秦笑春 周 權(quán)

（南京市第一中學(xué)，江蘇 南京 210001）

本刊于2009年曾刊出《“線速度”究竟應(yīng)該怎樣定義？》一文.［1］文中指出了人教版教科書中“線速度”定義存在的問(wèn)題，給出了作者認(rèn)為正確的“線速度”的定義方式.［2］然而，自該文刊出后的第2年，再版的人教版教科書中“線速度”概念的定義依然沒(méi)有修改，筆者以為編者沒(méi)有做相應(yīng)的修改一定有著發(fā)人深思的原因.［3］其實(shí)人教版教科書“圓周運(yùn)動(dòng)”一節(jié)中線速度的定義方式，一直困擾著許多教師.很多教師也認(rèn)為教科書中線速度的定義是不合理的，體現(xiàn)不了線速度的矢量性.筆者認(rèn)為許多教師對(duì)自然坐標(biāo)系不夠熟悉，是誤以為教科書出錯(cuò)的原因.

1 教科書中關(guān)于線速度概念的定義

人教版教科書對(duì)“線速度”的定義如下：

圓周運(yùn)動(dòng)的快慢可以用物體通過(guò)的弧長(zhǎng)與所用時(shí)間的比值來(lái)量度.如圖1所示，物體沿圓弧由M向N移動(dòng)，某時(shí)刻t經(jīng)過(guò)A點(diǎn).為了描述物體經(jīng)過(guò)A點(diǎn)附近時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢，可以取一段很短的時(shí)間Δt，物體在這段時(shí)間內(nèi)由A運(yùn)動(dòng)到B，通過(guò)的弧長(zhǎng)為Δs.比值反映了物體運(yùn)動(dòng)的快慢，叫做線速度，用v表示，即

圖1

線速度也有平均值和瞬時(shí)值之分.如果所取的時(shí)間間隔很小很小，這樣得到的就是瞬時(shí)線速度.

乍看上去，教科書對(duì)“線速度”的定義確實(shí)讓人困惑.Δs和Δt都是標(biāo)量，按書中的定義得到的線速度應(yīng)該是標(biāo)量，但教科書在后面又提到“線速度是矢量”，如此一來(lái)教科書有自相矛盾之嫌.要搞清這個(gè)問(wèn)題，我們要先來(lái)了解坐標(biāo)系的選取對(duì)問(wèn)題研究難易程度的影響.

圖2

2 直角坐標(biāo)系對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的描述

坐標(biāo)系的選取是任意的，選取不同的坐標(biāo)系對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述是等價(jià)的.但選取的坐標(biāo)系不同會(huì)對(duì)問(wèn)題研究的難易程度有很大的影響，因此建立的坐標(biāo)系要能方便研究問(wèn)題.下面先在直角坐標(biāo)系下對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述.

如圖2所示，直角坐標(biāo)系中圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫成

3 自然坐標(biāo)系對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的描述

圖3

若運(yùn)動(dòng)軌跡f（x，y）＝0是已知的，也可以采用自然坐標(biāo)來(lái)研究質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).如圖3所示，在軌跡上取一點(diǎn)O為原點(diǎn)，用由原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)位置的弧長(zhǎng)s作為質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，稱為自然坐標(biāo).自然坐標(biāo)s不同于一般說(shuō)明長(zhǎng)度的弧長(zhǎng).根據(jù)原點(diǎn)及正方向的規(guī)定，s可正可負(fù)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以用s＝s（t）來(lái)描述.［4］在自然坐標(biāo)下研究曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度 ＝只有切向分量，而沒(méi)有法向分量，因而對(duì)速度方向的表述相對(duì)簡(jiǎn)單，往往無(wú)需再對(duì)速度方向做特殊說(shuō)明.下面我們采用自然坐標(biāo)系對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述.

如圖4所示，自然坐標(biāo)系中圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以寫成s＝s（t）＝Rθ（t）.

圖4

加速度

對(duì)比直角坐標(biāo)和自然坐標(biāo)對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)的描述，顯然自然坐標(biāo)系要簡(jiǎn)單得多，所以往往在自然坐標(biāo)系下對(duì)圓周運(yùn)動(dòng)及其他曲線運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究.

4 “線速度”教學(xué)建議

再來(lái)回頭看教科書中對(duì)線速度的定義，就不難發(fā)現(xiàn)教科書正是在自然坐標(biāo)系下對(duì)線速度進(jìn)行定義的.但是由于高中學(xué)生不知道自然坐標(biāo)系，所以“比值反映了物體運(yùn)動(dòng)的快慢，叫做線速度”這樣的表述學(xué)生肯定不能理解.甚至一旦學(xué)生從速度是矢量的角度深究起來(lái)，教師將難以解釋.對(duì)此，筆者建議實(shí)施以下教學(xué).

