董明望 吳 林 戴明輝 羅嗣銘

武漢理工大學(xué)，武漢，430063

0 引言

目前，國外減速器占據(jù)了我國減速器市場大部分份額，嚴(yán)重影響我國在該領(lǐng)域的產(chǎn)業(yè)安全，主要原因是我國齒輪材料及加工工藝與國外尚存在較大差距［1－3］。為此，本文試圖通過結(jié)構(gòu)形式的創(chuàng)新變化來彌補齒輪材料及加工工藝的不足，提出圓柱凸輪側(cè)向傳動的概念。該傳動機構(gòu)通過圓柱凸輪與從動轉(zhuǎn)盤中圓柱滾子嚙合實現(xiàn)側(cè)向傳動，大幅度降低了同樣性能減速器的加工難度，節(jié)省了原材料并降低了生產(chǎn)能耗，縮短了生產(chǎn)周期。由于該傳動機構(gòu)通過圓柱滾子代替?zhèn)鹘y(tǒng)齒輪來傳動，因此稱為無齒傳動。傳動過程中通過利用滾動形式代替?zhèn)鹘y(tǒng)的滑動形式，避開了傳統(tǒng)傳動方式齒面摩擦及齒面磨損較嚴(yán)重的現(xiàn)象。

無齒減速器的核心傳動件為圓柱凸輪側(cè)向傳動機構(gòu)，其重點在于圓柱凸輪輪廓曲線的設(shè)計?？臻g圓柱凸輪輪廓曲線的設(shè)計方法一般為圖解法和解析法［4］。圖解法精度較低但通過特殊點選取可簡化優(yōu)化過程，解析法目前為凸輪輪廓設(shè)計的主流設(shè)計方法，其中具有代表性的算法為矢量法［5］。復(fù)數(shù)矢量法和旋轉(zhuǎn)變換張量法對于普通設(shè)計者的數(shù)學(xué)知識要求過高，本文試圖通過較為淺顯的空間幾何與運動分析方法總結(jié)出一種比較簡易的推導(dǎo)方法，從而使圓柱凸輪廓面計算更易為一般設(shè)計人群接受。

1 無齒減速器物理模型分析

無齒減速器的結(jié)構(gòu)設(shè)計如圖1所示，主要由輸入軸、兩個相互嚙合的斜齒輪、圓柱凸輪、中轉(zhuǎn)軸、從動轉(zhuǎn)盤、圓柱滾子、輸出軸、箱體與箱蓋組成，整個傳動部分通過箱體與箱蓋定位、密封。在輸入軸軸身上設(shè)計有小齒輪，小齒輪與中轉(zhuǎn)軸上配合的大齒輪嚙合，在中轉(zhuǎn)軸軸身上配合有通過鍵連接的圓柱凸輪，圓柱凸輪與從動轉(zhuǎn)盤周向分布的圓柱滾子嚙合，從動轉(zhuǎn)盤與輸出軸通過鍵連接，輸出軸一端外伸出箱體。

圖1 無齒減速器整機結(jié)構(gòu)設(shè)計示意圖

無齒減速器核心傳動件圓柱凸輪側(cè)向傳動機構(gòu)如圖2所示。圓柱凸輪為主動件，從動轉(zhuǎn)盤為從動件，沿從動轉(zhuǎn)盤圓周方向均勻分布有若干圓柱滾子，圓柱滾子通過雙傳動軸承與從動轉(zhuǎn)盤固接。圓柱滾子軸線與從動轉(zhuǎn)盤軸線平行，圓柱凸輪和從動轉(zhuǎn)盤兩軸線垂直交錯。當(dāng)圓柱凸輪旋轉(zhuǎn)時，圓柱凸輪輪廓通過與圓柱滾子耦合驅(qū)使從動轉(zhuǎn)盤運動。

圖2 圓柱凸輪側(cè)向傳動機構(gòu)示意圖

圓柱凸輪側(cè)向傳動機構(gòu)為圓柱凸輪機構(gòu)的一種特殊應(yīng)用形式，其特殊在于多圈螺旋的圓柱凸輪，使多個圓柱滾子同時處于嚙合狀態(tài)，從而提高了系統(tǒng)的剛度和承載能力。該傳動機構(gòu)雖為超靜定機構(gòu)，但通過控制圓柱凸輪與圓柱滾子的耦合間隙（精度）和圓柱滾子的彈性變形來實現(xiàn)連續(xù)傳動。

2 圓柱凸輪螺旋曲面方程求解

2.1 圓柱凸輪坐標(biāo)系建立

以圓柱凸輪中心O為坐標(biāo)原點，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系OXYZ 和柱坐標(biāo)系（R，γ，Z）。其中，R為圓柱半徑；Z沿圓柱軸線方向，向右為正；γ為點在OXY平面上投影線與X軸之夾角。按如下方法設(shè)定γ方向：點A為圓柱滾子處于圓柱凸輪中心位置正上方時，圓柱凸輪上圓柱滾子中心線與圓柱凸輪的交點（Ra，0，Za），凸輪上點 D 可表示為（Rd，γd，Zd），以順時針方向為γ正方向。

2.2 螺旋槽中心線方程

圖3 圓柱凸輪正視圖與左視圖

設(shè)傳動比為i，圓柱凸輪直徑為dt，從動轉(zhuǎn)盤節(jié)圓直徑dp，圓柱凸輪與從動轉(zhuǎn)盤中心距為0.5dp，基距為B，圓柱滾子半徑r，圓柱滾子高度H。截取圓柱面的半徑為Rj，C點為圓柱滾子中心線與半徑為Rj圓柱面的交點。

