朱斌

強調數學應用現已成為當今各國課程內容改革的共同特點.美國提出了“用數學于現實世界”的口號.近年來，我國對數學應用給予了高度重視，中學數學教學也開始進行建模教學的探索，北京、上海等地每年還開展中學生數學建模競賽活動，不少地方也開展了中學生數學小論文評比活動.然而，相對于全國乃至全球參與度最大、開展最為廣泛的大學生數學建?；顒樱袑W建?；顒舆€相差甚遠，因此，有必要對比中學數學建模與大學數學建模，探討中學數學建?；顒尤绾胃M一步開展。1 幾個例題談中學數學建模的滲透

在這里，以幾個中學教材以及高考題為例，探討中學數學建模與大學數學建模的區(qū)別和聯系.

例1 北師大版數學必修1函數一章引例中的加油站儲油罐儲油量v與高度h、油面寬度w的函數關系（北師大版數學必修1第24頁）與2010年全國大學生數學建模競賽A題[1]（CUMCM 2010A：儲油罐的變位識別與罐容表標定）不謀而合，體現了中學數學建模與大學建模目的的統(tǒng)一，即應用數學知識解決實際問題.這里將兩個題目摘要如下：

2010年全國大學生數學建模競賽A題“儲油罐的變位識別與罐容表標定”：為加油站儲存燃油的地下儲油罐設計“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等數據，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況.圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。圖1 儲油罐正面示意圖教材例題：圖2是某高速公路加油站儲油罐的圖片（見北師大版必修一第24頁），加油站常用圓柱體儲油罐儲存汽油.儲油罐的長度d、截面半徑r是常量；油面高度h、油面寬度w、儲油量v是變量.儲油量v與油面高度h和油面寬度w存在著依賴關系.在這里，主要討論變量之間的依賴關系和函數關系.

圖2 加油站圓柱形儲油罐示意圖可以看出，這道大學生建模競賽題與中學教材的例題殊途同歸，具有異曲同工之妙.二者都是研究加油站儲油罐儲油量與油面高度和油面寬度的關系，從而給出儲油量v與油面高度h和油面寬度w之間的對應關系，而在大學生建模中更深入的要求給出地下儲油罐“油位計量管理系統(tǒng)”的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）的實時變化情況，并且深入研究罐體變位后對罐容表的影響.顯然中學教材中出現的例題只是要求研究簡單的函數關系，符合中學生的能力水平；大學生數學建模競賽則根據大學生的實際能力，考慮實際問題的需求，直接設計可供加油站應用的罐容對照表.

例2 引用一道高考題敘述高中數學模型思想在概率統(tǒng)計中的應用，并分析與大學生數學建模的聯系.

（2012年高考北京文）近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱，為調查居民生活垃圾分類投放情況，現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數據統(tǒng)計如表1.

表1：某市垃圾統(tǒng)計數據 單位：噸

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率；

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率；

（Ⅲ）假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a>；0，a+b+c=600.當數據a，b，c的方差S2最大時，寫出a，b，c的值（結論不要求證明），并求此時S2的值.

殊不知，這道題目取材于2011年全國大學生數學建模夏令營題目“垃圾分類處理與清運方案設計”[2].作為新課標的高考題，題目結合概率統(tǒng)計模型的思想，考查學生基本能力，立意貼近生活.

例3 （2012年高考陜西卷理科第20題）銀行服務窗口的業(yè)務辦理過程中的等待時間問題，現實生活氣息濃厚，它對應用數學模型分析問題與解決問題能力的考查，起到良好的示范作用.同時，這道題目借用運籌學排隊論[3]的思想，解決服務系統(tǒng)的排隊問題.具體題目如下：

某銀行柜臺設有一個服務窗口，假設顧客辦理業(yè)務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務所需的時間統(tǒng)計結果如表2.

