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        米勒問題

        2014-12-01 23:58:24李佳玲
        新校園·中旬刊 2014年10期
        關(guān)鍵詞:圓周角米勒數(shù)形

        李佳玲

        一、教學(xué)內(nèi)容

        米勒問題的解答及其應(yīng)用。

        二、教學(xué)目標(biāo)

        1.知識與技能

        (1)在具體情境中掌握米勒問題的意義,能用它們解決現(xiàn)實問題,體會米勒問題的本質(zhì);(2)掌握幾種思想:數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論,能解決實際問題;(3)養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

        2.過程與方法

        (1)經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素,把問題符號化處理,建立數(shù)學(xué)模型,體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路,構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng);(2)通過分類尋找解題策略,提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

        3.情感、態(tài)度與價值觀

        (1)激發(fā)學(xué)習(xí)積極性;(2)培養(yǎng)思維靈活性,體會數(shù)學(xué)的實用性,體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識;(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中,加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

        三、教學(xué)重難點

        重點:米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

        難點:從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,綜合已學(xué)知識解決問題。

        四、教學(xué)方法

        探究、討論、交流和演練。

        五、教學(xué)過程設(shè)計

        1.創(chuàng)設(shè)情境,引起認(rèn)知沖突(2分鐘)

        師:大家知道欣賞掛在墻上的畫時,一般要往前走幾步再往后退幾步,一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家,我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪,大家信嗎?

        2.巧妙過渡,指出探究目標(biāo)(3分鐘)

        師:大家想不想知道我是怎么做到的?要解決這個問題,首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎?(若學(xué)生回答知道,則請知道的學(xué)生1和大家分享;若回答不知道或回答不理想,則教師將準(zhǔn)備的故事與學(xué)生分享。)

        (米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家,但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候,于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題,這個問題就是今天著名的米勒問題,也即我們要探究的問題。)

        3.數(shù)形結(jié)合,簡化數(shù)學(xué)模型(5分鐘)

        師:在地球表面什么部位,一根懸桿呈現(xiàn)最長(即可見角最大)?

        教師用PPT打出問題,讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫,畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下:

        數(shù)學(xué)語言表述:在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點,在直線l上求一點M,使得M對P、Q兩點的張角θ最大,即∠PMQ最大。

        (解釋:地球半徑很大,相對于桿來說,地球表面可看成平面,就像平時走路時看到的地面是平的,所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。)

        4.啟發(fā)提問,激發(fā)探究興趣(2分鐘)

        師:這個問題在當(dāng)時是一道難題,但在今天,我們的知識足以解決它,那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎?(提示考慮切割線定理。)

        5.合作交流,引導(dǎo)深入探究(10分鐘)

        師:問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角?既然沒說,那我們該怎么辦?(讓學(xué)生前后4人一組。)

        可能學(xué)生會回答:分類討論。

        師:分類討論一般是先討論簡單的,再往一般、困難的方向討論,那米勒問題是否也這樣呢?(觀察討論過程,若學(xué)生思考不全,可加以點撥,指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手,再深入探究。)

        6.分享成果,小組互相補(bǔ)充(5分鐘)

        師:有沒有小組想分享你們的結(jié)果?其它小組有沒有不同意見或補(bǔ)充的?

        7.意猶未盡,繼續(xù)嘗試探究(5分鐘)

        師:大家很快解決了PQ與直線l平行的情況,但大家還沒完全解決問題,PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況,但是大家好像不會解答,是嗎?我們之前學(xué)過圓的性質(zhì),知道圓周角比圓外角大,那可否借助圓的這個性質(zhì),把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢?如果可以,那這個圓周角何時最大呢?我們又怎么確定點M的位置呢?(因勢利導(dǎo),幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。)

        8.畫龍點睛,寫出解答過程(5分鐘)

        師:同學(xué)們討論得怎樣?(請學(xué)生4回答。)你能否上黑板寫出完整解答過程呢?(最后教師給出具體解答過程,讓學(xué)生檢查校對。)

        9.牛刀小試,鞏固提高能力(6分鐘)

        師:同學(xué)們這么厲害,居然把米勒問題完整地解答出來了,要是我們穿越回去,肯定都是數(shù)學(xué)家,不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來,解決我們最開始的問題:一張1.4米高的名畫掛在墻上,它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠(yuǎn)處,看得最清晰?

