)域;2)將問題簡化為狀態(tài)調(diào)節(jié)器，不考慮指令輸入;3)僅考慮垂直風干擾，迎角的初始條件為5°的偏轉(zhuǎn)。使用王青在文獻［4］中提供的數(shù)據(jù)，建立以下狀態(tài)空間模型

圖4 免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法求解LQR 控制器

式中，狀態(tài)向量x = ［υ，α，q，θ］T，各元素分別代表速度的變化百分比、迎角、俯仰角速率、俯仰角;u =［ξp，ξT］T，各元素分別代表升降舵的偏轉(zhuǎn)和油門桿的位置。LQR 全狀態(tài)反饋最優(yōu)調(diào)節(jié)器的性能指標選取如下:

對于該問題的性能給出3個指標，分別為:升降舵控制輸入的最大值max(u)、迎角輸出的峰值時間tp和超調(diào)量σ 以及估計誤差的ITAE。如圖4 所示，為免疫克隆選擇算法結(jié)合多指標飛機增穩(wěn)LQR控制器設(shè)計的流程圖。算法得到的抗原經(jīng)計算得到LQR 的反饋陣參數(shù)并賦給Simulink 環(huán)境下的控制器。用模型進行仿真，將仿真后得到的性能指標參數(shù)又返回給多目標免疫算法，算法根據(jù)這一數(shù)值進行免疫操作。整個計算過程以此循環(huán)，直到算法滿足終止條件。

圖5 為3個性能指標的Pareto 最優(yōu)邊界。表3為從非支配集中任意選出的5 組抗體得到的控制器參數(shù)。圖7 為系統(tǒng)的Simulink 仿真模型。圖6 為從表3 中選取的第1 組控制參數(shù)和第5 組參數(shù)進行仿真所獲得的迎角輸出曲線，由曲線可知，同樣獲得飛機增穩(wěn)控制的同時，系統(tǒng)的性能指標的極小值取值有所不同，如圖6(a)對應的控制器系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定時間均劣于圖6(b)對應的控制器，但是圖6(a)對應的控制器所消耗的控制能量卻小于后者。因此，決策者可根據(jù)計算所得的控制器參數(shù)來協(xié)調(diào)多項系統(tǒng)指標以達到最優(yōu)控制。

圖5 Parcto最優(yōu)邊界

表3 控制器可選參數(shù)

圖6 系統(tǒng)迎角仿真曲線

4 結(jié)論

圖7 增穩(wěn)系統(tǒng)的Simulink 仿真模型

對多目標系統(tǒng)的最優(yōu)控制方法進行了深入研究，并根據(jù)設(shè)計者先驗知識的多少提出了2 種新的解決方法:層次分析法和交互式?jīng)Q策法。不同于以往解決方法，交互式?jīng)Q策法的數(shù)值計算難度小，且不依賴或很少依賴求解問題。不論是線性或非線性、連續(xù)或非連續(xù)問題均能夠求解其最優(yōu)控制參數(shù)，還能兼顧多項性能指標。在所采用的算法方面，本文針對現(xiàn)有算法的不足，設(shè)計了免疫克隆選擇多目標優(yōu)化算法來求解多目標問題，通過測試表明算法性能良好，能夠用于多目標系統(tǒng)最優(yōu)控制參數(shù)的求解。本文所提方法不僅可以應用在多指標情況下的LQR 設(shè)計，還可以應用在多指標要求下的油田最優(yōu)采收率、煉油過程中的換熱和加催化等的控制以及直升機懸?？刂频戎T多方面。

［1］Khargonekar P P，Rotea M A. Multiple Objective Optimal Control of Linear System:The Quadratic Norm Case［J］. IEEE Trans. Automatic Control，1991，36(1):14-24.

［2］Salukvadze M E. Vector-valued Optimization Problem in Control Theory［M］. Academic，New York，1979.

［3］張成科.多目標最優(yōu)控制的小波逼近解［J］. 數(shù)學的實踐與認知，2006，36(8):176-183.(Zhang C K.Ap proximation Solution for Multiple Criteria Optimum Control Problem Via Wavelet［J］. Mathematics in Practice and Theory，2006，36(8):176-183.)

［4］王青，陳宇，張穎昕，侯硯澤. 最優(yōu)控制—理論、方法與應用［M］.北京:高等教育出版社，2011.(Wang Q，Chen Y，Zhang Y X，Hou Y Z. Optimal Control—Theory，Methods and Applications［M］.Beijing:Higher Education Press，2011.)

［5］Shtessel Y B. Principle of Proportional Damages in a Multiple Criteria LQR Problem［J］. IEEE Trans. Automatic Control，1996，41(3):461-464.

［6］Holland J H. Adaptation in Natural And Artificial Systems:An Introductory Analysis With Applications to Biology，Control，and Artificial Intelligence［M］. 1st Edition，Ann Arbor，MI:The University of Michigan Press，1975;2nd edition，Cambridge，MA:MIT Press，1992.

［7］Schaffer J D. Multiple Objective Optimization With Vector Evaluated Genetic Algorithms［C］. Proceedings of 1st International Conference on Genetic Algorithms and Their Applications. Hillsdale:Lawrence Erlbaum Associates，Inc.，1985:93-100.

［8］Deb K，Pratab A，Agarwal S，et al. A fast and Elitist Multi-objective Genetic Algorithm:NSGA-II［J］. IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):182-197.

［9］Coello Coello C A，Cruz Cortés N. An Approach to Solve Multiobjective Optimization Problems Based on An Artificial Immune System［C］. Proceedings of 1st International Conference on Artificial Immune System，Canterbury，2002:212-221.

［10］鄭金華.多目標進化算法及其應用［M］. 北京:科學出版社，2007.(Zheng J H. Multi－objective Evolutionary Algorithm and Application ［M］. Beijing:Science Press，2007.)

［11］Jiao L C，Gong M G，Shang R H，et al. Clonal Selection with Immune Dominance and Anergy Based Multiobjective Optimization［C］. Proceedings of 3rd International Conference on Evolutionary Multi-crite-rion Optimization，Berlin:Springer，2005:474-489.

［12］焦李成，尚榮華，馬文萍，公茂果，李陽剛，劉芳.多目標優(yōu)化免疫算法、理論和應用［M］. 北京:科學出版社，2010. (Jiao Licheng，Shang Ronghua，Ma Wenping，Gong Maoguo，Li Yanggang，Liu Fang. The Theory and Application of Multi-objective Optimization Immune Algorithm［M］.Beijing:Science Press，2010.)

［13］Knowles J D，Corne D W，Deb K.Multiobjective Problem Solving form Nature［M］.New York:Springer，2008.

［14］Gong T，Cai Z X. Natural Computation of Immune Elearning System［C］//Proc. of 3rd Int’1 Conf. on Computational Intelligence，Robotics and Autonomous Systems，Singapore，2005:13-16.