師：現(xiàn)在老師用手搖自行車腳蹬，如果1s鐘轉(zhuǎn)1圈，后輪上某點(diǎn)平均速度是多少？如果2s鐘轉(zhuǎn)1圈，平均速度又是多少？

生：均為0.

師：很顯然前面所學(xué)的平均速度不能反映做圓周運(yùn)動(dòng)物體的快慢.那如何描述物體在圓弧上運(yùn)動(dòng)的快慢呢？手搖自行車腳蹬時(shí)，自行車上的小齒輪和后輪上的質(zhì)點(diǎn)都在做圓周運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)同學(xué)們討論小齒輪和后輪上的點(diǎn)誰(shuí)運(yùn)動(dòng)得快？

生：通過(guò)討論，得出：① 比較單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng).② 比較轉(zhuǎn)過(guò)1圈所用的時(shí)間.③ 比較單位時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)和圓心連線轉(zhuǎn)過(guò)的夾角.④ 比較1s鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù).

師：圓周運(yùn)動(dòng)的快慢可以用物體通過(guò)的弧長(zhǎng)與所用時(shí)間的比值來(lái)量度.單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的弧長(zhǎng)正是我們前面所學(xué)過(guò)的平均速率.如果物體沿著圓弧由M運(yùn)動(dòng)到N 點(diǎn)，某時(shí)刻t經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，為了描述物體在A點(diǎn)即時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢，該如何處理？

生：可以從此時(shí)刻開(kāi)始，取一段很短時(shí)間Δt，物體在這段時(shí)間由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，用通過(guò)的弧長(zhǎng)Δs與Δt的比值來(lái)反映物體在圓周上運(yùn)動(dòng)的快慢.

師：顯然從A點(diǎn)向逆時(shí)針?lè)较蛉點(diǎn)和向順時(shí)針?lè)较蛉點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的效果是不一樣的，看來(lái)對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的物體來(lái)說(shuō)方向也很重要.當(dāng)Δt足夠小時(shí)，圓弧AB幾乎成了直線，弧AB的長(zhǎng)度與線段AB的長(zhǎng)度近乎相等，此時(shí)，物體由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的位移Δl的大小就是Δs.而位移Δl與Δt的比值是我們前面所學(xué)的哪個(gè)物理量？

生：速度.

師：這個(gè)速度其實(shí)就是我們?cè)谥本€運(yùn)動(dòng)中學(xué)習(xí)的瞬時(shí)速度，只不過(guò)現(xiàn)在我們用它來(lái)描述圓周運(yùn)動(dòng)的快慢而已.在物理學(xué)上，用線速度來(lái)描述物體做圓周運(yùn)動(dòng)的快慢，線速度的大小就是比值，用v表示線速度，則

師：線速度的方向是怎樣的呢？

生：圓周的切線方向.

在直線運(yùn)動(dòng)中，學(xué)生已經(jīng)知道速度是描述物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量，應(yīng)該通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平均速度不能描述做圓周運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)快慢.再讓學(xué)生討論如何比較圓周運(yùn)動(dòng)的快慢，引出描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢的4個(gè)物理量（v，ω，T，n）.許多教師在講解線速度概念的時(shí)候會(huì)刻意地回避弧長(zhǎng)與時(shí)間的比值是平均速率，筆者以為這是沒(méi)有必要的.弧長(zhǎng)與時(shí)間的比值的確是前面所學(xué)的平均速率.不如采用由平均速率過(guò)渡到瞬時(shí)速率，進(jìn)而過(guò)渡到瞬時(shí)速度的方法.這樣的教學(xué)過(guò)程既讓學(xué)生體會(huì)到弧長(zhǎng)與時(shí)間的比值是描述圓周運(yùn)動(dòng)快慢的方法之一，又不至于讓學(xué)生感覺(jué)概念出錯(cuò).此外，筆者建議教科書刪去“線速度也有瞬時(shí)值和平均值之分”，因?yàn)樵趯W(xué)生沒(méi)有了解自然坐標(biāo)系之前，不能理解平均線速度，況且對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度大小處處相等，對(duì)于中學(xué)階段所研究的變速圓周運(yùn)動(dòng)也僅僅討論瞬時(shí)速度.所以將這句話刪去，不僅不影響后面知識(shí)的學(xué)習(xí)，還能降低學(xué)生理解的難度，可謂一舉兩得.

1 曉建.“線速度”究竟應(yīng)該怎樣定義？［J］.物理教師，2009（7）.

2 人民教育出版社編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2004（5）.

3 人民教育出版社編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理必修2［M］.北京：人民教育出版社，2010（4）.

4 漆安慎，杜嬋英.普通物理教程·力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，1997.