周 濤，黃允凱，董劍寧，李 浩

(東南大學(xué)電氣工程學(xué)院，江蘇南京 210096)

0 引言

軸向永磁電機(jī)因其結(jié)構(gòu)緊湊、效率高、功率密度大等優(yōu)點(diǎn)備受國(guó)內(nèi)外研究人員關(guān)注[1]，尤其適用于電動(dòng)車輛、可再生能源系統(tǒng)和工業(yè)設(shè)備等要求高轉(zhuǎn)矩密度和空間緊湊的場(chǎng)合[1，2]。

軸向永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)復(fù)雜的非線性、有約束、多變量、多維度的工程規(guī)劃問題。電機(jī)傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有直接搜索法和隨機(jī)搜索法兩種尋優(yōu)模式。其中，應(yīng)用較廣泛的有Powell法、單純形法和梯度法等[3]。傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的弊端是全局尋優(yōu)能力較差，難以應(yīng)用于復(fù)雜的工程實(shí)際問題。近年，基于遺傳算法的新型全局優(yōu)化算法在永磁電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]采用遺傳算法和有限元分析相結(jié)合，設(shè)計(jì)了一臺(tái)1 kW軸向永磁電機(jī)，實(shí)現(xiàn)最大功率密度優(yōu)化。文獻(xiàn)[5]在電機(jī)基本尺寸方程的基礎(chǔ)上，通過遺傳算法優(yōu)化得到較高功率密度，但沒有考慮效率、經(jīng)濟(jì)性等其他性能指標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化。文獻(xiàn)[6]提出了一種同時(shí)考慮電磁和機(jī)械約束的軸向永磁電機(jī)遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)，使材料成本最低，但沒有考慮對(duì)反電動(dòng)勢(shì)、效率等相關(guān)性能指標(biāo)的影響。文獻(xiàn)[7]采用遺傳算法實(shí)現(xiàn)一臺(tái)4極15槽軸向永磁電機(jī)最大功率密度優(yōu)化，并對(duì)反電動(dòng)勢(shì)總諧波失真進(jìn)行分析。文獻(xiàn)[8]提出了基于遺傳算法實(shí)現(xiàn)齒槽轉(zhuǎn)矩抑制和平均轉(zhuǎn)矩提高的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，應(yīng)用排列選擇法求解多目標(biāo)Pareto最優(yōu)解?？煽闯觯嚓P(guān)文獻(xiàn)多針對(duì)諸如功率密度、成本等性能指標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。多目標(biāo)優(yōu)化對(duì)于電機(jī)實(shí)際應(yīng)用的意義明顯，是軸向永磁電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重要研究方向。

遺傳算法起源于對(duì)生物系統(tǒng)所進(jìn)行的計(jì)算機(jī)模擬研究，是一種基于生物遺傳和進(jìn)化機(jī)制的適合于復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化的自適應(yīng)概率優(yōu)化技術(shù)。其本質(zhì)是一種高效、并行、全局搜索的方法，能夠在搜索過程中自動(dòng)獲取和積累有關(guān)搜索空間的知識(shí)，并自適應(yīng)地控制搜索過程以獲取最優(yōu)解。電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)是復(fù)雜的約束非線性問題，適合于應(yīng)用遺傳算法來(lái)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)尋解。

本文提出一種新型結(jié)構(gòu)的軸向永磁電機(jī)，應(yīng)用于電動(dòng)車輛再生制動(dòng)系統(tǒng)，采取遺傳算法優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)包括效率、功率密度、經(jīng)濟(jì)性在內(nèi)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并采取措施減小齒槽轉(zhuǎn)矩，獲得正弦度高的反電動(dòng)勢(shì)波形。

1 電機(jī)模型和尺寸方程

1.1 電機(jī)模型

軸向永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)形式多樣，通常設(shè)計(jì)成單邊、雙邊和多盤式結(jié)構(gòu)[1]。雙邊軸向永磁電機(jī)具有實(shí)用前景，分為雙定子單轉(zhuǎn)子和雙轉(zhuǎn)子單定子兩種結(jié)構(gòu)形式。雙定子單轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)可以減少永磁體的使用量，但繞組損耗較大。雙轉(zhuǎn)子單定子型軸向永磁電機(jī)具有轉(zhuǎn)矩體積比大、機(jī)械魯棒性好、功率密度高等優(yōu)良性能，相較其他結(jié)構(gòu)獲得更多的應(yīng)用。本文在雙轉(zhuǎn)子單定子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，提出了一種定子無(wú)磁軛、模塊化的新結(jié)構(gòu)軸向永磁電機(jī)用于電動(dòng)車輛再生制動(dòng)系統(tǒng)。定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)

