思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平以及思維活動的深度.思維的深刻性集中的表現(xiàn)為能深刻地理解概念，在思維過程中有較高的邏輯水平，能預見事物的發(fā)展過程.思維的深刻性是一切思維品質(zhì)的基礎，是數(shù)學思維品質(zhì)的重要內(nèi)容.

在傳統(tǒng)的教學中，比較重視思考問題、解決問題這兩個中間環(huán)節(jié)，這對培養(yǎng)思維品質(zhì)來說是不夠全面的，長此以往，會導致思維的膚淺性.因此數(shù)學教學中，除了傳授知識和方法外，培養(yǎng)學生的思維能力和思維品質(zhì)是不可忽視的重要內(nèi)容.本文就思維深刻性的培養(yǎng)途徑作一些粗淺的探討。1 在概念的形成過程中培養(yǎng)思維的深刻性

概念是理性認識的一種最基本形式，正確地認識概念是一切科學思維的基礎.概念本身的形成反映人們對現(xiàn)實世界豐富而深刻的認識，因此應讓學生親自經(jīng)歷由具體到抽象，概括出事物本質(zhì)屬性的過程，從而提高思維的抽象水平.

例如，在講解“二面角”這一節(jié)時，教師可先不直接給學生講二面角的平面角的定義，而是讓學生參與這一概念形成的過程.首先復習平面幾何中角的概念，通過類比引出二面角的概念，并用二面角實物的張合，讓學生從直觀上體會二面角的大小.然后向?qū)W生提出：如何度量二面角的大小？接著利用二面角的模型和可活動的角的模型，通過演示讓學生看到：在不規(guī)定度量方法的情況下，二面角的大小就無法確定.這時引導學生討論：如何規(guī)定一個簡明且便于應用的量法，使二面角的大小能完全確定下來？經(jīng)過醞釀討論，學生可以想出：在二面角α—a—β的棱a上任取一點O，在平面α和β內(nèi)分別引垂直于棱a的兩條射線OA、OB，用∠AOB來度量二面角的大小.接著再引導學生討論：O點是棱上任意一點行嗎？∠AOB能唯一確定嗎？于是學生轉(zhuǎn)向證明∠AOB與O點在棱上的位置無關.這樣就自然而然地引入“二面角的平面角”的定義。2 在深化概念教學中培養(yǎng)思維的深刻性

在深化數(shù)學概念教學時，引導學生善于抓住概念的本質(zhì)深入地思考，深刻地理解概念.在揭示概念的內(nèi)涵與外延的過程中，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，進行深刻思考，從而達到培養(yǎng)思維深刻性的目的.

例如，在雙曲線概念的教學中，當?shù)贸鲭p曲線定義：“平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線”以后，再通過實驗演示，作如下引伸：

（1）將“小于|F1F2|”換為“等于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？通過演示后，發(fā)現(xiàn)點的軌跡不是雙曲線，而是分別以F1、F2為端點的兩條射線.

（2）將“小于|F1F2|”換為“大于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？通過演示后，發(fā)現(xiàn)點的軌跡不存在.

（3）將絕對值去掉，其余不變，點的軌跡是什么？通過演示后，發(fā)現(xiàn)點的軌跡只有一支，即左支或右支.

（4）若令常數(shù)等于零，其余不變，點的軌跡又是什么？通過演示，學生也不難得出點的軌跡是線段|F1F2|的中垂線.這樣使學生認識了常數(shù)應大于零.

（5）將“小于|F1F2|”去掉，其余不變，應如何討論點的軌跡？通過以上分析的結果，共分三類：即小于|F1F2|，大于|F1F2|，等于|F1F2|分別討論.通過上述幾個問題的引申，使學生對雙曲線定義中的“絕對值”，“常數(shù)小于|F1F2|”有了較深刻的認識和理解，從而培養(yǎng)了思維的深刻性。3 在變式教學中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學復習中，教師要引導學生在夯實“雙基”的前提下，從范例出發(fā)適當進行變式教學，多方位探討，深入鉆研，使學生的思維得到進一步發(fā)展.圖1例1 如圖1，三棱錐D—ABC中，二面角B—AD—C是直二面角，DB⊥底面ABC，求證：△ABC是直角三角形.