表2：銀行顧客辦理業(yè)務時間統(tǒng)計

辦理業(yè)務所需的時間/min12345頻率0.10.40.30.10.1

注：從第一個顧客開始辦理業(yè)務時計時.

（Ⅰ）估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務的概率；

（Ⅱ）X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務的顧客人數，求X的分布列及數學期望.

排隊論模型[4]是大學生數學建模的基本模型之一，模型基于概率論以及數理統(tǒng)計課程，通過建立一些數學模型，以對隨即發(fā)生的需求服務提供系統(tǒng)預測.現實生活中諸如排隊買票、病人排隊就醫(yī)、輪船進港等等問題服務系統(tǒng).

這道高考題基于銀行服務窗口的排隊問題，出于排隊論思想命題，同時又考慮中學生實際能力，結合考點，成功地將題目適當的簡化為一道具有實際背景的概率問題.體現了中學建模與大學建模同樣是出于解決實際問題的需求，卻又需要考慮題目使用對象，做出適當改編.在全國大學生數學建模競賽（CUMCM）中應用排隊論思想的題目也很多，例如CUMCM 2009 B題眼科病床的合理安排：醫(yī)院就醫(yī)排隊是大家都非常熟悉的現象，它以這樣或那樣的形式出現在我們面前，例如，患者到門診就診、到收費處劃價、到藥房取藥、到注射室打針、等待住院等，往往需要排隊等待接受某種服務.考慮某醫(yī)院眼科病床的合理安排，建立數學模型解決該問題；又如CUMCM 2007 D題體能測試時間安排：根據學生人數和測試儀器數安排體能測試時間，使得學生等待時間最小。2 結論和建議

2.1 一些結論

通過以上幾個例題以及對中學數學建模和大學數學建模的分析，可以得到二者各自的特點：

中學數學建模問題或者建模競賽：

①問題背景涉及的知識領域的專業(yè)性比較基本、初級，問題在專業(yè)和數學上都已經做了較大的簡化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問題深入程度的層次少、擴展小，學生容易找到切入點.

③所用的數學知識或專業(yè)知識的層次符合中學生的知識結構水平和學習能力.

④問題的難度不大，遠低于大學生數學建模.

⑤數學模型或解決方案往往比較簡單、現成，對信息查詢能力的要求不很高，模型計算不太復雜.

⑥學生的考慮及其實現都需要切合數學建模的基本模式，較高的數據處理及數據分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強調的.

全國大學生數學建模問題或建模競賽

①問題背景取材比較廣闊，例如：

有當時社會或科學關注問題：CUMCM 1998B災情巡視路線、2002B彩票中的數學、2003A SARS的傳播、2004A奧運會臨時超市網點設計、2010B 2010年上海世博會影響力的定量評估；

有源于生物醫(yī)學環(huán)境類的：DNA序列分類、中國人口增長預測、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評價及療效的預測、眼科病床的合理安排、長江水質的評價和預測；還有源于交通運輸管理類的、源于經濟管理與社會事業(yè)類的、源于工程技術設計類的等.

②強調對問題的建模和求解，對模型或方案設計的質量、計算能力、建模仿真實現、模型及結果檢驗的要求比較高.

③開放性問題逐漸增多，不好入手.

④從數學建模解決問題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產生以上特點的原因可以總結如下：

第一，中學生和大學生起點不同.中學建模和大學建模是分別基于各自對應的數學以及其他知識基礎進行的.對數學知識的要求差異很大.大學生數學建模需要具有數學分析、數值分析、離散數學、運籌學以及常（偏）微分方程等高等數學知識，甚至在建模過程中還需要快速學習其他方面的知識；而對中學生則以初等數學知識為主，適合中學生的認知水平，在建模過程中一般不需要大量的知識補充；

第二，需要研究的問題不同.大學生數學建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對數學化的要求較高；而中學生數學建模的問題大多貼近中學生的生活實際，具有一定的實踐性和趣味性，學生較易入手；

