姚國(guó)梅YAO Guo-mei；呂毅斌LV Yi-bin；王櫻子WANG Ying-zi

（①昆明理工大學(xué)理學(xué)院，昆明 650500；②昆明理工大學(xué)計(jì)算中心，昆明 650500）

（①Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；②Computing Center，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

0 引言

數(shù)值保角變換是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)基本問(wèn)題，它廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和工學(xué)等領(lǐng)域。在大多數(shù)情況下，需要通過(guò)數(shù)值計(jì)算求解滿足被給定條件的變化函數(shù)。保角變換的變換函數(shù)求解方法一般可以分為解析法和數(shù)值方法。對(duì)于解析法，只有在極少數(shù)的情況下能用初等函數(shù)表示保角變換函數(shù)，因此很多情況下，僅僅指出了變換函數(shù)的存在，而不能求出變換函數(shù)?；趯?shí)際工程問(wèn)題的復(fù)雜性，在大多數(shù)情況下必須利用數(shù)值方法求解滿足被給定條件下的保角變換問(wèn)題。很多學(xué)者對(duì)此做了大量研究[5-9]。

本論文研究在模擬電荷法下基于改進(jìn)高斯消去法的數(shù)值計(jì)算法來(lái)求解保角變換問(wèn)題，文中首先用模擬電荷法原理通過(guò)電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)構(gòu)造約束方程，再利用改進(jìn)高斯消去法的高精度求解該約束方程，得到模擬電荷和近似保角變換半徑，進(jìn)而構(gòu)造出近似保角變換函數(shù)，并在文章結(jié)尾通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性。

1 模擬電荷點(diǎn)的計(jì)算

本節(jié)主要講述利用模擬電荷法對(duì)區(qū)域外部計(jì)算保角變換的數(shù)值方法（如圖1）[11]。在圖1 中，C 是z 平面上任意的Jordan 曲線，曲線C 的區(qū)域外部作為D，ζj（j=1，2，…，N）是在區(qū)域內(nèi)部配置的電荷點(diǎn)，zi（i=1，2，…，N）是邊界C上的約束點(diǎn)，w=f（z）是從（這里=D∪C）到w 平面上的單位圓外部（包括單位圓邊界）的保角映射。在不失一般性的情況下，假定z=0 在C 的內(nèi)部且f（0）=0，保角變換函數(shù)w=f（z）滿足正規(guī)化條件f（∞）=∞，f′（∞）＞0 時(shí)表示如下：

其中，γ 是外部變換半徑，g（z）是Dirichlet 型場(chǎng)勢(shì)問(wèn)題：

的解。h（z）是g（z）的共軛調(diào)和函數(shù)，且h（∞）=0。以下文中均以G，H，Γ 表示g，h，γ 的近似值。

圖1 基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換

根據(jù)模擬電荷法（圖1），可以用圍繞C 的區(qū)域內(nèi)部配置的電荷點(diǎn)ζj（j=1，2，…，N）作為極的對(duì)數(shù)勢(shì)場(chǎng)的1 維結(jié)合

來(lái)高度近似g（z）[11]，這時(shí)g（z）的共軛調(diào)和函數(shù)h（z）可以被如下函數(shù)近似：

未知電荷qj可以通過(guò)邊界上選擇N 個(gè)約束點(diǎn)zi在滿足外部Dirichlet 問(wèn)題的邊界條件進(jìn)行求解，即滿足：

又根據(jù)條件g（∞）=0，h（∞）=0，由式（1），（2）可得：

由式（3）和（4）可知qj（j=1，2，…，N）和logΓ 滿足下列線性方程組：

2 數(shù)值保角變換的新算法

通過(guò)上節(jié)討論，根據(jù)模擬電荷法的原理，在求解模擬電荷點(diǎn)以及近似變換半徑過(guò)程中，首先，要用圍繞C 的區(qū)域內(nèi)部配置N 個(gè)電荷點(diǎn)作為極的對(duì)數(shù)勢(shì)場(chǎng)的1 次結(jié)合的G（z）來(lái)高度近似g（z），而它的共軛調(diào)和函數(shù)h（z）則用H（z）來(lái)近似，再通過(guò)邊界條件以及電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)的配置構(gòu)造出約束方程（5）。因此，數(shù)值保角變換的算法過(guò)程整理如下。

數(shù)值保角變換的算法：①給出模擬電荷法的模擬電荷和約束點(diǎn)數(shù)量N；②根據(jù)模擬電荷法的原理[11]，給出電荷點(diǎn)ζ1，…，ζN，約束點(diǎn)z1，…，zN；③由模擬電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)以及變換半徑構(gòu)造約束方程組（5）；④計(jì)算模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ；⑤根據(jù)（1）式和（2）式構(gòu)造G（z），H（z）；⑥構(gòu)造近似保角變換函數(shù)。

在上述算法過(guò)程中，第4 步模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ 的計(jì)算結(jié)果對(duì)保角變換的精度影響很大。因此，為了高精度地求解模擬電荷和近似變換半徑，采用輾轉(zhuǎn)相除法的高斯消去法[1-4]求解約束方程（5），進(jìn)而得到高精度的模擬電荷和變換半徑。