        (學(xué)生在練習(xí)時教師可說明:解決米勒問題后,大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧?以后我們再遇到求最大角或類似的問題,相信大家都能解決了?。?/p>

        師:那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題,大家來看看:如圖3,足球場長100米,寬60米,球門長7.2米,有一位左邊鋒欲射門,應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大?

        10.小結(jié)升華,完善知識系統(tǒng)(2分鐘)

        師:同學(xué)們,今天我們解決了米勒問題,那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢?解決了米勒問題后我們可以干什么?

        (教師回顧整個課堂環(huán)節(jié),學(xué)生回答理想時教師一起回答,學(xué)生回答不理想時,教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。)

        一、教學(xué)內(nèi)容

        米勒問題的解答及其應(yīng)用。

        二、教學(xué)目標(biāo)

        1.知識與技能

        (1)在具體情境中掌握米勒問題的意義,能用它們解決現(xiàn)實問題,體會米勒問題的本質(zhì);(2)掌握幾種思想:數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論,能解決實際問題;(3)養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

        2.過程與方法

        (1)經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素,把問題符號化處理,建立數(shù)學(xué)模型,體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路,構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng);(2)通過分類尋找解題策略,提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

        3.情感、態(tài)度與價值觀

        (1)激發(fā)學(xué)習(xí)積極性;(2)培養(yǎng)思維靈活性,體會數(shù)學(xué)的實用性,體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識;(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中,加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

        三、教學(xué)重難點

        重點:米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

        難點:從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,綜合已學(xué)知識解決問題。

        四、教學(xué)方法

        探究、討論、交流和演練。

        五、教學(xué)過程設(shè)計

        1.創(chuàng)設(shè)情境,引起認(rèn)知沖突(2分鐘)

        師:大家知道欣賞掛在墻上的畫時,一般要往前走幾步再往后退幾步,一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家,我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪,大家信嗎?

        2.巧妙過渡,指出探究目標(biāo)(3分鐘)

        師:大家想不想知道我是怎么做到的?要解決這個問題,首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎?(若學(xué)生回答知道,則請知道的學(xué)生1和大家分享;若回答不知道或回答不理想,則教師將準(zhǔn)備的故事與學(xué)生分享。)

        (米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家,但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候,于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題,這個問題就是今天著名的米勒問題,也即我們要探究的問題。)

        3.數(shù)形結(jié)合,簡化數(shù)學(xué)模型(5分鐘)

        師:在地球表面什么部位,一根懸桿呈現(xiàn)最長(即可見角最大)?

        教師用PPT打出問題,讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫,畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下:

        數(shù)學(xué)語言表述:在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點,在直線l上求一點M,使得M對P、Q兩點的張角θ最大,即∠PMQ最大。

        (解釋:地球半徑很大,相對于桿來說,地球表面可看成平面,就像平時走路時看到的地面是平的,所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。)

        4.啟發(fā)提問,激發(fā)探究興趣(2分鐘)

        師:這個問題在當(dāng)時是一道難題,但在今天,我們的知識足以解決它,那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎?(提示考慮切割線定理。)

        5.合作交流,引導(dǎo)深入探究(10分鐘)

        師:問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角?既然沒說,那我們該怎么辦?(讓學(xué)生前后4人一組。)

        可能學(xué)生會回答:分類討論。

        師:分類討論一般是先討論簡單的,再往一般、困難的方向討論,那米勒問題是否也這樣呢?(觀察討論過程,若學(xué)生思考不全,可加以點撥,指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手,再深入探究。)

        6.分享成果,小組互相補(bǔ)充(5分鐘)

        師:有沒有小組想分享你們的結(jié)果?其它小組有沒有不同意見或補(bǔ)充的?