學生解出后，引導學生進行以下思考：

（1）求證：二面角B—AD—C為直二面角的主要條件是點A在以BC為直徑的圓上（除去點B，C）.

（2）由點C引出三條射線CA、CB、CD，CA、CB確定平面α，CB、CD確定平面β，且α⊥β，若作平面ABD⊥CA，則△ABC的形狀是；作平面ABD⊥CD，則△ABD的形狀是；將以上事實歸納成命題，并給出證明.

（3）在圖1中，點A在以BC為直徑的圓O上，DB⊥平面ABC，BE⊥AD，BF⊥CD.E、F分別為垂足.①求證：AD⊥平面BEF.

②若∠ABC=∠DCB=45°，求二面角A—CD—B的大小.③若DB=BC=2，∠ADC=θ，求當θ為何值時，S△BEF最大？最大值是多少？④若∠ABC=α，二面角A—DC—B為β，∠BCD=30°，點A位于何處時三棱錐D—ABC體積最大？

通過例1，引出思考（1），旨在訓練學生的逆向思維；引出思考（2），引導學生通過分析各種情況，認識事物本質(zhì)，從而深入地研究問題；引出思考（3），既復習了較多的立幾知識，又開拓了學生的思路，從而培養(yǎng)思維的深刻性。4 在思維評價過程中培養(yǎng)思維的深刻性

思維評價活動是思維活動達到一定的廣度、深度時的一種思維活動.通過解題過程中的思維評價活動，能預見解題過程的進程，明確每種思維方式各自存在的思維障礙及思維轉(zhuǎn)換方法，取得解題的主動權，優(yōu)化解題方法.解題過程中開展思維評價活動，同樣也有助于思維深刻性的培養(yǎng).

例2 如圖2，設∠MOx=∠NOy=π3，A、B分別是OM、ON上的動點，且滿足|AB|=4，設Q為AB上一點，且有BQ∶QA=3∶1，試求點Q到x軸距離的最大值和最小值.

圖2本題即求Q點縱坐標的最值，基本思路是建立目標函數(shù)，然后求最值.利用定比分點公式建立目標函數(shù)時需用A、B點的坐標，對于這兩點的坐標可以設AB的直線方程，通過解方程組得到，也可以直接用參數(shù)表示.及時進行思維評價，使我們選擇后者.在用參數(shù)表示A、B坐標時，既可以用A、B點的橫坐標作參數(shù)，也可以用|OA|、|OB|的值作參數(shù)，顯然用|OA|、|OB|的值作參數(shù)和題意聯(lián)系更直接.因此

設|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時，可以沿下列方向進行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關于a、b的二元函數(shù)，設法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標函數(shù)改寫成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時，截距3y最大，過（0，4）點時，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習題，定長線段上的定點，當線段兩端在直角邊上滑動是，定點軌跡是橢圓.因此Q點的軌跡是以O為中心、長短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習題結論的基礎上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時評價每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過程又有利于加深對有關數(shù)學知識和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學命題中，有很多命題的數(shù)量關系與空間形式都隱藏在已知條件和結論中，往往需要對問題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域為正實數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細觀察和分析已知條件，就會發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學課本中，有不少例題、習題往往是某一問題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學中，積極引導學生廣泛聯(lián)想，對這些特例作適當引伸、探索，揭示問題的一般規(guī)律，總結一般方法.使學生養(yǎng)成解題后再思考的習慣，逐步增強由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項式定理時，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開式講起，讓學生體會到隨著n的增加，（x+a）n的展開式將越來越復雜，

因此有必要研究展開式的規(guī)律性，繼而引導學生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開式的規(guī)律.又如，有一道競賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導學生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進而解決“將任意一個正整數(shù)n分解為若干個正整數(shù)的和，使其積最大”的問題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學教學的一項重要任務，必須落實到教學的各個環(huán)節(jié)中，長期堅持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機地結合起來，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡介 盧學謙，男，1966年8月生，中學高級教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀優(yōu)秀青年科技人才稱號； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號； 2013年10月被中國數(shù)學會授予全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽優(yōu)秀教練員稱號；2014年被評為全國優(yōu)秀教師.