本文的做法是：

①整數(shù)處理：如果方程組的系數(shù)不是整數(shù)，則在方程兩邊同時(shí)乘以10w（w 為正整數(shù)）使其變?yōu)檎麛?shù)（參見(jiàn)表1）；②非負(fù)處理：若所要消元的系數(shù)為負(fù)，則通過(guò)同乘-1使其變?yōu)檎龜?shù)（參見(jiàn)表2）；③換行：若所要消元的系數(shù)不是非零最小，則交換方程位置變?yōu)樽钚。▍⒁?jiàn)表3）；④整數(shù)倍消元：若所要消元系數(shù)相除時(shí)不能整除，則對(duì)系數(shù)相除取整（參見(jiàn)表4）。這樣做可以使原方程組化為等價(jià)方程的過(guò)程中不出現(xiàn)除法，從而可以絕對(duì)消除因除法帶來(lái)的累積誤差。（下列表中，[ ]表示取整符號(hào)，&表示邏輯語(yǔ)句且，?表示換行，←表示賦值。）

表1 整數(shù)處理

表2 非負(fù)處理

表3 換行

表4 整數(shù)倍消元

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在模擬電荷法下基于改進(jìn)高斯消去法的方法對(duì)橢圓外部的保角變換進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)。程序用MATLAB7.0 編寫，誤差結(jié)果采用倍精度計(jì)算。誤差的定義是由邊界C 上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的保角變換點(diǎn)與邊界保角變換所得單位圓盤圓周半徑方向的最大距離。[10]誤差計(jì)算公式如下：

電荷點(diǎn)和約束點(diǎn)的配置問(wèn)題參考文獻(xiàn)[11]。

①當(dāng)a=3 時(shí)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果參見(jiàn)圖2 和圖3。

圖3 a=3

圖2 給出了N=200 時(shí)模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；而圖3 則給出了在a=3 時(shí)近似保角變換的誤差結(jié)果圖，在圖3 中橫坐標(biāo)表示電荷點(diǎn)的個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)則表示誤差。由圖3 可以看出隨著電荷點(diǎn)數(shù)的增加，誤差結(jié)果將會(huì)變小。

②當(dāng)a=5 時(shí)，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果參見(jiàn)圖4 和圖5。

圖4 a=5，N=200

類似的，圖4 給出了N=200 時(shí)模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；圖5 則給出了在a=5 時(shí)近似保角變換的誤差結(jié)果圖，由圖5 可以看出隨著模擬電荷數(shù)的增加，誤差結(jié)果越來(lái)越小。

上述實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，隨著模擬電荷點(diǎn)數(shù)的取值越多，本算法保角變換的計(jì)算精度越高。因此根據(jù)計(jì)算精度要求，可以提前確定所需模擬電荷點(diǎn)的數(shù)量。

圖5 a=5

4 結(jié)論

本文在模擬電荷法的原理下，利用改進(jìn)高斯消去法高精度地計(jì)算了模擬電荷點(diǎn)，進(jìn)而提出了高精度的保角變換的新算法，然后通過(guò)典型圖形的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該算法的有效性。今后對(duì)本算法進(jìn)行誤差分析，然后可以將其運(yùn)用到多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換以及流體力學(xué)中的渦流計(jì)算問(wèn)題。

[1]聶學(xué)建.關(guān)于線性代數(shù)中的秩[J].職大學(xué)報(bào)，2013（04）：75-77.

[2]文傳軍，許定亮，華婷.高斯消元五步驟法[J].常州工學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（06）：56-59.

[3]彭朝英.高斯消元法的改進(jìn)及其在工程上的應(yīng)用[J].邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（02）：31-35.

[4]胡堯，羅文俊.改進(jìn)Gauss 消去法求解線性方程組[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004（02）:19-23.

[5]Yunus A A M，Murid A H M，Nasser M M S.Numerical conformal mapping and its inverse of unbounded multiply connected regions onto logarithmic spiral slit regions and straight slit regions[J].Proceedings of the Royal Society A:Mathematical，Physical and Engineering Science，2014，470(2162):20130514.

[6]Lu Y，Wu D，Wang Y，et al.The accuracy improvement of numerical conformal mapping using the modified Gram-Schmidt method [C].The 19th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management.Springer Berlin Heidelberg，2013:555-563.

[7]Nasser M.Numerical conformal mapping of multiply connected regions onto the second，third and fourth categories of Koebe's canonical slit domains [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，382(1):47-56.

[8]Luo W，Dai J，Gu X，et al.Numerical conformal mapping of multiply connected domains to regions with circular boundaries[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233(11):2940-2947.

[9]Amano K，Okano D，Ogata H，et al.Numerical conformal mappings onto the linear slit domain [J].Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics，2012，29(2):165-186.

[10]Amano K.Numerical conformal mapping of exterior domains based on the charge simulation method [J].Trans Inform Process Soc Japan，1988，29:62-72.(in Japanese).

[11]Amano K.Numerical conformal mapping based on the charge simulation method [J].Trans Inform Process Soc Japan，1987，28:697-704.(in Japanese).