        7.意猶未盡,繼續(xù)嘗試探究(5分鐘)

        師:大家很快解決了PQ與直線l平行的情況,但大家還沒完全解決問題,PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況,但是大家好像不會解答,是嗎?我們之前學(xué)過圓的性質(zhì),知道圓周角比圓外角大,那可否借助圓的這個性質(zhì),把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢?如果可以,那這個圓周角何時最大呢?我們又怎么確定點M的位置呢?(因勢利導(dǎo),幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。)

        8.畫龍點睛,寫出解答過程(5分鐘)

        師:同學(xué)們討論得怎樣?(請學(xué)生4回答。)你能否上黑板寫出完整解答過程呢?(最后教師給出具體解答過程,讓學(xué)生檢查校對。)

        9.牛刀小試,鞏固提高能力(6分鐘)

        師:同學(xué)們這么厲害,居然把米勒問題完整地解答出來了,要是我們穿越回去,肯定都是數(shù)學(xué)家,不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來,解決我們最開始的問題:一張1.4米高的名畫掛在墻上,它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠(yuǎn)處,看得最清晰?

        (學(xué)生在練習(xí)時教師可說明:解決米勒問題后,大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧?以后我們再遇到求最大角或類似的問題,相信大家都能解決了?。?/p>

        師:那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題,大家來看看:如圖3,足球場長100米,寬60米,球門長7.2米,有一位左邊鋒欲射門,應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大?

        10.小結(jié)升華,完善知識系統(tǒng)(2分鐘)

        師:同學(xué)們,今天我們解決了米勒問題,那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢?解決了米勒問題后我們可以干什么?

        (教師回顧整個課堂環(huán)節(jié),學(xué)生回答理想時教師一起回答,學(xué)生回答不理想時,教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。)

        一、教學(xué)內(nèi)容

        米勒問題的解答及其應(yīng)用。

        二、教學(xué)目標(biāo)

        1.知識與技能

        (1)在具體情境中掌握米勒問題的意義,能用它們解決現(xiàn)實問題,體會米勒問題的本質(zhì);(2)掌握幾種思想:數(shù)形結(jié)合、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、建模思想、分類討論,能解決實際問題;(3)養(yǎng)成自主探究和合作交流的習(xí)慣。

        2.過程與方法

        (1)經(jīng)歷尋找實際問題中的數(shù)學(xué)元素,把問題符號化處理,建立數(shù)學(xué)模型,體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題和利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實問題的一般思路,構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)素養(yǎng);(2)通過分類尋找解題策略,提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、綜合多種知識解決實際問題的能力。

        3.情感、態(tài)度與價值觀

        (1)激發(fā)學(xué)習(xí)積極性;(2)培養(yǎng)思維靈活性,體會數(shù)學(xué)的實用性,體驗數(shù)學(xué)中數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識;(3)認(rèn)識到數(shù)學(xué)存在于日常生活中,加深分類討論與數(shù)形結(jié)合思想。

        三、教學(xué)重難點

        重點:米勒問題的本質(zhì)及解決實際問題的一般思路。

        難點:從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題,綜合已學(xué)知識解決問題。

        四、教學(xué)方法

        探究、討論、交流和演練。

        五、教學(xué)過程設(shè)計

        1.創(chuàng)設(shè)情境,引起認(rèn)知沖突(2分鐘)

        師:大家知道欣賞掛在墻上的畫時,一般要往前走幾步再往后退幾步,一直挪到我們覺得把畫看得最清楚的地方。如果老師告訴大家,我不用挪來挪去就確切地知道該站在哪,大家信嗎?

        2.巧妙過渡,指出探究目標(biāo)(3分鐘)

        師:大家想不想知道我是怎么做到的?要解決這個問題,首先我們得探討另一個有趣的問題。大家知道歷史上著名的數(shù)學(xué)家米勒嗎?(若學(xué)生回答知道,則請知道的學(xué)生1和大家分享;若回答不知道或回答不理想,則教師將準(zhǔn)備的故事與學(xué)生分享。)

        (米勒是意大利著名的數(shù)學(xué)家,但數(shù)學(xué)家也有解決不了問題的時候,于是1471年他向諾德爾教授提出一個他百思不得其解的問題,這個問題就是今天著名的米勒問題,也即我們要探究的問題。)

        3.數(shù)形結(jié)合,簡化數(shù)學(xué)模型(5分鐘)

        師:在地球表面什么部位,一根懸桿呈現(xiàn)最長(即可見角最大)?