設|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時，可以沿下列方向進行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關于a、b的二元函數(shù)，設法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標函數(shù)改寫成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時，截距3y最大，過（0，4）點時，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習題，定長線段上的定點，當線段兩端在直角邊上滑動是，定點軌跡是橢圓.因此Q點的軌跡是以O為中心、長短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習題結論的基礎上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時評價每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過程又有利于加深對有關數(shù)學知識和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學命題中，有很多命題的數(shù)量關系與空間形式都隱藏在已知條件和結論中，往往需要對問題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域為正實數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細觀察和分析已知條件，就會發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學課本中，有不少例題、習題往往是某一問題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學中，積極引導學生廣泛聯(lián)想，對這些特例作適當引伸、探索，揭示問題的一般規(guī)律，總結一般方法.使學生養(yǎng)成解題后再思考的習慣，逐步增強由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項式定理時，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開式講起，讓學生體會到隨著n的增加，（x+a）n的展開式將越來越復雜，

因此有必要研究展開式的規(guī)律性，繼而引導學生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開式的規(guī)律.又如，有一道競賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導學生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進而解決“將任意一個正整數(shù)n分解為若干個正整數(shù)的和，使其積最大”的問題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學教學的一項重要任務，必須落實到教學的各個環(huán)節(jié)中，長期堅持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機地結合起來，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡介 盧學謙，男，1966年8月生，中學高級教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀優(yōu)秀青年科技人才稱號； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號； 2013年10月被中國數(shù)學會授予全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽優(yōu)秀教練員稱號；2014年被評為全國優(yōu)秀教師.

設|OA|=a，|OB|=b，a，b∈[0，4]

則A、B的坐標分別為（a2，3a2），（-3b2，b2）且有a2+b2=16，

由定比分點公式得yQ=18（b+33a）.

在求yQ最值時，可以沿下列方向進行聯(lián)想：

聯(lián)想1 yQ是關于a、b的二元函數(shù)，設法轉(zhuǎn)化成一元函數(shù).根據(jù)a、b之間的關系依靠三角代換解決.

令a=4cosθ，b=4sinθ，θ∈[0，π2]，

所以yQ=12（sinθ+33cosθ）=7sin（θ+φ），

其中cosφ=127，sinφ=3327，由φ≤θ+φ≤π2+φ，解得12≤yQ≤7.

聯(lián)想2 a2+b2=16，a，b∈[0，4]，在aOb坐標平面內(nèi)表示四分之一圓周，將目標函數(shù)改寫成b=-33a+3y，則表示斜率為-33的平行直線系.那么問題轉(zhuǎn)化為求與14圓周有公共點的直線系中在b軸上截距的最值，顯然相切時，截距3y最大，過（0，4）點時，3y最小，產(chǎn)生了本題的幾何解法.

聯(lián)想3 聯(lián)想到熟知的習題，定長線段上的定點，當線段兩端在直角邊上滑動是，定點軌跡是橢圓.因此Q點的軌跡是以O為中心、長短軸分別在OM、ON上的橢圓（夾在直角MON內(nèi)的部分）.所以短軸端點C到x軸距離最小，平行于x軸的切線的切點T到x軸距離最大，由此產(chǎn)生第三種解法.

聯(lián)想4 視yQ=18（b+33a），a2+b2=16，為關于a、b的方程，消去b得7a2-123ya+16y2-4=0，a∈[0，4].

