劉加霞

【編者按】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的基石。在部分教師的眼中，概念教學(xué)不過是一種機械的教授與訓(xùn)練的結(jié)合體。而實際上，較為妥帖的認(rèn)識是，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)融入學(xué)生的探索活動，應(yīng)從探索活動開始，然后形成語言，最后提升為數(shù)學(xué)概念。學(xué)生應(yīng)像數(shù)學(xué)家一樣“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)概念?！敖虒W(xué)平臺”從第11期開始，分兩期與讀者共同探討“簡約而不簡單的概念教學(xué)”。

理解并掌握數(shù)學(xué)概念的核心是把握概念實質(zhì)，而不僅僅掌握概念形式的、描述的定義。就如學(xué)生會說“物體所占空間的大小叫物體的體積”不等于學(xué)生理解“體積”這個概念，教師把握數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)非常重要。小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的概念類型、層次各不相同，籠統(tǒng)地論述“數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)”既論述不清也沒有意義，一個重要方法是按照概念的類型分別論述某些數(shù)學(xué)概念的實質(zhì)。自然數(shù)是小學(xué)階段的一個重要內(nèi)容，在小學(xué)階段沒有哪本教材給出“什么是自然數(shù)”的定義（一般地，大多數(shù)教材在四年級會給出這樣的描述來揭示其內(nèi)涵：表示物體個數(shù)的1、2、3、4、5、6等都是自然數(shù)。一個物體也沒有用0表示，0也是自然數(shù)。所有的自然數(shù)都是整數(shù)）。但作為教師必須更進一步、較為系統(tǒng)地了解自然數(shù)的內(nèi)涵與實質(zhì)，本文以自然數(shù)為例展開。

一、 自然數(shù)的現(xiàn)實意義

自然數(shù)概念的內(nèi)涵是豐富的，弗賴登塔爾提出——數(shù)的概念的形成可以粗略地分成以下幾種：計數(shù)的數(shù)、數(shù)量的數(shù)、度量的數(shù)以及計算的數(shù)；而對于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而言，“計數(shù)的數(shù)”（序數(shù)）意義更大，他認(rèn)為無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)發(fā)展的基石。在此基礎(chǔ)上，我們可以進一步細(xì)化、深入地認(rèn)識每一個自然數(shù)的實質(zhì)與意義。

首先看自然數(shù)的現(xiàn)實意義。每一個自然數(shù)的現(xiàn)實意義都極為豐富，其最基本的意義有兩個——基數(shù)與序數(shù)。例如自然數(shù)5，既可以表示某個集合的元素個數(shù)，（即自然數(shù)的數(shù)量數(shù)含義），也可以表示物體的位置和順序（即自然數(shù)的序數(shù)含義）。

在小學(xué)的低、中階段自然數(shù)的這兩方面（基數(shù)與序數(shù)）的教學(xué)價值非常大，但在教學(xué)實踐中往往忽視了“序數(shù)”教學(xué)的價值，僅僅停留在“第幾”的層面上，缺少對數(shù)學(xué)本身意義的挖掘，就如學(xué)生對“計數(shù)的數(shù)”的理解是“探索規(guī)律”教學(xué)的基石。

進一步拓展，我們可以知道自然數(shù)還有以下含義：1. 度量數(shù)。從某種意義上說，數(shù)量數(shù)是度量數(shù)的特例，度量數(shù)是數(shù)量數(shù)的擴充。數(shù)量數(shù)刻畫的是離散量（集合的元素）的個數(shù)多少，度量數(shù)刻畫的是連續(xù)量的大小問題，由于連續(xù)量是可以無限分割的量，因此為了更準(zhǔn)確地測量出某個量到底有多大，就需要產(chǎn)生更小的測量單位，如果以最小的測量單位（或者同時用多個測量單位表示）作測量結(jié)果的單位，用自然數(shù)表示就足夠了，但表達(dá)和交流時會非常麻煩，為了更恰當(dāng)?shù)乇硎緶y量結(jié)果，就必須產(chǎn)生新的數(shù)——分?jǐn)?shù)（但現(xiàn)實生活中表示量的大小通常用有限小數(shù)來表示，便于直觀感知量的大小，便于溝通交流，這是由現(xiàn)行的十進制計數(shù)系統(tǒng)導(dǎo)致的），這是從自然數(shù)擴充到有理數(shù)的重要現(xiàn)實動力。另外，為了使自然數(shù)的減法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴充到整數(shù)集，為使自然數(shù)的除法滿足封閉性，就必須將自然數(shù)集擴充到有理數(shù)集，滿足運算的封閉性也是數(shù)域擴充的重要數(shù)學(xué)動力。2. 比率數(shù)。自然數(shù)還可以表示兩個量（數(shù)）之間的比率關(guān)系。3. 計算的對象或結(jié)果。任何一個自然數(shù)都可以是計算的對象或計算的結(jié)果。4.數(shù)軸上的“點”。每一個自然數(shù)（每一個實數(shù)）都與數(shù)軸上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。5. 用做編碼的符號。任何一個自然數(shù)都可以用來編碼。6.特別地還要強調(diào)“0”有以下幾點意義——“0”是一個概念，它表示“一個也沒有”；在位值制記數(shù)法中，“0”表示“空位（計數(shù)單位的個數(shù)是0個）”，起到占位作用；“0”是一個數(shù)，可以同其他數(shù)參與運算；“0”是標(biāo)度的起點或分界。

