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        探究同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用

        2014-11-20 13:53:27趙靜
        關(guān)鍵詞:韓山關(guān)系式化簡

        趙靜

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1,反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中,其突出的特點(diǎn)是:運(yùn)算量大,變化靈活,思想豐富等.那么,如何準(zhǔn)確快速地解題呢?下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

        一、求值

        1.已知一個角的某個三角函數(shù)值,求其余的三角函數(shù)值

        【例1】 已知tanθ=34,求sinθ,cosθ.

        解:由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

        當(dāng)θ為第一象限角時,sinθ=35,cosθ=45.

        當(dāng)θ為第三象限角時,sinθ=-35,cosθ=-45.

        解題決策:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時,若開方,需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

        2.已知tanα的值,求代數(shù)式的值

        3.已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ其中一個式子的值,求其他值

        解題決策:此題運(yùn)用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷,這是避免錯誤的關(guān)鍵.

        二、化簡

        【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα(α為第二象限角).

        解題決策:巧用“1”代換,直奔主題是解題關(guān)鍵.

        在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中,把握三個核心原則:知識體系系統(tǒng)化;考題模式明確化;解題方式熟練化.解題時,緊鎖目標(biāo),緊扣條件,靈活運(yùn)用常規(guī)解法(切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等)才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

        從另一個角度解考點(diǎn)之“直線與平面區(qū)域”

        廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系(521041) 張志欣

        廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系(521041) 謝意純

        “直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系,用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點(diǎn),從2010年廣東高考分文理科以來,每年的高考卷,無論是文科數(shù)學(xué),還是理科數(shù)學(xué),都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系,且一般以單項(xiàng)選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點(diǎn)的解題方法有很多,但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”,旨在為考生和教師提供一定的參考.

        一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

        首先,我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點(diǎn)落在直線ax+by+c=0,顯然代入方程等于0.若點(diǎn)不落在直線上,將不等于0.那么是大于0,還是小于0呢?是否與a,b,c有關(guān)系呢?

        二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

        圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域,也有可能未穿過,不妨一一進(jìn)行討論.

        下方,端點(diǎn)B距離直線最遠(yuǎn),B點(diǎn)就是所求最值點(diǎn).若取直線上方,最值點(diǎn)可能是C點(diǎn)或整條AC直線.

        【例2】 (2013年珠海市高三摸底)設(shè)變量x,y,滿足約束條件x-y+1>0

        解析:若取最小值,如圖5,A點(diǎn)離直線最近,所以A(1,0)是最小值.若取最大值,因?yàn)閤+y-4=0與z=x+y平行,取直線BC上的正數(shù)點(diǎn)(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),共5個整點(diǎn)為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

        上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法,希望能為廣大師生提供一定的幫助.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)endprint

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1,反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中,其突出的特點(diǎn)是:運(yùn)算量大,變化靈活,思想豐富等.那么,如何準(zhǔn)確快速地解題呢?下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

        一、求值

        1.已知一個角的某個三角函數(shù)值,求其余的三角函數(shù)值

        【例1】 已知tanθ=34,求sinθ,cosθ.

        解:由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

        當(dāng)θ為第一象限角時,sinθ=35,cosθ=45.

        當(dāng)θ為第三象限角時,sinθ=-35,cosθ=-45.

        解題決策:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時,若開方,需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

        2.已知tanα的值,求代數(shù)式的值

        3.已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ其中一個式子的值,求其他值

        解題決策:此題運(yùn)用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷,這是避免錯誤的關(guān)鍵.

        二、化簡

        【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα(α為第二象限角).

        解題決策:巧用“1”代換,直奔主題是解題關(guān)鍵.

        在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中,把握三個核心原則:知識體系系統(tǒng)化;考題模式明確化;解題方式熟練化.解題時,緊鎖目標(biāo),緊扣條件,靈活運(yùn)用常規(guī)解法(切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等)才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

        從另一個角度解考點(diǎn)之“直線與平面區(qū)域”

        廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系(521041) 張志欣

        廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系(521041) 謝意純

        “直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系,用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點(diǎn),從2010年廣東高考分文理科以來,每年的高考卷,無論是文科數(shù)學(xué),還是理科數(shù)學(xué),都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系,且一般以單項(xiàng)選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點(diǎn)的解題方法有很多,但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”,旨在為考生和教師提供一定的參考.

        一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

        首先,我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點(diǎn)落在直線ax+by+c=0,顯然代入方程等于0.若點(diǎn)不落在直線上,將不等于0.那么是大于0,還是小于0呢?是否與a,b,c有關(guān)系呢?

        二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

        圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域,也有可能未穿過,不妨一一進(jìn)行討論.

        下方,端點(diǎn)B距離直線最遠(yuǎn),B點(diǎn)就是所求最值點(diǎn).若取直線上方,最值點(diǎn)可能是C點(diǎn)或整條AC直線.