        教師用PPT打出問題,讓學(xué)生作出圖形。教師巡視并從所畫圖形不同的學(xué)生中選2個較有代表性的學(xué)生2、3上黑板畫,畫好后點評圖形并讓學(xué)生2、3用數(shù)學(xué)語言表述問題。學(xué)生作出的圖形可能如下:

        數(shù)學(xué)語言表述:在已知直線l的同側(cè)有P、Q兩點,在直線l上求一點M,使得M對P、Q兩點的張角θ最大,即∠PMQ最大。

        (解釋:地球半徑很大,相對于桿來說,地球表面可看成平面,就像平時走路時看到的地面是平的,所以在這個問題中我們可把地球表面看成一條直線。)

        4.啟發(fā)提問,激發(fā)探究興趣(2分鐘)

        師:這個問題在當(dāng)時是一道難題,但在今天,我們的知識足以解決它,那我們可以幫助米勒解決這個問題嗎?(提示考慮切割線定理。)

        5.合作交流,引導(dǎo)深入探究(10分鐘)

        師:問題有沒有說那根桿與地球表面呈什么角?既然沒說,那我們該怎么辦?(讓學(xué)生前后4人一組。)

        可能學(xué)生會回答:分類討論。

        師:分類討論一般是先討論簡單的,再往一般、困難的方向討論,那米勒問題是否也這樣呢?(觀察討論過程,若學(xué)生思考不全,可加以點撥,指導(dǎo)學(xué)生從簡單入手,再深入探究。)

        6.分享成果,小組互相補(bǔ)充(5分鐘)

        師:有沒有小組想分享你們的結(jié)果?其它小組有沒有不同意見或補(bǔ)充的?

        7.意猶未盡,繼續(xù)嘗試探究(5分鐘)

        師:大家很快解決了PQ與直線l平行的情況,但大家還沒完全解決問題,PQ與直線l不平行的時候大家分成垂直與不垂直兩種情況,但是大家好像不會解答,是嗎?我們之前學(xué)過圓的性質(zhì),知道圓周角比圓外角大,那可否借助圓的這個性質(zhì),把∠PMQ放在圓里成為圓周角呢?如果可以,那這個圓周角何時最大呢?我們又怎么確定點M的位置呢?(因勢利導(dǎo),幫助學(xué)生用切割線定理解決問題。)

        8.畫龍點睛,寫出解答過程(5分鐘)

        師:同學(xué)們討論得怎樣?(請學(xué)生4回答。)你能否上黑板寫出完整解答過程呢?(最后教師給出具體解答過程,讓學(xué)生檢查校對。)

        9.牛刀小試,鞏固提高能力(6分鐘)

        師:同學(xué)們這么厲害,居然把米勒問題完整地解答出來了,要是我們穿越回去,肯定都是數(shù)學(xué)家,不過現(xiàn)在各位數(shù)學(xué)家們還要穿越回來,解決我們最開始的問題:一張1.4米高的名畫掛在墻上,它的底邊高于看畫人的眼1.8米。問看畫人應(yīng)站在距墻多遠(yuǎn)處,看得最清晰?

        (學(xué)生在練習(xí)時教師可說明:解決米勒問題后,大家應(yīng)該知道最開始老師是怎么確定看畫的位置的了吧?以后我們再遇到求最大角或類似的問題,相信大家都能解決了!)

        師:那大家就繼續(xù)幫幫我們的足球健將解決一下射門的問題,大家來看看:如圖3,足球場長100米,寬60米,球門長7.2米,有一位左邊鋒欲射門,應(yīng)在邊AB的何處才使射門角度最大?

        10.小結(jié)升華,完善知識系統(tǒng)(2分鐘)

        師:同學(xué)們,今天我們解決了米勒問題,那大家能否回顧下我們是用什么辦法解決的呢?解決了米勒問題后我們可以干什么?

        (教師回顧整個課堂環(huán)節(jié),學(xué)生回答理想時教師一起回答,學(xué)生回答不理想時,教師可引導(dǎo)學(xué)生回答。)

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