(杭州電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)與工程計(jì)算研究所，浙江 杭州310018)

0 引 言

近年來，橢圓方程弱解和很弱解的研究有了很大進(jìn)展。擬最小化性質(zhì)是研究橢圓方程解的重要工具之一。針對(duì)各向同性情形下橢圓方程的弱解，在不同條件下可得到其擬最小化性質(zhì)。文獻(xiàn)[1]給出了橢圓方程經(jīng)典的弱解在相差一個(gè)常數(shù)因子不計(jì)的情況下，u 具有最小的p-Dirichlet 積分，即u 具有最小的能量。文獻(xiàn)[2]使用Hodge 分解等工具得到了A-調(diào)和方程障礙問題很弱解的擬最小化性質(zhì)，從而得了很弱解的局部與整體高階可積性。文獻(xiàn)[3]同樣使用了Hodge 分解工具得到了擬線性橢圓方程-divA(x，Du)=-divF(x)雙障礙問題很弱解的擬最小化性質(zhì)。文獻(xiàn)[4]首先得到了A-調(diào)和方程雙邊障礙問題很弱解的擬最小化性質(zhì)，從而給出了很弱解的全局正則性。關(guān)于各向異性情形下橢圓方程的弱解，文獻(xiàn)[5]將橢圓方程弱解的局部正則性推廣到各向異性情形。文獻(xiàn)[6]拓廣了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果到各向異性的A-調(diào)和方程的障礙問題上。但是在各向異性情形下橢圓方程障礙問題的弱解其擬最小化性質(zhì)尚未得到研究。本文利用H?lder 不等式和Young 不等式等工具將擬最小化性質(zhì)推廣到了各向異性情形。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Ω?Rn是有界開集，設(shè)pi＞1，i =1，2，…，n。定義

對(duì)幾乎所有的x∈Ω 及所有的ξ∈Rn都成立，其中α，β為常數(shù)，A(x，0)=0。

設(shè)φ，ψ為Ω 中任意取值于R∪{±∞}的函數(shù)，θ∈W1，pi(Ω)。設(shè)函數(shù)φ，ψ為障礙，θ為邊值。

定義中函數(shù)φ，ψ為障礙，θ為邊值。

2 主要結(jié)果

3 主要結(jié)果的證明

在證明過程中，常數(shù)C是可以線性變化的。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了A-調(diào)和方程各向異性障礙問題弱解的擬最小化性質(zhì)，通過應(yīng)用H?lder 不等式，Young不等式以及一些基本不等式完成了積分不等式的估計(jì)，為進(jìn)一步研究各向異性A-調(diào)和方程障礙問題解的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

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[2]高紅亞，王珉，趙洪亮.A-調(diào)和方程障礙問題的很弱解[J].數(shù)學(xué)研究評(píng)論，2004，24(1):159-167.

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