軸向永磁電機(jī)采用雙轉(zhuǎn)子單定子結(jié)構(gòu)，定子放置在中間，與兩個(gè)外轉(zhuǎn)子組成雙氣隙。永磁磁極按N、S極性交替排列貼在轉(zhuǎn)子表面，兩側(cè)永磁體N、S對(duì)等放置，電機(jī)結(jié)構(gòu)高度對(duì)稱，有效避免了單邊磁拉力等問題。軸向永磁電機(jī)氣隙呈平面型，氣隙磁場(chǎng)沿軸向分布。磁路結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 磁路結(jié)構(gòu)示意圖

定子采用模塊化結(jié)構(gòu)，定子無(wú)磁軛且由若干個(gè)相同的小模塊組成，可簡(jiǎn)化軸向永磁電機(jī)的制造和裝配過程。小模塊中鐵心可由硅鋼片堆疊，也可采用軟磁復(fù)合材料或者非晶合金等新型材料制作，繞組直接繞在鐵心外的絕緣材料上。該結(jié)構(gòu)的軸向永磁電機(jī)定子鐵耗小、繞組端部短、槽滿率高，有助于提高電機(jī)的功率密度和效率。此外，無(wú)磁軛結(jié)構(gòu)也使得定子鐵心重量減輕。

1.2 尺寸方程

在定子漏磁電感和電阻忽略不計(jì)情況下，軸向永磁電機(jī)的輸出功率可表示為[9]

式中:η——電機(jī)效率;

m——電機(jī)相數(shù);

T——反電動(dòng)勢(shì)周期;

Epk——相反電動(dòng)勢(shì)峰值;

Ipk——相電流峰值;

Kp——電功率波形系數(shù)。

軸向永磁電機(jī)尺寸方程為

式中:KΦ——轉(zhuǎn)子電負(fù)荷和定子電負(fù)荷的比值;

ml——每個(gè)定子的相數(shù);

Ke——電動(dòng)勢(shì)系數(shù);

Ki——電流波形系數(shù);

Bg——?dú)庀洞琶?

A——電負(fù)荷;

f——電機(jī)頻率;

p——電機(jī)極對(duì)數(shù);

λ——電機(jī)的內(nèi)外徑之比;

Do——電機(jī)外直徑;

Le——電機(jī)的軸向有效長(zhǎng)度。

軸向永磁電機(jī)的整體功率密度為

式中:Wcu——兩端繞組端部單邊長(zhǎng)度;

Dt——電機(jī)的總體外直徑。

對(duì)于雙轉(zhuǎn)子軸向永磁電機(jī)，電機(jī)的軸向長(zhǎng)度為

式中:F(X)——優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);

式中:Lr——轉(zhuǎn)子的軸向長(zhǎng)度;

Ls——定子的軸向長(zhǎng)度;

g——?dú)庀堕L(zhǎng)度。

轉(zhuǎn)子的軸向長(zhǎng)度是轉(zhuǎn)子鐵心長(zhǎng)度Lcr和永磁體厚度Lpm之和，即

式中:Bu——永磁體表面的磁通密度;

Bcr——轉(zhuǎn)子鐵心磁通密度;

μr——永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率;

Br——永磁體剩磁密度;

kf——?dú)庀洞琶苄Ｕ禂?shù);

kd——漏磁系數(shù);

Kc——卡式系數(shù)。

定子的軸向長(zhǎng)度取決于氣隙磁通密度、定子鐵心中的磁通密度，以及電機(jī)內(nèi)外徑等，即

式中:αp——平均氣隙磁通密度和峰值氣隙磁通密度的比值;

