(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州310018)

0 引 言

Kramers 問題一直是現(xiàn)代通信理論、隨機(jī)穩(wěn)定性理論、現(xiàn)代金融理論的熱點(diǎn)問題[1-3]，特別是在核裂變速率計(jì)算中有著廣泛的應(yīng)用，因此引起學(xué)者們的關(guān)注。目前，一維Kramers 問題已經(jīng)得到較為深入的探討;對(duì)于高維Kramers 問題，大多數(shù)工作是關(guān)于數(shù)值解的研究[4]。因此，對(duì)高維Kramers 問題進(jìn)行漸近分析就顯得尤為必要。本文采用奇異攝動(dòng)漸近展開等方法，探討了布朗離子從平衡點(diǎn)吸引域離出的情況，獲得了首次離出時(shí)間的漸近解。

1 預(yù)備知識(shí)

在核裂變問題中，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的Brown 運(yùn)動(dòng)可以用Langevin 方程來描述:

y∈Rn是質(zhì)點(diǎn)的位置，α為n×n的對(duì)稱矩陣，U(x)是勢(shì)函數(shù)，Γ0是隨機(jī)力，稱這一系統(tǒng)為Kramers系統(tǒng)。

如果參數(shù)ε→0+，隨機(jī)力Γ0以概率1 趨于0，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)以較大的概率趨于確定性系統(tǒng):

所滿足的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并且其相應(yīng)的Fokker—Planck 方程的定解區(qū)域在式(2)的吸引域上。

對(duì)于式(1)進(jìn)行正交變換。令y=Tx，則式(1)化為:

令T-1=T'，則有▽yU=T·▽xU，記T-1Γ0=Γ，式(3)變?yōu)?

式中，β=T-1αT為對(duì)角陣，令x=(x1，…，xn)則n維平面上Brown 粒子運(yùn)動(dòng)的Langevin 方程可表示為:

其對(duì)應(yīng)的確定性系統(tǒng)為:

設(shè)XA=(x1A，…，xnA，0，…，0)為式(7)的一個(gè)穩(wěn)定奇點(diǎn)，Ω是其吸引域，Γ是其邊界，該部分本文僅考慮在Γ 上有唯一奇點(diǎn)XC=(x1C，…，xnC，0，…，0)且XC是鞍點(diǎn)的情形，不妨設(shè)XC=(0，…，0)(這一假設(shè)是合理的，若不是原點(diǎn)，則可通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換將XC變換為坐標(biāo)原點(diǎn))。

2 平均首次離出時(shí)間的漸近分析

由隨機(jī)微分方程理論，布朗粒子在該吸引域的期望離出時(shí)間uε(X)=E[ ε(X)]是下列Dirichlet 問題的解:

定理設(shè)X(t)為式(6)在區(qū)域Ω 內(nèi)的解，則X(t)從Ω 內(nèi)離出的平均首次離出時(shí)間的漸近表達(dá)式為證明 由隨機(jī)微分方程理論可知，當(dāng)ε→0時(shí)期望離出時(shí)間按指數(shù)增加。因此，可以假設(shè):

令ε=0，則首項(xiàng)V0滿足L0V0=·▽V0=0，故dV0(X(t))/dt=0。因此V0在式(7)的特征線上是常數(shù)。又由于Ω是穩(wěn)定奇點(diǎn)XA的吸引域，所以當(dāng)t→+∞時(shí)，特征線均收斂于點(diǎn)XA，而V0在點(diǎn)XA是連續(xù)的，因此V0在Ω 內(nèi)是常數(shù)。由于所以V0≡1。

由于Vε不滿足邊界條件式(11)，因此在邊界附近需要一個(gè)邊界層校正項(xiàng)vε，使Vε=V0+vε，則由式(8)(11)可知，vε滿足:

在邊界層附近引進(jìn)局部坐標(biāo)，從而構(gòu)造邊界層展開式。對(duì)式(12)作局部坐標(biāo)變換(x1，…，x2n-1，x2n)→(x1，…，x2n-1，ρ)，ρ=-dist(X，?Ω)。設(shè)由于Γ是其吸引域邊界，它是特征邊界，那么在Γ 上有是Γ的單位外法向)，所以

P0(x1，…，x2n-1，μ)= Q0(x1，…，x2n-1，η)，且滿足所以式(14)的解為

設(shè)L*ε是Lε的共軛算子為能量函數(shù)，經(jīng)檢驗(yàn)可知φ(X)=e-E(X)/ε滿足方程用函數(shù)φ 乘以式(10)的兩端，再在Ω 上積分，得對(duì)該式左邊運(yùn)用格林公式，可得其中是Γ 上的單位外法向，Vε=V0+vε=1+P0+ο(ε)。因此平均首次離出時(shí)間證畢。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要運(yùn)用奇異攝動(dòng)漸近展開、局部坐標(biāo)變換、邊界層展開方法得到了高維Kramers系統(tǒng)平均首次離出時(shí)間的漸近表達(dá)式，為后續(xù)研究高維Kramers系統(tǒng)離出點(diǎn)分布和尾部軌跡離出點(diǎn)分布等問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

[1]鄭薇.二維具變阻尼陣的Kramers 問題的漸近分析[D].杭州:杭州電子科技大學(xué)，2009.

[2]Alexander Spivak，Zeev Schuss.Analytical and Numerical Study of Kramers' Exit Problem I[J].Appllied Mathematics E-Notes，2002，2:132-140.

[3]Alexander Spivak，Zeev Schuss.Analytical and Numerical Study of Kramers'Exit Problem Ⅱ[J].Appllied Mathematics E-Notes，2003，3:147-155.

[4]胡濟(jì)民，鐘云霄.裂變的布朗運(yùn)動(dòng)模型[J].高能物理與核物理，1980，4(3):368-373.

[5]Zeev Schuss.Theory and Application of Stochastic Differential Equations[M].New York:John Wiley and Sons，1980:38-243.