華騰飛

巧妙補形是求解立體幾何問題較為常用的一種解題方法，是把一個幾何體補成另一個幾何體，從而在新形成的幾何體中研究原幾何體的有關問題，這樣可以使要求解的問題變得簡單，解題過程簡捷，思維空間廣闊，解題方法新穎，問題獲解順利.

1 把正四面體補成正方體

例1 一個四面體的棱長都為2，四個頂點都在同一球面上，則球的表面積為（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如圖1，把四面體補成一個棱長為1的正方體，則正方體的對角線就是球的直徑.因為2R=3，所以S球表面積=4πR2=3π，故應選A。圖1 圖22 把三條棱相互垂直的三棱錐補成長（正）方體

例2 在球面上有四點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球的表面積是 .

解析 如圖2，把三棱錐P—ABC補形為一個棱長為a的正方體，則正方體的對角線即為球的直徑.因為2R=3a，所以S球表面積=4πR2=3a2π。3 把對棱相等的四面體補成長方體

例3 已知四面體SABC的三組對棱相等，依次為25、13、5，求四面體的體積.

解析 如圖3，把四面體S—ABC補形為長方體ADBE—GSHC.設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，聯(lián)立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V長方體—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.圖3 圖44 把三棱錐補成四棱錐（或三棱柱或平行六面體）

例4 在四面體ABCD中，設AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π3，則四面體的體積等于 .

解法1 如圖4，將四面體ABCD補成四棱錐A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，則∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD與AB的距離即為CD到平面ABE的距離，亦即C到平面ABE的距離也就是三棱錐C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如圖5，把四面體ABCD補成三棱柱ABE—FCD，則面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，則AB與CD的距離就是平面ABE與平面FCD的距離，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面體的體積為13V柱=12.圖5 圖6解法3 如圖6，把四面體ABCD補成平行六面體，則四面體的體積是平行六面體體積的13.

V平行六面體=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面體的體積為12.

結(jié)論 在四面體ABCD中，設AB=a，CD=b，直線AB與CD的距離為h，夾角為θ，則四面體的體積為V=16abhsinθ。5 把首尾相連兩兩垂直的三棱錐補成長（正）方體

例5 如圖7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，則異面直線PB與AC所成角的正切值為 .

解析 如圖7所示，把三棱錐P—ABC補成正方體ACBD—PC1B1D1，則AC∥BD，∠PBD是異面直線PB與AC所成的角.

連結(jié)PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。圖7 圖86 把四棱錐補成長（正）方體

例6 如圖8，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求證：BC⊥SC；

（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小.

證與解 因為AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱錐補成正方體ABCD—A1B1C1S.

（1）因為BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）連A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.

因為A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD為所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角為45°.

例7 如圖9，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直線AC與PB所成角的余弦值.

解析 如圖9所示，把四棱錐P—ABCD補成長方體PB1C1D1—ABCD，連結(jié)PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1為AC與PB所成角，連結(jié)BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC與PB所成角的余弦值為5714。圖9 圖107 把互相垂直的兩長（正）方形補成長（正）方體

例8 如圖10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.

（1）求證：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如圖10，將原幾何體補成長方體ABCD—FB1ED1.

（1）設AC與BD的交點為O，連結(jié)OE，則易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由長方體的性質(zhì)知，BA⊥面ADD1F，過A作AG⊥DF，連BG，則BG⊥DF，所以∠AGB為所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱補成四棱柱

例9 如圖11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

解析 由條件知AC⊥CB，如圖11，把直三棱柱ABC—A1B1C1補成長方體ABCD—A1B1C1D1，連結(jié)B1D，則B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C為AC1與B1C所成角（或其補角）.

連結(jié)CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，則由余弦定理得cos∠DB1C=225.圖11 圖12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如圖12，把原正三棱柱補成直平行六面體ABCD—A1B1C1D1，則四邊形ABCD為菱形，且∠B=60°.

設BB1=a，則AB=2a，連結(jié)AD1，則AD1∥BC1，故∠B1AD1為AB1與C1B所成角（或其補角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，應選B。9 將四棱錐補成三棱錐

例11 在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD與面SAB所成二面角的正切值.

解析 如圖13，延長BA、CD交于E，連結(jié)SE.

因為AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因為SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因為BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因為SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把長（正）方體補成長（正）方體圖13 圖14例12 如圖14，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1，求EC1與FD1所成角的余弦值.

解析 如圖14，把原長方體補上一個大小與之相等的長方體BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一點F1，使GF1=1，連結(jié)EF1、C1F1，則D1F∥C1F1，∠EC1F1為EC1與FD1所成角（或其補角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.

