薛亞宏，王加毅

（1.甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院電信學(xué)院，甘肅 天水 741025；2.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海 200092）

0 引言

工程項目管理以最低成本均衡資源，控制工程質(zhì)量為目標(biāo)，由工期子系統(tǒng)、費(fèi)用子系統(tǒng)、質(zhì)量子系統(tǒng)和資源控制子系統(tǒng)組成，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來看，工程項目管理中進(jìn)度目標(biāo)、質(zhì)量目標(biāo)和環(huán)境保護(hù)目標(biāo)的相互制約關(guān)系產(chǎn)生了多目標(biāo)協(xié)同問題，即多目標(biāo)優(yōu)化。

“多目標(biāo)優(yōu)化”（Multiobjective Optimization Problem，MOP）是作為最優(yōu)化的重要組成部分，它主要研究在某種意義下多個數(shù)值目標(biāo)的同時最優(yōu)化問題。在國防建設(shè)、工程設(shè)計、工程管理、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都具有重要作用。近年來，傳統(tǒng)多目標(biāo)優(yōu)化方法得到了很大發(fā)展，遺傳算法、模糊優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代技術(shù)也被應(yīng)用到多目標(biāo)優(yōu)化中，使多目標(biāo)優(yōu)化方法取得很大進(jìn)步。理論上，因素和指標(biāo)考慮越全面對深入地研究問題越有價值，但這樣會使問題變更為復(fù)雜和龐大，在條件允許的情況下，通常將目標(biāo)減少到最少程度進(jìn)行研究，即“單目標(biāo)最優(yōu)化問題”。盡管如此，多目標(biāo)線性規(guī)劃問題仍然是運(yùn)籌學(xué)所面臨的主要課題。

本文將從工程項目管理中所涉及的多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型、無約束多目標(biāo)函數(shù)的最小二乘求解、單目標(biāo)轉(zhuǎn)換、多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto解集、極值問題、目標(biāo)規(guī)劃問題求解等方面進(jìn)行基礎(chǔ)性研究，并對每一種解析求解思路給出基于的算法設(shè)計。

1 多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

多目標(biāo)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型一般表示為

其中

以上表示形式又稱為多目標(biāo)最優(yōu)化問題的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型，下面將給出幾種多目標(biāo)最優(yōu)化問題的求解途徑及其算法實(shí)現(xiàn)。

2 無約束多目標(biāo)函數(shù)的最小二乘求解

假設(shè)多目標(biāo)規(guī)劃問題的目標(biāo)函數(shù)F(x)=[f1(x),f2(x),…，fp(x)]T，則可以按照以下方式將其轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題

這樣，便可以用基本代數(shù)方程的形式求解。在Matlab 中，調(diào)用 lsqnonlin（）函數(shù)

其中，F(xiàn)為給定目標(biāo)函數(shù)寫的M函數(shù)、匿名函數(shù)或inline（）函數(shù)，該函數(shù)為向量函數(shù)。x0為初始搜索點(diǎn)。最優(yōu)化完成后，結(jié)果將在變量x中返回，其范數(shù)由nf返回。

如對如下無約束非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題

取 xm=[0；0；0]；xM[3，pi；5]；x=lsqnonlin（f，xm，xm），求最小值為 x=[3，3.1415，0]。

3 多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題求解

在多目標(biāo)問題中，根據(jù)問題的實(shí)際情況，確定一個目標(biāo)為主要目標(biāo)，其余作為次要目標(biāo)，并選取一定的界限值，即將其作為約束來處理，于是就將原多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化成一個在新的約束條件下，求主要目標(biāo)的單目標(biāo)最優(yōu)化問題，如加權(quán)或最小二乘處理等。

3.1 線性加權(quán)變換及最小二乘解

對于一般多目標(biāo)問題單目標(biāo)化，最為常見的方法是對兩個指標(biāo)的側(cè)重情況引入加權(quán)，使得目標(biāo)函數(shù)改寫成標(biāo)量形式

其中，ω1+ω+…ωp=1，且 0≤ω1，ω，…，ωp≤1[2]。對于這類加權(quán)變換后的目標(biāo)函數(shù)使用linprog（ω1，ω2，…Aep，Bep，xm）進(jìn)行優(yōu)化，最終構(gòu)造出不同加權(quán)系數(shù)下的最優(yōu)化方案。