如圖4所示，當(dāng)圓柱凸輪逆時針轉(zhuǎn)動iα角度時，從動轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動α，圓柱凸輪上C點軌跡方程為

因此，螺旋槽中心線方程為

圖4 螺旋槽中心線方程計算示意圖

2.2 起止嚙合位置

其中，h＝B－H為圓柱滾子嚙合最大深度。于是

其中，Z坐標(biāo)范圍為

螺旋槽中心線在Z軸上的范圍應(yīng)為［－Z1，Z1］。當(dāng)螺旋槽中心線在Z軸方向超出［－Z1，Z1］時，超出部分嚙合分離，起止嚙合位置螺旋槽中心線Z坐標(biāo)為±Z1。當(dāng)螺旋槽中心線Z軸方向不超過［－Z1，Z1］時，起止嚙合位置為螺旋槽中心線起點與終點。

2.3 螺旋曲面方程

計算螺旋曲面方程，首先計算半徑為Rj的圓柱面上的螺旋曲線方程。當(dāng)圓柱滾子中心位于C點時，螺旋線與圓柱滾子嚙合示意圖見圖5，圖中K為嚙合點，C為圓柱滾子中心線與圓柱面的交點，β1為 ∠BOK 在左視圖的投影，θ1為螺旋角在俯視圖的投影。

圖5 螺旋曲線方程計算示意圖

設(shè)螺旋角為θ，圓柱凸輪的角速度為ωt，可得螺旋線上點K的速度vt＝ωtRj，方向如圖5所示。其中vt可 以 分 解 為v1＝vtcos（β＋β1），v2＝vtsin（β＋β1），v2為螺旋線K點相對滾子軸線方向滑動速度。

在正視圖中，將v1分解為沿⊙C切線方向速度和徑向速度v3。由嚙合曲面原理，圓柱滾子上的K點與螺旋線上的K點在螺旋線與滾子圓柱面共切面法向上具有相同的速度v3，v3始終通過圓心C，圓柱滾子為剛體，所以繞O1做圓周運動的C點具有分速度v3，依據(jù)從動轉(zhuǎn)盤線速度并化簡得

當(dāng)圓柱凸輪角速度方向為Z軸負(fù)向，且從動轉(zhuǎn)盤順時針轉(zhuǎn)動時，有

聯(lián)合式（5）、式（6）得

當(dāng)圓柱凸輪角速度方向為Z軸正向，且從動轉(zhuǎn)盤逆時針轉(zhuǎn)動時，不考慮螺旋線與圓柱滾子嚙合間隙，在從動轉(zhuǎn)盤相同α位置，有

由式（5）得

同理，聯(lián)合式（8）、式（9）得

由此，繞Z軸負(fù)方向和正方向轉(zhuǎn)動時嚙合面的曲面方程分別為

根據(jù)空間幾何關(guān)系，θ1和θ′1與螺旋角θ和θ′具有以下關(guān)系：

3 虛擬設(shè)計與實物試制

無齒減速器實體在三維軟件中較易實現(xiàn)，重點及難點在于圓柱凸輪實體三維建模［6－7］，利用數(shù)學(xué)工具M(jìn)athematica對復(fù)雜曲線和曲面進(jìn)行數(shù)學(xué)處理并在Mathematica中通過推導(dǎo)公式建立實體模型。

利用Mathematica計算得到圓柱凸輪輪廓面系列接觸點坐標(biāo)，將離散點連成光滑的樣條曲線，如圖6所示；兩條螺旋線夾著的距離即為輪廓厚度，通過減法運算得到輪廓曲面，如圖7所示；反向限定輪廓邊界厚度即為圓柱凸輪溝槽壁面高度，如圖8所示；利用中心圓柱與輪廓曲面疊加即可獲得圓柱凸輪的最終輪廓形狀，如圖9所示。

圖6 嚙合螺旋的樣長曲線

圖7 嚙合螺旋的輪廓曲面

圖8 限定輪廓邊界厚度后的曲面

圖9 圓柱凸輪最終的三維造型

由上文可知樣本點的密度，從而確定模型的精度集，此數(shù)據(jù)可輸入數(shù)控機床并進(jìn)行數(shù)控加工。利用數(shù)控機床以嚙合理論作為基礎(chǔ)編寫程序指導(dǎo)樣品的試制。圓柱凸輪試制樣品如圖10所示，新型無齒減速器的動力輸入輸出形式與蝸輪蝸桿減速器相似，都是輸入與輸出垂直交錯的形式。在整機設(shè)計過程中選取傳動比為17的SEW減速器S系列、國貿(mào)G系列減速機進(jìn)行對比設(shè)計，設(shè)計相關(guān)參數(shù)表，如表1所示，整機試制樣品如圖11所示。

圖10 圓柱凸輪試制品 圖11 無齒減速器試制品

表1 無齒減速器對比設(shè)計參數(shù)

4 結(jié)束語

經(jīng)過初步試制分析，該廓面設(shè)計方法實際可行，側(cè)向無齒傳動平穩(wěn)、噪聲較小。同時，采取側(cè)向傳動不僅減小了加工難度，而且可實現(xiàn)大扭矩、大傳動比的性能。對于大型減速器如40t門座式起重機用減速器，一般交貨期為3個月以上，而本項目研制的產(chǎn)品可在15天以內(nèi)實現(xiàn)交貨，不僅提高了效率，且成本低、制造能耗小、體積小、質(zhì)量輕；既能節(jié)省原材料資源，又能節(jié)省并充分利用人力資源，裝配環(huán)節(jié)比重上升，對就業(yè)的拉動性更強。

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