Bcs——定子鐵心的磁通密度。

2 遺傳算法

2.1 基本原理

從電機(jī)的基本尺寸方程可知，軸向永磁電機(jī)的設(shè)計(jì)是一個(gè)高度的非線性化問題，諸多參數(shù)之間都有緊密的聯(lián)系。遺傳算法適合求解復(fù)雜的非線性問題，模擬自然選擇過程中發(fā)生的復(fù)制、交叉和變異等現(xiàn)象，通過編碼操作將待求問題空間映射到編碼空間，從任意初始種群出發(fā)，通過隨機(jī)選擇、交叉和變異操作及其循環(huán)迭代，搜索編碼空間內(nèi)的最優(yōu)解，再映射到原問題空間，求得原問題的最優(yōu)解。

遺傳算法運(yùn)算流程如圖3所示。遺傳算法的實(shí)現(xiàn)主要步驟:染色體編碼、初始種群的產(chǎn)生、個(gè)體適應(yīng)度評(píng)估、遺傳算子設(shè)計(jì)、遺傳終止判定。

圖3 遺傳算法運(yùn)算流程

遺傳算法同時(shí)處理種群中的多個(gè)個(gè)體，對(duì)搜索空間內(nèi)的多個(gè)解進(jìn)行評(píng)估，使得算法具有良好的全局搜索性能，并易于并行化。遺傳算法可以同時(shí)改變多個(gè)參變量取值，易于實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)函數(shù)在全局范圍內(nèi)最優(yōu)尋解。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，電機(jī)的各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)可表示為所選取的優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，作為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的約束限定條件。電機(jī)的優(yōu)化目標(biāo)也是優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的函數(shù)。電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題可歸結(jié)為約束化的非線性數(shù)學(xué)模型(8)。

X——優(yōu)化設(shè)計(jì)變量;

n——優(yōu)化設(shè)計(jì)變量總數(shù);

G(X)——約束條件函數(shù);

m——約束條件總數(shù)。

本文選取功率密度、效率、經(jīng)濟(jì)性作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。對(duì)于求解多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解，目前已有多種基于遺傳算法的求解方法。常用方法有:權(quán)重系數(shù)變換法、并列選擇法、排列選擇法、共享函數(shù)法及混合法等。本文采用權(quán)重系數(shù)變換法來(lái)實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)遺傳算法求解，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量選定為內(nèi)外徑比值λ、外直徑Do、氣隙磁通密度Bg和氣隙長(zhǎng)度g。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表述為

式中:Pden——功率密度;

η——電機(jī)效率;

Mmat——有效材料成本。Mmat由定轉(zhuǎn)子鐵心、線圈銅線以及永磁材料成本構(gòu)成，硅鋼片、銅線、釹鐵硼永磁體價(jià)格分別按7.5 元/kg、70 元/kg、350 元/kg計(jì)算。

2.3 約束條件

軸向永磁電機(jī)的某些參數(shù)因受到材料本質(zhì)特性或者應(yīng)用環(huán)境的限制，其變化有一定的區(qū)間范圍，作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的約束條件加以考慮。此外，優(yōu)化設(shè)計(jì)變量本身也受到電磁和機(jī)械性能的約束限制，應(yīng)當(dāng)在其合理的變化區(qū)間內(nèi)取值。軸向永磁電機(jī)的約束條件和設(shè)計(jì)要求，如表1所示。

表1 軸向永磁電機(jī)約束條件和設(shè)計(jì)要求

2.4 染色體編碼

基本遺傳算法采用二進(jìn)制編碼方式表示種群中的個(gè)體。其等位基因由0、1共同組成。初始種群的各個(gè)個(gè)體基因可由隨機(jī)分布的數(shù)來(lái)生成，優(yōu)化過程不依賴于優(yōu)化變量初始值的選取。種群的大小選取為1 000，采用線性變換法調(diào)整適應(yīng)度之間的差距，保持種群的多樣性。

2.5 交叉和變異

在生物的遺傳和自然進(jìn)化過程中，兩個(gè)同源染色體通過交配而重組，形成新的染色體，從而產(chǎn)生新的個(gè)體。遺傳算法中，交叉操作把兩個(gè)父?jìng)€(gè)體部分基因加以替換重組形成兩個(gè)新的子個(gè)體。通過定義的交叉概率，確定參與交叉操作的個(gè)體數(shù)，隨機(jī)選取參與交叉的個(gè)體。交叉操作常采用單點(diǎn)交叉法、多點(diǎn)交叉法、均勻交叉法和算術(shù)交叉法等。本文交叉操作采用兩點(diǎn)交叉法，其運(yùn)算示意圖如圖4所示。