二、自然數(shù)的數(shù)學(xué)意義

自然數(shù)除了上述現(xiàn)實意義外，還有其數(shù)學(xué)意義，數(shù)學(xué)意義就是從其作為一個“數(shù)”本身的角度看“數(shù)”的內(nèi)涵，任何一個數(shù)都是 “計數(shù)單位與其個數(shù)乘積的累加就得到的”?！坝嫈?shù)單位”及其“個數(shù)”是構(gòu)成數(shù)的核心要素，真正認(rèn)識一個數(shù)必然要認(rèn)識這個數(shù)所涉及的計數(shù)單位，在小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”都分兩次學(xué)習(xí)，第一次學(xué)習(xí)僅是“初步認(rèn)識”，第二次學(xué)習(xí)才是“意義”層次的學(xué)習(xí)。

由于自然數(shù)是用“十進位值制記數(shù)法”記錄的，所以計數(shù)單位是“1、10、100……”不同計數(shù)單位與其個數(shù)的累加就構(gòu)成了全部的自然數(shù)（某個計數(shù)單位的個數(shù)為“0”時，也要寫出“0”，即0的“占位”作用），例如，2034=2×1000+0×100+3×10+4×1，或者寫成2034=2000+30+4，即自然數(shù)的拓展式。小數(shù)也是“十進位值制”的，增加小數(shù)的計數(shù)單位“01、001、0001……”后，其累加的過程與自然數(shù)的過程基本相同，只不過有“有限次累加”與“無限次累加”兩類，有限次累加就得到“有限小數(shù)”，無限次累加又分為兩種情形，其一是，不同計數(shù)單位的“個數(shù)”是有規(guī)律地出現(xiàn)的，如果計數(shù)單位的個數(shù)的情況復(fù)雜，沒有規(guī)律，則無限次累加的結(jié)果是“無限不循環(huán)小數(shù)”，即無理數(shù)。

同樣，分?jǐn)?shù)也可以看成是“分?jǐn)?shù)單位的累加”，這不僅延續(xù)了自然數(shù)的認(rèn)識，又為進一步理解分?jǐn)?shù)的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)的加減運算打下了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。從這個角度來認(rèn)識分?jǐn)?shù)就使學(xué)生能夠真正理解為什么同分母分?jǐn)?shù)加減只需要“分子相加減而分母不變”，而異分母分?jǐn)?shù)加減法則必須“先通分，然后再分子相加減，分母不變”，從而進一步理解“加減法計算的本質(zhì)就是相同計數(shù)單位‘個數(shù)相加減”，“通分的本質(zhì)就是尋找兩個分?jǐn)?shù)的相同計數(shù)（分?jǐn)?shù)）單位”，這也是分?jǐn)?shù)的通分、約分和擴分（尋找等值分?jǐn)?shù)）的理論依據(jù)。