第三，二者側重點不同.中學生數學建模更多的是滲透建模思想、樹立建模觀念，學會處理實際問題的思考方法和解決途徑；大學生數學建模則強調建立模型的實用性以及對問題實質性的分析和求解，對科學計算（計算機編程）的要求較高；

另外，一個客觀的原因，即二者組織形式不同.大學數學建模以課程形式走進學生，同時開展三級數學建模競賽（校內競賽、國家級競賽、國際競賽）引導學生參與.而中學數學建模競賽活動尚未普及，只是在一些地方開展過，因此只能從課堂教學和以教師為引導的實踐活動展開.

當然，同樣作為數學在實際問題中的應用，二者都是對實際問題分析簡化，基于數學知識，應用計算機進行科學計算，最終得出對實際問題的最優(yōu)解.而且二者在很多問題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個例題也證實了這一點。

2.2 幾點建議

中學數學教材中多處體現的數學模型的應用預示著數學模型思想在中學數學中越來越重要，同時引用的幾個例題不但說明了大學建模與中學建模的區(qū)別與聯系，還體現了中學教材中數學建模思想的廣泛應用.近年來，數學建模競賽作為全國開展的最為廣泛的學生科技活動，備受廣大師生關注，因此，這幾道例題也為平時的教育教學發(fā)出信號：

1.中學數學建模的教學以創(chuàng)新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高，重在參與.

2.數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來”為度.

3.廣大師生日常中應該注意以教材為藍本的知識挖掘，特別是對中學數學教材中出現的實際應用型問題深入分析，以課題學習或者探究活動形式開展數學建模.主動關注大學生數學建模競賽的動向，甚至大膽對大學生建模競賽題目做出改編，作為中學建模題目或者考試試題.

4.建模教學對高考應用問題應當有所涉及.鑒于當前中學數學教學的實際，保持一定比例的高考應用問題是必要的，這樣更有助于調動師生參與建模教學的積極性，保持建模教學的活動，促進中學數學建模教學的進一步發(fā)展。

參考文獻

[1] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模競賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模夏令營題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學數學建模指導委員會.數學建模簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實用數學建模與軟件應用[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2008.

中學數學建模問題或者建模競賽：

①問題背景涉及的知識領域的專業(yè)性比較基本、初級，問題在專業(yè)和數學上都已經做了較大的簡化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問題深入程度的層次少、擴展小，學生容易找到切入點.

③所用的數學知識或專業(yè)知識的層次符合中學生的知識結構水平和學習能力.

④問題的難度不大，遠低于大學生數學建模.

⑤數學模型或解決方案往往比較簡單、現成，對信息查詢能力的要求不很高，模型計算不太復雜.

⑥學生的考慮及其實現都需要切合數學建模的基本模式，較高的數據處理及數據分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強調的.

全國大學生數學建模問題或建模競賽

①問題背景取材比較廣闊，例如：

有當時社會或科學關注問題：CUMCM 1998B災情巡視路線、2002B彩票中的數學、2003A SARS的傳播、2004A奧運會臨時超市網點設計、2010B 2010年上海世博會影響力的定量評估；

有源于生物醫(yī)學環(huán)境類的：DNA序列分類、中國人口增長預測、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評價及療效的預測、眼科病床的合理安排、長江水質的評價和預測；還有源于交通運輸管理類的、源于經濟管理與社會事業(yè)類的、源于工程技術設計類的等.

②強調對問題的建模和求解，對模型或方案設計的質量、計算能力、建模仿真實現、模型及結果檢驗的要求比較高.

③開放性問題逐漸增多，不好入手.

