(杭州電子科技大學(xué)機械工程學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

隨機共振在檢測強噪聲背景環(huán)境下的信號方面具有獨特的優(yōu)勢，尤其是當噪聲達到某一適當強度時，非線性系統(tǒng)、信號與噪聲共同作用將一部分噪聲轉(zhuǎn)化成為信號。非線性系統(tǒng)的響應(yīng)機理在一定范圍內(nèi)可以用絕熱近似[1]及線性響應(yīng)理論來闡明，近年這個理論正在不斷地完善和發(fā)展并推廣到各個領(lǐng)域，如多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的研究[2]、基于隨機共振原理的二維圖像處理[3]、H-H神經(jīng)元模型的研究[4]、基于隨機共振原理的自適應(yīng)檢測方法的探索[5]，但是這些理論僅適應(yīng)于小參數(shù)信號(小噪聲、極低頻率、小幅度)[6]，而在實際情況中，信號的參數(shù)可能較大。本文在分析了基本雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的調(diào)參模型，此模型能夠?qū)崿F(xiàn)識別較高頻率的微弱信號。

1 基本雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振

隨機共振模型需要3個要素，分別是非線性系統(tǒng)、輸入驅(qū)動信號以及噪聲。若以最基礎(chǔ)雙穩(wěn)非線性系統(tǒng)，單頻正弦信號和高斯白噪聲為研究對象，該共振模型可用郎之萬方程描述為:

式中，μ ＞0，A為信號幅值，f為信號頻率，n(t)為高斯白噪聲。n(t)滿足:

式中，D為噪聲強度，為時間延遲。在絕熱近似環(huán)境下，模型的S(f)由兩部分內(nèi)容構(gòu)成:

1)由驅(qū)動正弦信號引起的S1(f);

2)由噪聲引起的具有洛倫茲形式[7]的S2(f)。

且噪聲功率譜S2(f)與信噪比SNR的計算公式分別為:

若對N點的信號y()進行離散傅里葉變換可得Y(f)，則有:

式中，P總為總信號頻譜，SN為噪聲能量，SNR為信噪比。

2 新雙穩(wěn)系統(tǒng)模型

在仿真工作中，遇到的信號頻率往往超出上述頻率范圍，所以本文提出了新的隨機共振系統(tǒng)模型。其動力學(xué)方程可表示為:

整理后，可得:

可以看出，當h=1時，式(10)即為上面提到的郎之萬方程(其中μ =1)。對比式(8)和式(10)可看到，雙穩(wěn)系統(tǒng)經(jīng)過變換后，輸入信號的頻率變?yōu)樵瓉淼?/g，信號與噪聲幅值變?yōu)樵瓉淼膆倍。兩方程是等價的，因此在檢測強噪聲背景中的中低頻信號時，可通過選擇合適的參數(shù)g和h，將信號變換為低頻信號后，再進行處理。由式(10)可以看出，調(diào)節(jié)參數(shù)g 只影響信號的頻率，調(diào)節(jié)參數(shù)h 只影響信號與噪聲的幅值。

通過數(shù)值仿真實驗來檢驗上述雙穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)模型能否識別中低頻小信號，以及驗證各參數(shù)對系統(tǒng)的影響。對應(yīng)于式(8)，若g =100，h =1，f0=1 Hz，則fs=200 Hz，A =0.37，D =0.2;則對應(yīng)于式(1)各參數(shù)取值為:μ=1，A=0.37，f0=0.01 Hz，D=0.2，fs=2 Hz，將這些參數(shù)分別代入對應(yīng)方程中，再分別對方程采用四階Runge-Kutt(a)方法計算，按式(5)計算輸出頻率幅值，具體結(jié)果如圖1所示。

其中圖1(a)為輸入時頻域波形圖，圖1(b)圖與1(c)分別為式(8)與式(1)的輸出時頻域波形圖。從圖1(a)的時域波形圖中無法看出有周期信號存在，而圖1(b)、圖1(c)顯示，系統(tǒng)的時域輸出為周期震蕩信號，且輸出頻域圖在某一頻率處有一明顯的尖峰。說明兩系統(tǒng)均發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象。而且二者的時頻域圖形極為類似，證明了此參數(shù)變換的可行性，同時也說明了增大g，可提高發(fā)生隨機共振的共振頻率;反之亦然。另外，由于式(10)中，輸入信號的實際頻率為f0/g =0.01 Hz，所以采樣頻率可取fs=2 Hz，且圖1(b)與1(c)中輸出仿真信號的頻譜在0.01 Hz 處有一尖峰，說明發(fā)生共振的輸入信號頻率為0.01 Hz。

