田錄林 李 鵬

1.西安理工大學(xué)，西安，710048 2.甘肅省電力公司電力科學(xué)研究院，蘭州，730050

0 引言

要滿足國(guó)家裝備制造業(yè)對(duì)所亟需的精密機(jī)床、飛輪儲(chǔ)能裝置、風(fēng)力發(fā)電機(jī)等重大裝備關(guān)鍵零部件、高性能軸承的巨大需求，要實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械節(jié)能、高效高速可靠運(yùn)轉(zhuǎn)，必須解決高速轉(zhuǎn)子的支承問(wèn)題。機(jī)械軸承有接觸、需潤(rùn)滑，限制了它的最高轉(zhuǎn)速和使用壽命，已成為傳統(tǒng)驅(qū)動(dòng)高速化的瓶頸。磁懸浮軸承無(wú)摩擦，可以解決上述問(wèn)題。但電磁懸浮軸承耗能、控制復(fù)雜［1］，超導(dǎo)磁懸浮軸承需要制冷設(shè)備［2－3］，這限制了它們的應(yīng)用，而永磁軸承具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低、無(wú)摩擦、無(wú)能耗、無(wú)污染等特點(diǎn)，具有明顯的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)。永磁軸承有不同的結(jié)構(gòu)形式，相對(duì)于其他形式的永磁軸承，錐形永磁軸承具有同時(shí)承受徑向和軸向載荷的優(yōu)點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)錐形永磁軸承進(jìn)行了研究，取得了一些進(jìn)展。Hamler［4］提出了錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)，并采用有限元方法對(duì)其進(jìn)行了仿真研究；Compter［5］根據(jù)電流模型得出三角形和梯形永磁體磁路模型，推導(dǎo)出磁化方向不同時(shí)的磁路計(jì)算方程；Bassani等［6］依據(jù)等效電流方法，研究分析了錐形永磁軸承磁化方向?qū)Υ帕Υ笮〉挠绊?。但上述研究尚未涉及錐形永磁軸承磁力解析模型的研究。本文針對(duì)上述研究的不足和空隙，基于點(diǎn)磁荷二維磁場(chǎng)和虛功原理［7－8］推導(dǎo)出一對(duì)平行矩形截面永磁體的磁力解析模型，并結(jié)合錐形永磁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立了具有明確參數(shù)關(guān)系、便于錐形永磁軸承設(shè)計(jì)的磁力解析模型。該模型通過(guò)分析錐形永磁軸承磁力與相關(guān)參量的關(guān)系，揭示了錐形永磁軸承的動(dòng)力學(xué)特性及規(guī)律。ANSYS仿真表明本文模型正確可行，其誤差能夠滿足工程應(yīng)用的要求。

1 錐形永磁軸承磁力解析模型

錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)剖面如圖1所示［9］，該軸承結(jié)構(gòu)用于承載轉(zhuǎn)軸軸向和徑向載荷。

圖1 錐形永磁軸承結(jié)構(gòu)示意圖

為方便建立錐形永磁軸承磁力解析模型，忽略錐形永磁軸承曲率的影響，先研究一對(duì)縱向長(zhǎng)度為L(zhǎng)的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型，然后再考慮錐形永磁軸承的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究其軸向及徑向分力。

1.1 一對(duì)縱向長(zhǎng)度為L(zhǎng)的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型

兩長(zhǎng)直細(xì)條形永磁體，一塊過(guò)P點(diǎn)與Y軸重合，一塊過(guò)M點(diǎn)與X軸平行，如圖2所示。基于點(diǎn)磁荷二維磁場(chǎng)和虛功原理，可得單位長(zhǎng)度的兩長(zhǎng)直細(xì)條形永磁體之間的磁力［10］為

式中，J1、J2分別為永磁體磁極化強(qiáng)度矢量，其在Y 軸方向的分量為0，其量值分別等于永磁體剩磁感應(yīng)強(qiáng)度Br1和Br2；μ0為空氣磁導(dǎo)率，μ0＝0.4πμH／m；rPM為同一橫截面內(nèi)兩長(zhǎng)條形永磁體兩微元面ds1和ds2間的距離；β1、β2分別為J1和J2與X軸方向的夾角；θ為rPM與X軸正方向的夾角。

圖2 兩長(zhǎng)直細(xì)條形平行永磁體的參數(shù)

縱向長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一對(duì)平行矩形截面永磁體如圖3所示，箭頭為磁化矢量方向［11-12］，圖中a為矩形截面長(zhǎng)度，b、d分別為內(nèi)外磁環(huán)厚度。