聯(lián)想一元二次方程在指定區(qū)間上有解的條件又得一種解法.

上述幾種聯(lián)想引出的解法中，解法1是化二元函數(shù)為一元函數(shù)的常用方法，有一般指導意義.解法2充分利用條件的幾何意義，通過數(shù)形轉(zhuǎn)化，得到一種直觀、簡潔的解法.解法3是建立在聯(lián)想已有習題結論的基礎上，雖然直觀，但缺乏普遍性.解法4也是求條件最值中的常用方法，由于受a∈[0，4]的制約，因此不是簡單的使用“Δ法”，在這里顯得比其它解法困難.充分展開聯(lián)想，才能拓寬解題思路.及時評價每種聯(lián)想引出的方法，既能優(yōu)化解題過程又有利于加深對有關數(shù)學知識和方法的理解，使思維能力向更高層次發(fā)展。5 在對命題隱含條件的發(fā)掘和揭示中培養(yǎng)思維的深刻性

在數(shù)學命題中，有很多命題的數(shù)量關系與空間形式都隱藏在已知條件和結論中，往往需要對問題的深入分析和深刻理解才能發(fā)現(xiàn)，因此，對隱含條件的發(fā)掘同樣也是培養(yǎng)學生思維深刻性的一種手段.

例3 已知定義域為正實數(shù)集的函數(shù)f（x）為遞減函數(shù)，且滿足（1）f（12）=1.（2）f（xy）=f（x）+f（y）.求不等式f（-x）+f（3-x）≥-2的解集.仔細觀察和分析已知條件，就會發(fā)現(xiàn)隱含條件f（1）=0和f（x）=-f（1x），由隱含條件得出f（4）=-f（14）=-[f（12）+f（12）]=-2，再根據(jù)定義域的隱含條件-x>0，且3-x>0，就能很快得出解集{x|-1≤x<0}。

6 在歸納問題的一般規(guī)律中培養(yǎng)思維的深刻性

中學課本中，有不少例題、習題往往是某一問題的特例，這就為培養(yǎng)思維深刻性提供了方便，因此教學中，積極引導學生廣泛聯(lián)想，對這些特例作適當引伸、探索，揭示問題的一般規(guī)律，總結一般方法.使學生養(yǎng)成解題后再思考的習慣，逐步增強由特殊到一般的抽象概括能力，從而培養(yǎng)思維的深刻性.

例如，在講二項式定理時，可以從（x+a）2，（x+a）3，（x+a）4的展開式講起，讓學生體會到隨著n的增加，（x+a）n的展開式將越來越復雜，

因此有必要研究展開式的規(guī)律性，繼而引導學生從特殊到一般，由具體到抽象，自己探索發(fā)現(xiàn)（x+a）n的展開式的規(guī)律.又如，有一道競賽題：“將正整數(shù)19分解成若干個正整數(shù)的和，使這些正整數(shù)的積最大”，做完這道題后，引導學生由特殊到一般，分析研究分解的規(guī)律，進而解決“將任意一個正整數(shù)n分解為若干個正整數(shù)的和，使其積最大”的問題.

培養(yǎng)思維的深刻性是數(shù)學教學的一項重要任務，必須落實到教學的各個環(huán)節(jié)中，長期堅持，積極探索.思維深刻性的培養(yǎng)還必須和其它思維品質(zhì)的培養(yǎng)有機地結合起來，才能形成良好的思維品質(zhì).

作者簡介 盧學謙，男，1966年8月生，中學高級教師.1998年12月被泰安市委市政府授予泰安市跨世紀優(yōu)秀青年科技人才稱號； 2008年6月被泰安市委授予“泰安市優(yōu)秀共產(chǎn)黨員”稱號； 2013年10月被中國數(shù)學會授予全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽優(yōu)秀教練員稱號；2014年被評為全國優(yōu)秀教師.