圖1 系統(tǒng)輸入輸出時頻域波形圖

若g=100，h=2，f0=1 Hz，對應(yīng)于式(8)有fs=200 Hz，A =0.185，D =0.05;對應(yīng)于式(10)有fs=2 Hz，A=0.185，D=0.05，將這些參數(shù)分別代入對應(yīng)方程中，再分別對兩方程采用四階Runge-Kutt(a)方法計算，按式(3)計算輸出頻域幅值，具體結(jié)果如圖2所示。

圖2(a)與2(b)的輸出波形顯示兩系統(tǒng)均發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象，且2 者的圖形極為類似，但是圖2(a)中的輸出信號時頻域幅值都較圖2(b)中的值小，這是由于圖2(a)中的輸出為x，而圖2(b)中的輸出為y，由式(9)不難證明此結(jié)論。由兩系統(tǒng)的混合輸入信號說明增大h，可檢測小幅值，低噪聲強度的信號;反之亦然。

圖2 系統(tǒng)輸出時頻域波形圖

根據(jù)原有的輸出信號功率譜公式和信噪比公式，推導(dǎo)出新模型的輸出信號功率譜公式和信噪比公式。分別結(jié)合式(10)與式(3)，求得功率譜Sy2(f)，結(jié)合式(10)與式(4)，求得輸出信噪比SNR2。設(shè)Sx2(k)是式(8)中由噪聲引起的功率譜，結(jié)合功率譜的定義與式(9)可得:

計算得到:

分別計算式(1)、式(8)與式(10)的噪聲輸出功率譜，并進行仿真實驗對比，如圖3所示。圖3中，圖3(a)、(b)、(c)中參數(shù)取值分別與圖1(b)、圖1(c)、圖2(a)中參數(shù)的值相同。S12為仿真輸出功率譜的平滑曲線，S22為理論輸出噪聲功率譜值?？梢姺抡嫘盘栞敵雠c理論分析結(jié)果一致。對比圖3(b)與圖3(c)可發(fā)現(xiàn)，兩個模型的圖形類似，但圖3(c)中的噪聲幅值是圖3(b)的倍，驗證了h的變化對系統(tǒng)的影響;對比圖3(b)與圖3(a)可發(fā)現(xiàn)，圖3(a)中各幅值對應(yīng)的頻率值是圖3(b)中的g =100倍，驗證了h的變化對系統(tǒng)輸出的影響。

圖3 仿真信號的噪聲輸出能量譜與理論信號的噪聲輸出功率譜對比圖

圖4分別為由式(8)與式(10)中的輸出信噪比隨噪聲變化的仿真值與理論值的對比圖，圖4中，圖4(a)、(b)中參數(shù)取值分別與圖3(a)、(c)中參數(shù)的值相同。SNR1為5次輸出信噪比隨噪聲變化的仿真值的平均值，SNR2為輸出信噪比隨噪聲變化的理論值?？梢娦盘柗抡孑敵雠c理論分析結(jié)果一致。對比圖4(a)與圖4(b)可發(fā)現(xiàn)，二者最大信噪比值所對應(yīng)的噪聲強度不同，這與理論分析結(jié)果一致。

圖4 仿真信號與理論信號的輸出信噪比隨噪聲變化對比圖

所以，在一些參數(shù)已知的情況下，可以有針對性地調(diào)節(jié)參數(shù)，以提高檢測信號的速度。

3 結(jié)束語

本文分析了基本的雙穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生隨機共振的條件以及系統(tǒng)本身的缺陷。在原有模型的基礎(chǔ)上，提出了一種新的模型，此模型可實現(xiàn)強噪聲背景下的中低頻率信號檢測，并推導(dǎo)出了此模型的功率譜與信噪比隨噪聲的變化的公式，且舉出實例對公式進行了驗證，而且通過調(diào)節(jié)參數(shù)可實現(xiàn)檢測多組不同混合信號中的周期信號。本文的研究拓寬了隨機共振產(chǎn)生的條件，在大參數(shù)周期信號的檢測與增強中具有一定的物理意義和實用價值。

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