多目標(biāo)線性規(guī)劃問題的最小二乘表示

可由函數(shù) zeros（d1，d2），Aep=[]；Bep[]；xm[]；xM=[]以及l(fā)sqlin（）直接得出。

3.2 一類線性規(guī)劃問題的最佳妥協(xié)解

對于特殊線性規(guī)劃問題

和傳統(tǒng)線性規(guī)劃問題不同，其目標(biāo)函數(shù)是矩陣而非向量。每一個目標(biāo)函數(shù)fi(x)=cix可以理解為第i方的利益分配[3]，所以這樣的最優(yōu)化問題可以認(rèn)為是各方利益的最大分配。在約束條件的相互制約下，不可能每變量能真正最大化，此時各變量需作出適當(dāng)妥協(xié)，得出唯一的最佳妥協(xié)解。其解析算法及程序?qū)崿F(xiàn)如下：

①單獨(dú)求解每個單目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題，得出最優(yōu)解 fk，k=1，2，…，p。

②通過規(guī)范化構(gòu)造單獨(dú)的目標(biāo)函數(shù)

③應(yīng)用單目標(biāo)線性規(guī)劃問題求最佳妥協(xié)解。根據(jù)以上算法，設(shè)計最佳妥協(xié)解的求解程序

4 多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解Pareto解集

由于一般情況下多目標(biāo)優(yōu)化問題的解是不唯一的，其解可能隨著決策傾向不同而不同。若重新考慮原始多目標(biāo)優(yōu)化問題，假設(shè)某一個目標(biāo)函數(shù)分量取一系列離散點(diǎn)，則原來問題的目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)將減少，這樣的處理將會產(chǎn)生新的解析結(jié)果[4]。

圖1 Pareto解集示意圖

考慮一個雙目標(biāo)函數(shù)的問題，可以先得出可行解的離散點(diǎn)，將這些點(diǎn)先在二維平面上顯示出來（圖 1）。

因為原始問題是求取兩個坐標(biāo)系 和 的最小值，所以可以從得出的可行解離散點(diǎn)提取出區(qū)域左下角的一條曲線，這條曲線就是原問題的解，稱之為Pareto front解集[5]。主函數(shù)K=Pareto fron t([f1,f2,…,fp])的調(diào)用格式為

其中，M-為可行解離散點(diǎn)構(gòu)成的列向量，K向量指示可行解離散點(diǎn)是否為Pareto解集中的點(diǎn)。

5 極大極小問題求解

多目標(biāo)優(yōu)化的一類重要問題是極大極小問題。假設(shè)某一組有p個目標(biāo)函數(shù)fi(x)，對于各個目標(biāo)的最大值，考慮進(jìn)行最小化搜索，即。極大極小問題是在最不利的條件下尋找最優(yōu)決策方案的有效方法?？紤]到各類約束條件，極大極小問題可以改寫成

使用fminimax（）函數(shù)求其最優(yōu)解，調(diào)用格式為

本次調(diào)用格式接近于之前的fmincon（）函數(shù)，不同的是目標(biāo)函數(shù)為向量形式描述。事實(shí)上，用匿名函數(shù)、inline（）函數(shù)和M-函數(shù)也可以作為新目標(biāo)函數(shù)的一種表示形式，只是變量調(diào)用過程稍顯復(fù)雜。

6 結(jié)語

在現(xiàn)實(shí)工程中，很多問題都是多目標(biāo)優(yōu)化問題，需要同時滿足兩個或者更多的目標(biāo)要求，而且要同時滿足的多個目標(biāo)之間往往互相沖突、此消彼長。因此，在多目標(biāo)優(yōu)化問題中，不存在唯一的全局最優(yōu)解，而是產(chǎn)生一組可選的折中的解集，由決策過程在可選解集中作出最終選擇。文章在對最優(yōu)化求解算法分析的基礎(chǔ)上給出了每一類算法的實(shí)現(xiàn)，其它如分布估計算法、協(xié)同進(jìn)化算法等新的范例也陸續(xù)被用于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題。

[1]林銼云，董加禮.多目標(biāo)優(yōu)化的方法與理論[M].吉林：吉林教育出版社，1992：58-90.

[2]薛定宇，陳陽泉.基于MATLAB/Simulink的系統(tǒng)仿真技術(shù)與應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002：201-215.

[3]魏靜萱.解決單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化問題的進(jìn)化算法[J].西安電子科技大學(xué)博士論文，2009.

[5]王雪松，郝名林，程玉虎.一種多目標(biāo)優(yōu)化問題的混合優(yōu)化算法[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報，2011，55（16）：15-21.

[5]劉仁云，張儀民，劉巧伶.基于多目標(biāo)優(yōu)化策略的結(jié)構(gòu)可靠性穩(wěn)健設(shè)計[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2012，40（02）：25-29.

[6]吳亮紅，王耀南，袁小芳.多目標(biāo)優(yōu)化問題的差分進(jìn)化算法研究[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2012，53（02）：12-26.