(杭州電子科技大學電子信息學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

混沌具有隨機性和不可預測性，可用以產(chǎn)生性能良好的偽隨機序列，以替代傳統(tǒng)的偽隨機序列而應用于密碼系統(tǒng)和保密通信等領域之中[1]。離散混沌由于其算法簡單及處理時運算速率快而在混沌應用中得到了廣泛的研究[1-3]，其中Logistic映射是一個在理論和應用上研究最早和應用最多的一種離散映射，使其成為一種典型的偽隨機序列信號源。但Logistic映射只有一個初值和一個參數(shù)，且混沌參數(shù)范圍和滿映射區(qū)間都較小，致使其密鑰空間不大，序列安全性較低。雖然迄今大量文獻研究新混沌系統(tǒng)的構(gòu)造[4-5]，或提出改進的混沌系統(tǒng)，但大多研究系統(tǒng)的基本動力學特性，很少基于應用背景深入研究如何提高擴展混沌映射區(qū)間和參數(shù)范圍等。本文基于如何擴展混沌映射區(qū)間和系統(tǒng)參數(shù)區(qū)間，提出了一個改進的Logistic映射。對其動力學特性分析后發(fā)現(xiàn)，映射具有任意的參數(shù)區(qū)間、任意的混沌區(qū)間和任意的滿映射區(qū)間，一定條件下還會出現(xiàn)恒定混沌現(xiàn)象。

1 改進的Logistic映射

Logistic映射有3種形式[5]，其動力學特性相類似。本文研究如下形式的Logistic映射:

該映射數(shù)學結(jié)構(gòu)簡單，把其作為一個偽隨機信號源存在如下缺陷:式(1)只有一個參數(shù)，且映射參數(shù)區(qū)間較小，僅為μ∈[0，2]，其混沌區(qū)的參數(shù)區(qū)間更小，約為[1.4，2](包括其中的周期窗口)，導致其密鑰參數(shù)空間很小;滿映射區(qū)間較小，僅為I=[-1，1]，較小的映射區(qū)間在迭代過程中將使其數(shù)值變化率小，用其產(chǎn)生偽隨機數(shù)時將導致序列碼率低，式(1)映射軌跡和分岔圖如圖1所示。

圖1 Logistic映射軌跡和分岔圖

為了探索更復雜的動力學特性，把式(1)改進如下:

式中，b ＞0，b∈R。分析表明，xn∈[-b，b]，μ∈(0，2/b)，b∈(0，2/μ)。從式(1)看出，減小參數(shù)b可擴展參數(shù)μ的范圍，增加參數(shù)b可增大滿映射的區(qū)間。

b=0.5時的分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜如圖2所示，改進前后該映射的參數(shù)范圍由[0，2]擴展到[0，4];混沌區(qū)間由[1.4，2]擴展到[2.8，4]。b =2時的分岔圖和Lyapunov 指數(shù)譜如圖3所示，滿映射區(qū)間由[-1，1]擴展到[-2，2]。

圖2 b=0.5時，改進映射隨參數(shù)μ 變化的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

圖3 b=2時，改進映射隨參數(shù)μ 變化的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

2 動力學特性分析

考察參數(shù)變化時映射的運動形態(tài)。解不動點方程x=b-μx2得其不動點:

不動點的穩(wěn)定性滿足:

不動點x2滿足在整個參數(shù)區(qū)間都是不穩(wěn)定的，故不討論。而平衡點x1滿足穩(wěn)定的條件為:

故得:

解得:

周期2 軌道穩(wěn)定條件為:

即:

在μ=5/(4b)時，又發(fā)生倍周期分岔，如此演化最終在1.401/b 后周期趨于無窮大，進入混沌狀態(tài)，其混沌映射區(qū)間IC近似為:

例如，當b =0.5時，周期2 處的分岔參數(shù)為μ =3/(4b)=1.5，周期4 處的分岔參數(shù)為μ =5/(4b)=2.5，擬周期參數(shù)為1.401/b=2.802，混沌區(qū)間為IC=0.599/b，這些理論分岔參數(shù)都在圖4(a)的分岔圖中得到了驗證。

圖4 改進的Logistic映射的分岔圖與Lyapunov 指數(shù)譜

另一種最有意義的分岔規(guī)律是，當滿足μ =2/b時，如圖4(b)所示，出現(xiàn)一種恒定混沌現(xiàn)象，其Lyapunov 指數(shù)隨著參數(shù)b的增加而略微增大，此種情況的混沌區(qū)間將趨于無窮大，這意味著有趨于無窮大的密鑰空間，這在實際應用中將有重要的意義。

3 結(jié)束語

本文研究了一種改進的Logistic映射，該映射其滿映射區(qū)間和混沌區(qū)間都得到了有效擴展，尤其在滿足一定條件下可出現(xiàn)恒定混沌現(xiàn)象，參數(shù)在任意大的正數(shù)區(qū)間變化時，該映射都保持一種混沌狀態(tài)，且Lyapunov是近似為恒量。用其作為信號源產(chǎn)生偽隨機序列時可獲得性能良好的序列和很大的密鑰空間，在偽隨機信號發(fā)生器的設計及其在保密通信和信息加密等需要偽隨機序列的領域具有良好的應用前景。

[1]Narendra Singh，Aloka Sinha.Chaos-based secure communication system using logistic map[J].Optics and Lasers in Engineering，2010，48(3):398-404.

[2]Mamta Rani，Rashi Agarwal.A new experimental approach to study the stability of logistic map[J].Chaos，Solitons ＆Fractals，2009，41(4):2 062-2 066.

[3]Persohn K J，Povinelli R J.Analyzing logistic map pseudorandom number generators for periodicity induced by finite precision floating-point representation[J].Chaos，Solitons ＆ Fractals，2012，45(3):238-245.

[4]Thomas Curtright，Andrzej Veitia.Logistic map potentials[J].Physics Letters A，2011，375(3):276-282.

[5]Chen Shihliang，Hwang Tingting，Lim Wenwei.Randomness Enhancement Using Digitalized Modified Logistic Map[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems Part II:Express Briefs，2010，57(12):996-1 000.