圖4 兩點(diǎn)交叉運(yùn)算示意圖

在生物的遺傳和自然進(jìn)化過程中，細(xì)胞分裂受到某些偶然因素的影響產(chǎn)生復(fù)制偏差，引起某些基因發(fā)生突變，產(chǎn)生新的染色體，表現(xiàn)出新的性狀。遺傳算法模仿生物遺傳和自然進(jìn)化中的變異環(huán)節(jié)，以較小的概率對(duì)編碼串上的某些位進(jìn)行改變，對(duì)于二進(jìn)制編碼就是0、1之間的變換。變異本身是一種隨機(jī)的算法，能夠彌補(bǔ)選擇和交叉運(yùn)算造成的某些信息的缺損，改善遺傳算法的全局搜索能力，維持種群的多樣性，防止出現(xiàn)早熟現(xiàn)象。變異操作常采用基本位變異、均勻變異、非均勻變異等方法。本文通過基本位變異實(shí)現(xiàn)遺傳算法進(jìn)化過程中變異操作，個(gè)體變異概率設(shè)定為0.05。

2.6 優(yōu)化結(jié)果

通過遺傳算法對(duì)10極12槽1.5 kW定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)定不同的權(quán)重系數(shù)，在滿足額定技術(shù)要求的前提下，實(shí)現(xiàn)電機(jī)體積小、功率密度大、效率高、經(jīng)濟(jì)性好的優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)。5組不同權(quán)重系數(shù)下以功率密度、效率、材料成本為目標(biāo)函數(shù)的遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，如表2所示。

表2 軸向永磁電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

從表2可看出，諸多優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)之間并不呈現(xiàn)單一的耦合關(guān)系，實(shí)際工程應(yīng)用過程中會(huì)涉及到各優(yōu)化目標(biāo)間的協(xié)調(diào)和折中，按照實(shí)際的設(shè)計(jì)需求，可通過選取不同的權(quán)重系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)滿足特定要求的最優(yōu)設(shè)計(jì)。為了便于分析，采用插值得到電機(jī)功率密度、效率隨外直徑、內(nèi)外徑比值變化的曲面，分別如圖5、圖6所示。

圖5 功率密度隨外直徑和內(nèi)外徑比值變化曲面

圖6 效率隨外直徑和內(nèi)外徑比值變化曲面

由圖5可知，外直徑Do和內(nèi)外徑比值λ變化對(duì)功率密度影響呈現(xiàn)波動(dòng)狀態(tài)，存在多峰值和非單一的映射關(guān)系，而遺傳算法能夠通過有限的迭代在全局范圍內(nèi)尋找最優(yōu)解。由圖6可知，效率有隨外直徑和內(nèi)外徑比值增大而增大的趨勢(shì)，但增長(zhǎng)速率逐漸減慢。

3 有限元分析

軸向永磁電機(jī)特殊的結(jié)構(gòu)形式，使得磁通密度沿徑向和軸向的分布體現(xiàn)“彎曲效應(yīng)”和“邊緣效應(yīng)”兩個(gè)獨(dú)立的3D效應(yīng)。三維有限元分析同時(shí)考慮兩種效應(yīng)的影響，能夠獲得精確度較高的電磁場(chǎng)分析結(jié)果。

本文選取表2中第3組數(shù)據(jù)進(jìn)行定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)電磁設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的功率密度和效率分別為3.054 W/cm3和92.1%。軸向永磁電機(jī)的主要參數(shù)如表3所示。

表3 軸向永磁電機(jī)的主要參數(shù)

為了驗(yàn)證遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性，利用JMAG軟件建立該電機(jī)的三維有限元模型，進(jìn)行有限元仿真分析。有限元法分析軸向永磁電機(jī)磁密分布如圖7所示，定轉(zhuǎn)子鐵心處磁密均值約1.3 T。平均半徑處氣隙磁通密度波形圖如圖8所示，氣隙磁密最大值為0.998 T，均值達(dá)0.47 T，和遺傳算法優(yōu)化結(jié)果相吻合，誤差僅為3.74%。