        【例2】 (2013年珠海市高三摸底)設(shè)變量x,y,滿足約束條件x-y+1>0

        解析:若取最小值,如圖5,A點(diǎn)離直線最近,所以A(1,0)是最小值.若取最大值,因?yàn)閤+y-4=0與z=x+y平行,取直線BC上的正數(shù)點(diǎn)(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),共5個整點(diǎn)為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

        上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法,希望能為廣大師生提供一定的幫助.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)endprint

        同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式tanx=sinxcosx與sin2x+cos2x=1,反映了同一個角的不同三角函數(shù)之間的必然聯(lián)系.這些基本關(guān)系式的主要應(yīng)用體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值、化簡、證明中.而在利用關(guān)系式解決問題的過程中,其突出的特點(diǎn)是:運(yùn)算量大,變化靈活,思想豐富等.那么,如何準(zhǔn)確快速地解題呢?下面筆者淺談一下三角函數(shù)基本關(guān)系式在應(yīng)用中常見的解題思想和變形方法.

        一、求值

        1.已知一個角的某個三角函數(shù)值,求其余的三角函數(shù)值

        【例1】 已知tanθ=34,求sinθ,cosθ.

        解:由同角函數(shù)關(guān)系式知sinθ=±35.

        當(dāng)θ為第一象限角時,sinθ=35,cosθ=45.

        當(dāng)θ為第三象限角時,sinθ=-35,cosθ=-45.

        解題決策:利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系式解題時,若開方,需根據(jù)θ的象限分類討論來確定結(jié)果的正負(fù)號.

        2.已知tanα的值,求代數(shù)式的值

        3.已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ其中一個式子的值,求其他值

        解題決策:此題運(yùn)用“和積轉(zhuǎn)換”思想.對sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ三者建立聯(lián)系.求值過程中要注意開方結(jié)果正負(fù)號的判斷,這是避免錯誤的關(guān)鍵.

        二、化簡

        【例4】 化簡1+sinα1-sinα-1-sinα1+sinα(α為第二象限角).

        解題決策:巧用“1”代換,直奔主題是解題關(guān)鍵.

        在同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用中,把握三個核心原則:知識體系系統(tǒng)化;考題模式明確化;解題方式熟練化.解題時,緊鎖目標(biāo),緊扣條件,靈活運(yùn)用常規(guī)解法(切弦互化、“1”的代換、和積轉(zhuǎn)換法等)才能收到準(zhǔn)確、快速的解題效果.

        (責(zé)任編輯 鐘偉芳)

        從另一個角度解考點(diǎn)之“直線與平面區(qū)域”

        廣東潮州韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系(521041) 張志欣

        廣東潮州韓山師范學(xué)院化學(xué)系(521041) 謝意純

        “直線與平面區(qū)域”是中學(xué)數(shù)學(xué)一個比較重要的幾何關(guān)系,用于表述直線與平面區(qū)域之間的動態(tài)關(guān)系.它作為廣東高考改革后的一個重要的知識點(diǎn),從2010年廣東高考分文理科以來,每年的高考卷,無論是文科數(shù)學(xué),還是理科數(shù)學(xué),都會出現(xiàn)直線與平面區(qū)域的幾何關(guān)系,且一般以單項(xiàng)選擇題的形式出現(xiàn).對于這個知識點(diǎn)的解題方法有很多,但本文用另一種解法解“直線與平面區(qū)域”,旨在為考生和教師提供一定的參考.

        一、直線ax+by+c=0的平面區(qū)域結(jié)構(gòu)及其相關(guān)推論

        首先,我們來討論直線ax+by+c=0的平面區(qū)域的結(jié)構(gòu)問題.若點(diǎn)落在直線ax+by+c=0,顯然代入方程等于0.若點(diǎn)不落在直線上,將不等于0.那么是大于0,還是小于0呢?是否與a,b,c有關(guān)系呢?

        二、從另一角度解“直線與平面區(qū)域”的相關(guān)問題

        圖2目標(biāo)函數(shù)z=ax+by+c有可能穿過約束條件所包含的區(qū)域,也有可能未穿過,不妨一一進(jìn)行討論.

        下方,端點(diǎn)B距離直線最遠(yuǎn),B點(diǎn)就是所求最值點(diǎn).若取直線上方,最值點(diǎn)可能是C點(diǎn)或整條AC直線.

        【例2】 (2013年珠海市高三摸底)設(shè)變量x,y,滿足約束條件x-y+1>0

        解析:若取最小值,如圖5,A點(diǎn)離直線最近,所以A(1,0)是最小值.若取最大值,因?yàn)閤+y-4=0與z=x+y平行,取直線BC上的正數(shù)點(diǎn)(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),共5個整點(diǎn)為最大值.故可確定5+1=6條不同的直線.

        上述是本人總結(jié)出的解“直線與平面區(qū)域”的另一種方法,希望能為廣大師生提供一定的幫助.

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