當(dāng)β1＝π，β2＝π時(shí)，則β1＋β2＝2π，對(duì)式（1）積分可得

圖3 兩塊平行截面永磁體參數(shù)示意圖

將式（4）代入式（3）化簡(jiǎn)積分得

對(duì)式（2）積分，可得長(zhǎng)度為L(zhǎng)的兩塊平行矩形截面永磁體X向磁力：

將式（8）代入式（7）化簡(jiǎn)積分可得

式（5）和式（9）即為一對(duì)縱向長(zhǎng)度為L(zhǎng)的兩塊平行矩形截面永磁體磁力解析模型，式中磁力單位為N，長(zhǎng)度單位為mm。

1.2 錐形永磁軸承的軸向磁力和徑向磁力

錐形永磁軸承可視為由兩塊平行矩形截面永磁體以一定傾角環(huán)繞轉(zhuǎn)軸軸線而繞成，可取磁環(huán)間隙中間處周長(zhǎng)為式（5）和式（9）的縱向近視長(zhǎng)度，其軸向及徑向分力是式（5）和式（9）計(jì)算磁力在軸向及徑向的分力。

1.2.1軸向磁力

設(shè)錐形永磁軸承傾角為α，其剖面參數(shù)如圖4所示，點(diǎn)P、Q、R、S分別為錐形軸承剖面末端點(diǎn)，設(shè)圖中P點(diǎn)坐標(biāo)為（w1，v1），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（w2，v2），R 點(diǎn)坐標(biāo)為（w3，v3），S 點(diǎn)坐標(biāo)為（w4，v4）。由圖4可得

圖4 錐形永磁軸承軸向剖面圖

當(dāng)錐形永磁軸承承受軸向載荷時(shí)，其軸向磁力解析表達(dá)式為

1.2.2徑向磁力

圖5為錐形永磁軸承徑向偏移e時(shí)的剖面圖，圖中的R1、R2分別表示軸承底部剖面內(nèi)環(huán)外半徑和外環(huán)內(nèi)半徑，且其R1＝｜0.5（w2－w4）｜，R2＝｜0.5（w1－w3）｜。為了利用式（4）、式（5）和式（9）分析圖5徑向偏移e時(shí)的錐形永磁軸承徑向磁力，將錐形永磁軸承分為對(duì)稱的N（N ＝8）段［13］，其各段徑向偏移間隙可表示為

圖5 錐形永磁軸承徑向剖面參數(shù)

設(shè)錐形永磁軸承內(nèi)外磁環(huán)厚度相等，即b＝d，錐角為α，單個(gè)磁環(huán)沿錐角為α方向的長(zhǎng)度為a（圖3～圖5），按截面等分原則確定錐形永磁軸承平均磁環(huán)周長(zhǎng)，設(shè)磁環(huán)平均周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的平均半徑為Rj，則

錐形永磁軸承的近似周長(zhǎng)為L(zhǎng)＝2πRj。由于磁環(huán)間徑向間隙很小，在忽略錐形永磁軸承曲率的情況下，可得圖5中的每段平均弧長(zhǎng)Lx為錐形永磁軸承近似周長(zhǎng)L的1／N。將hx、Lx代入式（5）和式（9）中，近似計(jì)算各段中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的徑向磁力和切向磁力，再將以上磁力分別沿徑向（w方向）分解，最后將8段的徑向磁力疊加可得錐形永磁軸承徑向總磁力，即

由于圖5以w軸為對(duì)稱軸，顯然m方向磁力為零。

2 磁力解析模型的ANSYS仿真驗(yàn)證及參數(shù)分析［14-18］

本文計(jì)算分析選用稀土NdFeB作為永磁軸承材 料，其 性 能 參 數(shù) 為：Br＝ 1.13T，Hc＝800kA／m，μr＝Br／（μ0Hc）＝1.124。

2.1 解析模型的錐形永磁軸承軸向磁力與軸向偏移的仿真驗(yàn)證及參數(shù)分析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：b＝d＝15mm，a＝30mm，α＝30°，嵌套軸半徑為rg＝21mm，軸承底部4點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：P（54.48mm，12.99mm），Q（54.98mm，13.87mm），R（－54.48mm， 12.99mm），S（－54.98mm，13.87mm）。