由于永磁體和定子齒槽之間的相互作用，永磁電機(jī)不可避免產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，帶來(lái)振動(dòng)和噪聲，影響系統(tǒng)的控制精度。在高性能的永磁電機(jī)設(shè)計(jì)中，齒槽轉(zhuǎn)矩抑制必須予以重視。針對(duì)軸向永磁電機(jī)，從轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)考慮，改變永磁磁極參數(shù)的齒槽轉(zhuǎn)矩抑制方法主要有永磁體斜極、極弧系數(shù)優(yōu)化、永磁磁極偏移、永磁體極距調(diào)整等[10-15]。對(duì)于表貼式軸向永磁電機(jī)，改變永磁體結(jié)構(gòu)形式較易實(shí)現(xiàn)。本文采用永磁體偏移的方法來(lái)抑制齒槽轉(zhuǎn)矩，偏移的機(jī)械角度為4°。永磁體偏移4°分布圖如圖9所示。偏移前后齒槽轉(zhuǎn)矩波形的對(duì)比如圖10所示。通過計(jì)算，永磁體偏移后，齒槽轉(zhuǎn)矩減小了70.6%，實(shí)現(xiàn)了齒槽轉(zhuǎn)矩的有效抑制。

圖7 軸向永磁電機(jī)磁密分布

圖8 平均半徑處氣隙磁通密度波形圖

圖9 永磁體偏移4°分布示意圖

圖10 偏移前后齒槽轉(zhuǎn)矩波形的對(duì)比

軸向永磁電機(jī)在3 000 r/min時(shí)的反電動(dòng)勢(shì)波形如圖11所示。由圖11可知相反電動(dòng)勢(shì)有效值為220.18 V。對(duì)反電動(dòng)勢(shì)進(jìn)行傅里葉分析，其諧波分量如圖12所示。由圖12可知反電動(dòng)勢(shì)諧波含量較少，波形具有較高的正弦度。

圖11 反電動(dòng)勢(shì)波形

圖12 反電動(dòng)勢(shì)諧波分量

效率是電機(jī)的一個(gè)重要性能指標(biāo)，其取決于運(yùn)行時(shí)電機(jī)中所產(chǎn)生的損耗，包括定子和轉(zhuǎn)子鐵心中的基本鐵耗、繞組銅耗和附加雜散損耗等。通過有限元分析可準(zhǔn)確計(jì)算出電機(jī)各部分損耗，進(jìn)而求得功率密度和效率。比較有限元分析和遺傳算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果，兩者基本一致，結(jié)果對(duì)比如表4所示。

表4 有限元分析和遺傳算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

本文采用遺傳算法和有限元分析，對(duì)定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，以功率密度、效率、經(jīng)濟(jì)性為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足電機(jī)技術(shù)要求的前提下，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)尋解。三維有限元的分析結(jié)果驗(yàn)證了遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性。本文所采用的方法適用于各種結(jié)構(gòu)的軸向永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，對(duì)于其他類型電機(jī)的優(yōu)化分析也有一定的參考價(jià)值。

定子無(wú)磁軛模塊化軸向永磁電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有以下特點(diǎn):

(1)軸向永磁電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)是一個(gè)非線性、有約束、多變量、多維度的復(fù)雜工程問題，而遺傳算法具備良好的全局尋優(yōu)能力，適合應(yīng)用于該類電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

(2)采用遺傳算法可以實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)尋解，考慮各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)之間的協(xié)調(diào)和折中，通過選取不同的權(quán)重系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)滿足特定需求的最優(yōu)設(shè)計(jì)。

(3)遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效性通過三維有限元分析得以驗(yàn)證，且優(yōu)化過程充分考慮了電磁和機(jī)械性能對(duì)優(yōu)化變量的約束限定。

(4)由于永磁體和定子齒槽之間的相互作用，永磁電機(jī)不可避免地產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，引起轉(zhuǎn)矩波動(dòng)，通過采取永磁體偏移的方法來(lái)抑制齒槽轉(zhuǎn)矩，反電動(dòng)勢(shì)諧波含量較少。

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