最后簡要回答“0”為什么是自然數(shù)？“0”是自然數(shù)的意義是什么？實際上很難回答“0為什么又是自然數(shù)”，簡單可以說是“規(guī)定”的，是修正后的皮亞諾自然數(shù)公理中規(guī)定的，皮亞諾自然數(shù)公理規(guī)定“1”是第一個數(shù)，修正后規(guī)定“0”是第一個數(shù)。而規(guī)定“0”是自然數(shù)則意義重大。例如，用“0”來描述“空集”所含元素的個數(shù)，那么所有的自然數(shù)（包括0）就能完整刻畫“有限集合元素的個數(shù)”問題；0作為自然數(shù)集合的第一個數(shù)，每個數(shù)的后面都緊跟著一個確定的數(shù)，可以把所有的自然數(shù)一個緊跟一個地排成一列數(shù)，既不重復(fù)也不遺漏等。

三、自然數(shù)蘊含的數(shù)學(xué)思想：十進制與位值制

為了表示出一個“自然數(shù)”，在歷史上曾經(jīng)出現(xiàn)過五進制、十進制、二十進制、六十進制，但最多的是以10為數(shù)基的十進制。

古埃及記數(shù)法中有“十進制”卻沒有“位值制”的思想，如果需要記錄更大的數(shù)就必須產(chǎn)生表示更大單位的“新符號”，但有位值制思想后，則用有限個“符號”就能表示出無限的數(shù)，例如在“十進制”前提下只需要10個符號就能表示出所有的自然數(shù)。

但十進位記數(shù)法，離十進位值制計數(shù)法還有關(guān)鍵的一步要走，即“位置值制（簡稱‘位值制）”。所謂“位值制”，是指相同的記數(shù)符號由于所處的位置的不同而可以表示大小不同的數(shù)目。由于有了位值制，就可以用有限的幾個數(shù)字表示出無限多個自然數(shù)，這是記數(shù)歷史上的一個奇跡。

用十進位值制記數(shù)法來表示數(shù)意義巨大，一是便于比較兩個自然數(shù)的大小，自然數(shù)大小比較時首先看自然數(shù)的位數(shù)，位數(shù)越多則這個數(shù)越大。二是更便于數(shù)的計算，例如所有的加減法做的不外乎都是“20以內(nèi)的加減法”，只不過“計數(shù)單位”不同，乘除法做的則都是“表內(nèi)乘除法”。

四、無限集合的個數(shù)問題

學(xué)習(xí)自然數(shù)除了前面所論述的現(xiàn)實意義、數(shù)學(xué)意義以及所蘊含的十進制、位值制思想外，還有一個重要問題即自然數(shù)集合的元素個數(shù)問題，這個問題推動了近代集合論的發(fā)展。

對于無限集合，部分可以和全體相等，核心是建立兩個集合元素之間的“一一對應(yīng)”關(guān)系，如果兩個集合之間的元素能夠建立“一一對應(yīng)”關(guān)系，則這兩個集合元素的個數(shù)是相等的。因此伽利略的困惑就不難解決：從自然數(shù)集合中抽出完全平方數(shù)組成集合，當(dāng)集合為有限集時，自然數(shù)集中元素的個數(shù)多于完全平方數(shù)集合中元素的個數(shù)；當(dāng)集合元素為無限時，兩個集合元素個數(shù)一樣多只需要建立兩個集合元素之間的一一對應(yīng)關(guān)系。

在小學(xué)階段我們可以讓學(xué)生直觀地感受到“真分?jǐn)?shù)的個數(shù)與假分?jǐn)?shù)的個數(shù)也一樣多”，但不能用數(shù)軸上的點來表示分?jǐn)?shù)，如果用數(shù)軸上的點表示分?jǐn)?shù)會錯誤地認(rèn)為“假分?jǐn)?shù)的個數(shù)多于真分?jǐn)?shù)的個數(shù)”。為了讓學(xué)生直觀地感受真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的“一一對應(yīng)”需要將全部分?jǐn)?shù)在“平面”上一個一個地列出來，即構(gòu)造出“分?jǐn)?shù)表”，列表的規(guī)則是：從下向上數(shù)第一行中每個分?jǐn)?shù)的分子是1，分母分別是1、2、3、4……第二行中每個分?jǐn)?shù)的分子是2，分母分別是1、2、3、4……第三行中每個分?jǐn)?shù)的分子是3，分母分別是1、2、3、4……以此類推就構(gòu)造出分?jǐn)?shù)表，在這個分?jǐn)?shù)表中能直觀地感受到有一個真分?jǐn)?shù)就一定有一個假分?jǐn)?shù)與之對應(yīng)，由此可以讓學(xué)生初步感受無限集合的神秘之美。

（作者單位：北京教育學(xué)院）