姜麗娟

【摘 要】通過(guò)調(diào)查顯示，在近幾年全國(guó)各地中考試題中經(jīng)常會(huì)涉及到求解三角形面積有關(guān)的問(wèn)題，而在求解這類試題的過(guò)程中往往需要有機(jī)結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像才能得出正確結(jié)果。因此出題的形式可以靈活多樣，具有一定的綜合性。鑒于此，我們?cè)谇蠼獾倪^(guò)程中一定要看清題目中所給出的條件，然后總結(jié)同類題目的解題訣竅。本文將歸納出三角形面積的常見(jiàn)幾種求解策略，希望能夠?yàn)閺V大師生所用。

【關(guān)鍵詞】三角形；面積；直角坐標(biāo)系；考試

就目前而言，關(guān)于求解三角形面積的方法種類繁多，其中也不乏許多奇思妙想，讓人回味無(wú)窮。但是大多數(shù)時(shí)候依然會(huì)利用S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC來(lái)解決該類問(wèn)題，比較有趣味的是，我們?cè)诮忸}過(guò)程中可以將該公式根據(jù)題目的要求進(jìn)行變形，使其坐標(biāo)化以后在加以運(yùn)用。這樣使用起來(lái)就會(huì)感覺(jué)思路清晰，而且可以讓人賞心悅目。

1 當(dāng)三角形的其中一邊與坐標(biāo)軸平行或者直接在坐標(biāo)軸上

舉一個(gè)例子，如圖1所示，在該平面直角坐標(biāo)系中的一次函數(shù)（y1=kx+b（k≠0））與反比例函數(shù)（y2=a/x（a≠0））相交于A（2，1）和B（-1，-2）兩點(diǎn)，與x軸的C點(diǎn)相交。求解：（1）分別求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）連接OA，計(jì)算三角形AOC的面積。

解：（1）依據(jù)一次函數(shù)（y1=kx+b（k≠0）），將A（2，1）和B（-1，-2）兩點(diǎn)分別代入其中，可得2k+b=1 ，-k+b=-2，從而可以求出k=1，b=-1，此時(shí)便求出一次函數(shù)的方程式為y1=x-1。然后將A（2，1）代入到y(tǒng)2=a/x，得出a=2，所以反比例函數(shù)的方程式為y2=a/x；（2）從圖中可以看出，三角形AOC的一邊OC在x軸上，因此我們只需要想辦法求出OC長(zhǎng)，然后依據(jù)相關(guān)公式便能夠求解了。具體地說(shuō)，因?yàn)橹本€AB和x軸與點(diǎn)C相交，所以點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0。而y1=0的時(shí)候，x=1，因此OC=1，又因?yàn)辄c(diǎn)A（2，1），因此三角形AOC的OC邊上的高為1，所以S△AOC=1/2×1×1=1/2。這是一道關(guān)于一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交的基礎(chǔ)性試題，所考查的知識(shí)點(diǎn)主要是運(yùn)用待定系數(shù)法求解三角形的面積。其主要目的是在于考查學(xué)生對(duì)解題方法是否已經(jīng)掌握，該種類型的題目解法具有一定的代表性，其他在平面直角坐標(biāo)系中秋季三角形面積的題目的原理都是萬(wàn)變不離其宗的。

2 當(dāng)題目之中給出的條件無(wú)法直接計(jì)算出所求三角形面積的情況求解

通常情況下，對(duì)于這種類型的題目我們可以先將三角形面積的和或者差計(jì)算出來(lái)以后再去求解原三角形的面積。下面舉例進(jìn)行說(shuō)明。如圖2所示，拋物線y=ax2+bx-4與x軸相交于C點(diǎn)，而點(diǎn)P為AB線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AC，并且與BC線段相交于點(diǎn)D，連接CP。求：①該拋物線的方程式；②點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置的時(shí)候，BP2=BC×BD；③當(dāng)三角形PCD的面積是最大值的時(shí)候，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）因?yàn)閺膱D2可知，拋物線y=ax2+bx-4與x軸的兩點(diǎn)A（4，0）、B（-2，0）相交，代入方程中可得4a-2b-4=0 ，16a+4b-4=0，可以求出a=1/2，b=-1。所以可以得出拋物線的解析式方程為y=1/2x2-x-4；

（2）因?yàn)閽佄锞€的解析式方程為y=1/2x2-x-4，令x=0時(shí)，y=-4，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-4）。由于PD∥AC，所以三角形BPD與三角形BAC相似，所以BD/BC=BP/BA。因?yàn)锽C=（OB2+OC2）的平方根=2×5的平方根，AB=6，BP=x+2，所以BD=5的平方根/3×（x+2），因?yàn)锽P2=BC×BD，我們可以得出（x+2）2=5的平方根/3×（x+2）×2×5的平方根，從而可以解出x1=4/3，x2=-2（與題意不符合，舍去），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4/3，0），換言之，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（4/3，0）時(shí)，BP2=BC×BD；

（3）因?yàn)椤鰾AC相似于△BPD，所以S△BPD/S△BAC=（BP/AB）2我們可以得出S△BPD=（BP/AB）2×S△BAC=1/2×（x+2）×4=2（x+2），得出S△PCD=S△BPC-S△BPD=2（x+2）-1/3（x+2）2=-1/3（x-1）2+3。因此當(dāng)x=1的時(shí)候，S△PCD的最大值為3。這是一道有關(guān)二次函數(shù)的綜合性題目，重點(diǎn)考查的內(nèi)容是拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程二者之間的關(guān)系、相似三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值（最大值或者最小值）以及平面直角坐標(biāo)系中求解三角面積的方法，知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性也比較強(qiáng)。我們這這種類型的題目中無(wú)法直接計(jì)算出所求三角形的面積，就需要綜合其他的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)輔助求解了。

綜上所述，由于在現(xiàn)在的高考中求解三角形面積的題目出現(xiàn)的頻率比較高，因此在教學(xué)過(guò)程中需要想方設(shè)法讓學(xué)生們掌握求解的方法，能夠做到舉一反三，觸類旁通。值得注意的是，本文只是列舉了兩種最容易出現(xiàn)的題型，還有很多其他的題型以及解題方法，但是有一點(diǎn)可以肯定的那就是需要在解題過(guò)程中有效運(yùn)用題目中所給出的條件，然后再通過(guò)應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分的利用數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻(xiàn)：

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