巧妙補形是求解立體幾何問題較為常用的一種解題方法，是把一個幾何體補成另一個幾何體，從而在新形成的幾何體中研究原幾何體的有關問題，這樣可以使要求解的問題變得簡單，解題過程簡捷，思維空間廣闊，解題方法新穎，問題獲解順利.

1 把正四面體補成正方體

例1 一個四面體的棱長都為2，四個頂點都在同一球面上，則球的表面積為（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如圖1，把四面體補成一個棱長為1的正方體，則正方體的對角線就是球的直徑.因為2R=3，所以S球表面積=4πR2=3π，故應選A。圖1 圖22 把三條棱相互垂直的三棱錐補成長（正）方體

例2 在球面上有四點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球的表面積是 .

解析 如圖2，把三棱錐P—ABC補形為一個棱長為a的正方體，則正方體的對角線即為球的直徑.因為2R=3a，所以S球表面積=4πR2=3a2π。3 把對棱相等的四面體補成長方體

例3 已知四面體SABC的三組對棱相等，依次為25、13、5，求四面體的體積.

解析 如圖3，把四面體S—ABC補形為長方體ADBE—GSHC.設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，聯(lián)立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V長方體—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.圖3 圖44 把三棱錐補成四棱錐（或三棱柱或平行六面體）

例4 在四面體ABCD中，設AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π3，則四面體的體積等于 .

解法1 如圖4，將四面體ABCD補成四棱錐A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，則∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD與AB的距離即為CD到平面ABE的距離，亦即C到平面ABE的距離也就是三棱錐C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如圖5，把四面體ABCD補成三棱柱ABE—FCD，則面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，則AB與CD的距離就是平面ABE與平面FCD的距離，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面體的體積為13V柱=12.圖5 圖6解法3 如圖6，把四面體ABCD補成平行六面體，則四面體的體積是平行六面體體積的13.

V平行六面體=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面體的體積為12.

結(jié)論 在四面體ABCD中，設AB=a，CD=b，直線AB與CD的距離為h，夾角為θ，則四面體的體積為V=16abhsinθ。5 把首尾相連兩兩垂直的三棱錐補成長（正）方體

例5 如圖7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，則異面直線PB與AC所成角的正切值為 .

解析 如圖7所示，把三棱錐P—ABC補成正方體ACBD—PC1B1D1，則AC∥BD，∠PBD是異面直線PB與AC所成的角.

連結(jié)PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。圖7 圖86 把四棱錐補成長（正）方體

例6 如圖8，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求證：BC⊥SC；

（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小.

證與解 因為AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱錐補成正方體ABCD—A1B1C1S.

（1）因為BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）連A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.

因為A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD為所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角為45°.

例7 如圖9，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直線AC與PB所成角的余弦值.

解析 如圖9所示，把四棱錐P—ABCD補成長方體PB1C1D1—ABCD，連結(jié)PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1為AC與PB所成角，連結(jié)BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC與PB所成角的余弦值為5714。圖9 圖107 把互相垂直的兩長（正）方形補成長（正）方體

例8 如圖10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.

（1）求證：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如圖10，將原幾何體補成長方體ABCD—FB1ED1.

（1）設AC與BD的交點為O，連結(jié)OE，則易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由長方體的性質(zhì)知，BA⊥面ADD1F，過A作AG⊥DF，連BG，則BG⊥DF，所以∠AGB為所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱補成四棱柱

例9 如圖11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

解析 由條件知AC⊥CB，如圖11，把直三棱柱ABC—A1B1C1補成長方體ABCD—A1B1C1D1，連結(jié)B1D，則B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C為AC1與B1C所成角（或其補角）.

連結(jié)CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，則由余弦定理得cos∠DB1C=225.圖11 圖12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如圖12，把原正三棱柱補成直平行六面體ABCD—A1B1C1D1，則四邊形ABCD為菱形，且∠B=60°.

設BB1=a，則AB=2a，連結(jié)AD1，則AD1∥BC1，故∠B1AD1為AB1與C1B所成角（或其補角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，應選B。9 將四棱錐補成三棱錐

例11 在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD與面SAB所成二面角的正切值.

解析 如圖13，延長BA、CD交于E，連結(jié)SE.

因為AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因為SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因為BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因為SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把長（正）方體補成長（正）方體圖13 圖14例12 如圖14，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1，求EC1與FD1所成角的余弦值.

解析 如圖14，把原長方體補上一個大小與之相等的長方體BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一點F1，使GF1=1，連結(jié)EF1、C1F1，則D1F∥C1F1，∠EC1F1為EC1與FD1所成角（或其補角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.