④從數學建模解決問題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產生以上特點的原因可以總結如下：

第一，中學生和大學生起點不同.中學建模和大學建模是分別基于各自對應的數學以及其他知識基礎進行的.對數學知識的要求差異很大.大學生數學建模需要具有數學分析、數值分析、離散數學、運籌學以及常（偏）微分方程等高等數學知識，甚至在建模過程中還需要快速學習其他方面的知識；而對中學生則以初等數學知識為主，適合中學生的認知水平，在建模過程中一般不需要大量的知識補充；

第二，需要研究的問題不同.大學生數學建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對數學化的要求較高；而中學生數學建模的問題大多貼近中學生的生活實際，具有一定的實踐性和趣味性，學生較易入手；

第三，二者側重點不同.中學生數學建模更多的是滲透建模思想、樹立建模觀念，學會處理實際問題的思考方法和解決途徑；大學生數學建模則強調建立模型的實用性以及對問題實質性的分析和求解，對科學計算（計算機編程）的要求較高；

另外，一個客觀的原因，即二者組織形式不同.大學數學建模以課程形式走進學生，同時開展三級數學建模競賽（校內競賽、國家級競賽、國際競賽）引導學生參與.而中學數學建模競賽活動尚未普及，只是在一些地方開展過，因此只能從課堂教學和以教師為引導的實踐活動展開.

當然，同樣作為數學在實際問題中的應用，二者都是對實際問題分析簡化，基于數學知識，應用計算機進行科學計算，最終得出對實際問題的最優(yōu)解.而且二者在很多問題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個例題也證實了這一點。

2.2 幾點建議

中學數學教材中多處體現的數學模型的應用預示著數學模型思想在中學數學中越來越重要，同時引用的幾個例題不但說明了大學建模與中學建模的區(qū)別與聯系，還體現了中學教材中數學建模思想的廣泛應用.近年來，數學建模競賽作為全國開展的最為廣泛的學生科技活動，備受廣大師生關注，因此，這幾道例題也為平時的教育教學發(fā)出信號：

1.中學數學建模的教學以創(chuàng)新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高，重在參與.

2.數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來”為度.

3.廣大師生日常中應該注意以教材為藍本的知識挖掘，特別是對中學數學教材中出現的實際應用型問題深入分析，以課題學習或者探究活動形式開展數學建模.主動關注大學生數學建模競賽的動向，甚至大膽對大學生建模競賽題目做出改編，作為中學建模題目或者考試試題.

4.建模教學對高考應用問題應當有所涉及.鑒于當前中學數學教學的實際，保持一定比例的高考應用問題是必要的，這樣更有助于調動師生參與建模教學的積極性，保持建模教學的活動，促進中學數學建模教學的進一步發(fā)展。

參考文獻

[1] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模競賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模夏令營題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學數學建模指導委員會.數學建模簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實用數學建模與軟件應用[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2008.

中學數學建模問題或者建模競賽：

①問題背景涉及的知識領域的專業(yè)性比較基本、初級，問題在專業(yè)和數學上都已經做了較大的簡化和提煉.

②要解決的主題比較具體，比較單純，容易理解，子問題深入程度的層次少、擴展小，學生容易找到切入點.

③所用的數學知識或專業(yè)知識的層次符合中學生的知識結構水平和學習能力.

④問題的難度不大，遠低于大學生數學建模.

⑤數學模型或解決方案往往比較簡單、現成，對信息查詢能力的要求不很高，模型計算不太復雜.

⑥學生的考慮及其實現都需要切合數學建模的基本模式，較高的數據處理及數據分析的能力，而在建模的整體性、系統(tǒng)性方面的綜合分析思維能力是不強調的.

全國大學生數學建模問題或建模競賽

①問題背景取材比較廣闊，例如：

有當時社會或科學關注問題：CUMCM 1998B災情巡視路線、2002B彩票中的數學、2003A SARS的傳播、2004A奧運會臨時超市網點設計、2010B 2010年上海世博會影響力的定量評估；

有源于生物醫(yī)學環(huán)境類的：DNA序列分類、中國人口增長預測、血管的三維重建、SARS的傳播、艾滋病療法的評價及療效的預測、眼科病床的合理安排、長江水質的評價和預測；還有源于交通運輸管理類的、源于經濟管理與社會事業(yè)類的、源于工程技術設計類的等.

