王 泳

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽 合肥 230061）

1 引言及主要結(jié)果

本文討論Kirchhoff系統(tǒng)

其中T＞0，α＞0，β≥0，同時F：［0 ，T ］×RN→R滿足條件：

（A）對于任意的x∈RN，F(xiàn)（t，x）關(guān)于t可測，對于幾乎所有t∈ ［0 ，T ］，F(xiàn)（t，x）關(guān)于x連續(xù)可微，并且存在a（t）∈C（R＋，R＋），b（t）∈C（R＋，R＋）使得

對于任意的x∈RN和幾乎所有t∈ ［0，T］成立。

Kirchhoff系統(tǒng)在物理中有許多應(yīng)用［2－4］。Kirchhoff系統(tǒng)是二階Hamilton系統(tǒng)的推廣；并且當(dāng)Kirchhoff系統(tǒng)（1）中β＝0時，Kirchhoff系統(tǒng)就是二階Hamilton系統(tǒng)。關(guān)于二階Hamilton系統(tǒng)有下列結(jié)論：

定理1.2［5］如果F（t，x）滿足以下條件

（H1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（H3）存在g∈L1（0，T），滿足對于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T ］，F(xiàn)（t，x）≥g（t）成立；

（H4）存在 ［0 ，T ］的一個可測子集E，E的測度大于meas（E）＞0，滿足對于幾乎所有的t∈［0 ，T］，當(dāng)＋ ∞ 時，F(xiàn)（t，x）→＋ ∞ ；則二階Hamilton系統(tǒng)

有一個周期解。

本文的主要結(jié)論是：

定理1.3 如果F（t，x）滿足以下條件

（V1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（V2）存在0＜μ＜2，M＞0，滿足對于任意的

成立；

（V3）存在g∈L1（0，T），滿足對于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，

成立；

（V4）存在 ［0 ，T ］的一個可測子集E，E的測度meas（E）＞0，滿足對于幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，當(dāng)→＋∞時，

則Kirchhoff系統(tǒng)（1）有一個弱解。

2 一些引理

為了證明上面幾個定理，我們需要引用以下幾個引理。

引理2.1［1］存在一個常數(shù)C＞0，對于任意的u∈，Sobolev不等式成立，并且 Wirtinger不等式成立。

引理2.2［6］如果F（t，x）滿足以下條件

（B1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（B2）E是 0，［ ］

T 的一個可測子集，滿足對于幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，當(dāng)時，

F（t，x）→＋∞ ；

則對于任意的δ＞0，存在E的一個可測子集Eδ，meas（E＼Eδ）＜δ，滿足當(dāng)＋ ∞ 時，F(xiàn)（t，x）→＋∞，在Eδ上一致成立。

引理2.3［6］如果F（t，x）滿足以下條件

（D1）F（t，x）滿足條件 （A）；

（I1）對于任意的x∈RN，y∈RN，

（I3）對于任意的x∈RN，

（I4）對于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈E，

成立。

引理2.4［1］存在一個常數(shù)C′＞0，對于任意的u∈，‖u‖∞≤C′‖u‖。

引理2.5［1］在中，如果序列u｛｝n弱收斂到u，那么當(dāng)n→＋∞時，‖un－u‖∞→0。

定義2.6［7］如果泛函φ（u）滿足下列條件：若序列 ｛un｝?滿足界，同時當(dāng)n→＋∞ 時，‖φ′（un）‖（1＋ ‖un‖）→0，則序列 ｛un｝在中有一個收斂的子列；那么稱φ（u）滿足（C）條件。

引理2.7 如果F（t，x）滿足定理1的條件，那么泛函

滿足（C）條件。

證明 假設(shè)序列 ｛un｝?滿足｝有界，同時當(dāng)n→＋∞ 時，‖φ′（un）‖（1＋‖un‖）→0。則存在一個常數(shù)C1，滿足對于所有的n∈N有

由條件（A）和公式（2），對于任意的x∈RN和幾乎所有的t∈ ［0 ，T］，

由上式得到存在一個常數(shù)C2，對于任意的n∈N，

引理2.8 假設(shè)E是一個Banach空間，φ∈C1（E ，R）滿足 （C）條件，并且滿足：

（J1）E＝V⊕X，其中V≠ ｛0｝ ，V是一個有窮維空間；

（J2）存在常數(shù)α1，在空間V中存在0的一個鄰域D，滿足φ｜?D≤α1；

（J3）存在常數(shù)β1＞α1，滿足φ｜X≥β1；那么φ有一個臨界點(diǎn)。

證明 文獻(xiàn)［8］證明了當(dāng)φ∈C1（E，R）滿足（PS）條件時結(jié)論成立。類似地，當(dāng)φ ∈C1（E ，R）滿足（C）條件時結(jié)論成立。

3 定理的證明

從（12）得到y(tǒng)（s）＝F（t，sx）是微分方程y′（s）＝的一個解。因此當(dāng)s≥由條件 （A）和（13），對于任意的和幾乎所有的t∈［0，T ］， a0b（t）≥≥其中常數(shù) a0＝因此對于任意的和幾乎所有的t∈ ［0，T］，F(xiàn)（t，x）＝由Sobolev不等式 和Wirtinger不等式得到對于所有的

并且在空間RN中，當(dāng)‖u‖→∞時，φ（u）→－∞。所以存在常數(shù)C6，α1＝supu∈RN，‖u‖＝C6φ（u）＜β1。因此引理2.8中條件（J2）和條件（J3）成立。因此φ有一個臨界點(diǎn)，即Kirchhoff系統(tǒng) （1）有一個弱解。

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