巧妙補形是求解立體幾何問題較為常用的一種解題方法，是把一個幾何體補成另一個幾何體，從而在新形成的幾何體中研究原幾何體的有關問題，這樣可以使要求解的問題變得簡單，解題過程簡捷，思維空間廣闊，解題方法新穎，問題獲解順利.

1 把正四面體補成正方體

例1 一個四面體的棱長都為2，四個頂點都在同一球面上，則球的表面積為（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如圖1，把四面體補成一個棱長為1的正方體，則正方體的對角線就是球的直徑.因為2R=3，所以S球表面積=4πR2=3π，故應選A。圖1 圖22 把三條棱相互垂直的三棱錐補成長（正）方體

例2 在球面上有四點P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么這個球的表面積是 .

解析 如圖2，把三棱錐P—ABC補形為一個棱長為a的正方體，則正方體的對角線即為球的直徑.因為2R=3a，所以S球表面積=4πR2=3a2π。3 把對棱相等的四面體補成長方體

例3 已知四面體SABC的三組對棱相等，依次為25、13、5，求四面體的體積.

解析 如圖3，把四面體S—ABC補形為長方體ADBE—GSHC.設長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，聯(lián)立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V長方體—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.圖3 圖44 把三棱錐補成四棱錐（或三棱柱或平行六面體）

例4 在四面體ABCD中，設AB=1，CD=3，直線AB與CD的距離為2，夾角為π3，則四面體的體積等于 .

解法1 如圖4，將四面體ABCD補成四棱錐A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，則∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD與AB的距離即為CD到平面ABE的距離，亦即C到平面ABE的距離也就是三棱錐C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如圖5，把四面體ABCD補成三棱柱ABE—FCD，則面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，則AB與CD的距離就是平面ABE與平面FCD的距離，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面體的體積為13V柱=12.圖5 圖6解法3 如圖6，把四面體ABCD補成平行六面體，則四面體的體積是平行六面體體積的13.

V平行六面體=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面體的體積為12.

結(jié)論 在四面體ABCD中，設AB=a，CD=b，直線AB與CD的距離為h，夾角為θ，則四面體的體積為V=16abhsinθ。5 把首尾相連兩兩垂直的三棱錐補成長（正）方體

例5 如圖7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，則異面直線PB與AC所成角的正切值為 .

解析 如圖7所示，把三棱錐P—ABC補成正方體ACBD—PC1B1D1，則AC∥BD，∠PBD是異面直線PB與AC所成的角.

連結(jié)PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。圖7 圖86 把四棱錐補成長（正）方體

例6 如圖8，四棱錐S—ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求證：BC⊥SC；

（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小.

證與解 因為AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱錐補成正方體ABCD—A1B1C1S.

（1）因為BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）連A1B，則面ASD與面BSC所成的二面角，即為面ADSA1與BCSA1所成的二面角.

因為A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD為所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角為45°.

例7 如圖9，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直線AC與PB所成角的余弦值.

解析 如圖9所示，把四棱錐P—ABCD補成長方體PB1C1D1—ABCD，連結(jié)PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1為AC與PB所成角，連結(jié)BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC與PB所成角的余弦值為5714。圖9 圖107 把互相垂直的兩長（正）方形補成長（正）方體

例8 如圖10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.

（1）求證：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如圖10，將原幾何體補成長方體ABCD—FB1ED1.

（1）設AC與BD的交點為O，連結(jié)OE，則易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由長方體的性質(zhì)知，BA⊥面ADD1F，過A作AG⊥DF，連BG，則BG⊥DF，所以∠AGB為所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱補成四棱柱

例9 如圖11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.

解析 由條件知AC⊥CB，如圖11，把直三棱柱ABC—A1B1C1補成長方體ABCD—A1B1C1D1，連結(jié)B1D，則B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C為AC1與B1C所成角（或其補角）.

連結(jié)CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，則由余弦定理得cos∠DB1C=225.圖11 圖12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，則AB1與C1B所成角的大小為（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如圖12，把原正三棱柱補成直平行六面體ABCD—A1B1C1D1，則四邊形ABCD為菱形，且∠B=60°.

設BB1=a，則AB=2a，連結(jié)AD1，則AD1∥BC1，故∠B1AD1為AB1與C1B所成角（或其補角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，應選B。9 將四棱錐補成三棱錐

例11 在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD與面SAB所成二面角的正切值.

解析 如圖13，延長BA、CD交于E，連結(jié)SE.

因為AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因為SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因為BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因為SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把長（正）方體補成長（正）方體圖13 圖14例12 如圖14，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1，求EC1與FD1所成角的余弦值.

解析 如圖14，把原長方體補上一個大小與之相等的長方體BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一點F1，使GF1=1，連結(jié)EF1、C1F1，則D1F∥C1F1，∠EC1F1為EC1與FD1所成角（或其補角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.