②強調對問題的建模和求解，對模型或方案設計的質量、計算能力、建模仿真實現、模型及結果檢驗的要求比較高.

③開放性問題逐漸增多，不好入手.

④從數學建模解決問題的思維層次角度看，在深度和廣度上都有一定的要求.

產生以上特點的原因可以總結如下：

第一，中學生和大學生起點不同.中學建模和大學建模是分別基于各自對應的數學以及其他知識基礎進行的.對數學知識的要求差異很大.大學生數學建模需要具有數學分析、數值分析、離散數學、運籌學以及常（偏）微分方程等高等數學知識，甚至在建模過程中還需要快速學習其他方面的知識；而對中學生則以初等數學知識為主，適合中學生的認知水平，在建模過程中一般不需要大量的知識補充；

第二，需要研究的問題不同.大學生數學建模涉及的范圍較為廣泛，其表述形式較為隱晦，對數學化的要求較高；而中學生數學建模的問題大多貼近中學生的生活實際，具有一定的實踐性和趣味性，學生較易入手；

第三，二者側重點不同.中學生數學建模更多的是滲透建模思想、樹立建模觀念，學會處理實際問題的思考方法和解決途徑；大學生數學建模則強調建立模型的實用性以及對問題實質性的分析和求解，對科學計算（計算機編程）的要求較高；

另外，一個客觀的原因，即二者組織形式不同.大學數學建模以課程形式走進學生，同時開展三級數學建模競賽（校內競賽、國家級競賽、國際競賽）引導學生參與.而中學數學建模競賽活動尚未普及，只是在一些地方開展過，因此只能從課堂教學和以教師為引導的實踐活動展開.

當然，同樣作為數學在實際問題中的應用，二者都是對實際問題分析簡化，基于數學知識，應用計算機進行科學計算，最終得出對實際問題的最優(yōu)解.而且二者在很多問題上可以建立姊妹題的形式，上述幾個例題也證實了這一點。

2.2 幾點建議

中學數學教材中多處體現的數學模型的應用預示著數學模型思想在中學數學中越來越重要，同時引用的幾個例題不但說明了大學建模與中學建模的區(qū)別與聯系，還體現了中學教材中數學建模思想的廣泛應用.近年來，數學建模競賽作為全國開展的最為廣泛的學生科技活動，備受廣大師生關注，因此，這幾道例題也為平時的教育教學發(fā)出信號：

1.中學數學建模的教學以創(chuàng)新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高，重在參與.

2.數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳可以把果子摘下來”為度.

3.廣大師生日常中應該注意以教材為藍本的知識挖掘，特別是對中學數學教材中出現的實際應用型問題深入分析，以課題學習或者探究活動形式開展數學建模.主動關注大學生數學建模競賽的動向，甚至大膽對大學生建模競賽題目做出改編，作為中學建模題目或者考試試題.

4.建模教學對高考應用問題應當有所涉及.鑒于當前中學數學教學的實際，保持一定比例的高考應用問題是必要的，這樣更有助于調動師生參與建模教學的積極性，保持建模教學的活動，促進中學數學建模教學的進一步發(fā)展。

參考文獻

[1] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模競賽題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/block/8579f5fce999cdc896f78bca5d4f8237.html.2012.8.8.

[2] 教育部高等教育司.全國大學生數學建模夏令營題目[OL].http：//www.mcm.edu.cn/html_cnnodecc3aa1fc07fe689c77198eaba613678d.html.2012.8.8.

[3] 西北工業(yè)大學數學建模指導委員會.數學建模簡明教程[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] 肖華勇.實用數學建模與軟件應用[M].西安：西北工業(yè)大學出版社，2008.