錐形永磁軸承僅有軸向偏移時(shí)，將相關(guān)參數(shù)代入式（5）、式（9）～ 式（13）進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖6所示，圖表中的Fvj為軸承軸向磁力解析模型計(jì)算值，F(xiàn)vf為軸承軸向磁力ANSYS仿真值。計(jì)算值與仿真值的最大誤差為4%，最小誤差為0.36%，平均誤差為0.74%。由表1、圖6可以看出，錐形永磁軸承軸向磁力隨軸向偏移的增大而減小。

表1 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖6 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

在ANSYS仿真中，用PLANE53單元建立永磁軸承軸對(duì)稱模型。圖7所示為錐形永磁軸承ANSYS仿真二維磁力線。

圖7 ANSYS仿真二維磁力線圖

2.2 錐形永磁軸承軸向磁力與磁環(huán)厚度的關(guān)系

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，α＝30°，rg＝21mm。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（8）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承的磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表2所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖8所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為3.59%，最小誤差為0.16%，平均誤差為1.56%。由表2和圖8可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨磁環(huán)厚度b的增大而增大。

表2 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖8 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

2.3 錐形永磁軸承軸向磁力與磁環(huán)沿錐角為α方向的長(zhǎng)度a的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：b＝d＝15mm，α＝30°。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9）進(jìn)行計(jì)算，將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表3所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖9所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為0.12%，平均誤差為1.54%。由表3和圖9可以看出：在小范圍內(nèi)錐形永磁軸承軸向磁力隨單個(gè)磁環(huán)沿錐角為α方向的長(zhǎng)度a的增大而增大。

表3 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

2.4 錐形永磁軸承軸向磁力與其錐角α的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算所得結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和AN－SYS仿真結(jié)果如表4所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖10所示。計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果的最大誤差為9.8%，最小誤差為1.94%，平均誤差為3.59%。由表4和圖10可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨其錐角α的增大而減小。

圖9 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

表4 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖10 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

2.5 錐形永磁軸承軸向磁力與嵌套軸半徑γg的關(guān)系解析

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°。將相關(guān)參數(shù)代入式（5）和式（9），然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（11）～式（13）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承軸向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表5所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖11所示。計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為6.79%，最小誤差為0.12%，平均誤差為2.27%。由表5和圖11可以看出：錐形永磁軸承軸向磁力隨嵌套軸半徑rg的增大而增大。

表5 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

2.6 錐形永磁軸承徑向磁力與其徑向偏移量e的關(guān)系闡析

圖11 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

設(shè)置的錐形永磁軸承幾何參數(shù)為：a＝30mm，b＝d＝15mm，α＝30°，將相關(guān)參數(shù)代入式（5）、式（9）、式（12）和式（14）進(jìn)行計(jì)算，然后將計(jì)算結(jié)果和已知參數(shù)代入式（15）計(jì)算錐形永磁軸承磁力。錐形永磁軸承徑向磁力解析模型計(jì)算結(jié)果和ANSYS仿真結(jié)果如表6所示，其對(duì)應(yīng)的計(jì)算和仿真曲線如圖12所示。計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果的最大誤差為11.1%，最小誤差為1.7%，平均誤差為2.6%。由表6和圖12可以看出：錐形永磁軸承徑向磁力隨徑向偏移量e的增大而增大。

表6 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算值與仿真值

圖12 錐形永磁軸承磁力模型計(jì)算曲線與仿真曲線

本文數(shù)據(jù)誤差產(chǎn)生的主要原因是：計(jì)算值中，磁環(huán)平均周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的平均半徑Rj存在計(jì)算誤差；另外，在ANSYS仿真計(jì)算中磁體結(jié)構(gòu)建模時(shí)也存在誤差。

3 結(jié)論

本文建立了錐形永磁軸承磁力解析模型，分析了圓錐形永磁軸承軸向承載力與其結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。結(jié)果表明：圓錐形永磁軸承磁力與磁環(huán)的平均周長(zhǎng)和磁環(huán)磁通密度的平方成正比，磁力隨著磁環(huán)徑向?qū)挾鹊脑龃蠖龃?，隨磁環(huán)截面長(zhǎng)度的增大而增大；軸向磁力隨磁環(huán)錐角的增大而減小，隨軸向偏移的增大而減小；徑向磁力隨著徑向間隙的增大而增大。解析模型計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果基本一致，最大誤差小于11.1%。本文解析模型計(jì)算方法的成功應(yīng)用，解決了長(zhǎng)期以來(lái)錐形永磁軸承磁力計(jì)算只有復(fù)雜的數(shù)值仿真算法，而沒(méi)有便于工程設(shè)計(jì)計(jì)算的磁力解析模型問(wèn)題。

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