田安紅，付承彪，張順吉

(曲靖師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院，云南曲靖655000)

在高樓聳立的城市、室內(nèi)、地下停車場等區(qū)域［1］，GPS衛(wèi)星信號(hào)受到遮擋而無法單獨(dú)完成定位。因數(shù)字電視信號(hào)具有發(fā)散功率大、覆蓋范圍廣［2］、定位精度可達(dá)1 m量級(jí)等優(yōu)點(diǎn)，可利用我國自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的地面數(shù)字電視廣播信號(hào)(DTMB)［3］來增強(qiáng)GPS定位技術(shù)，即GPS與 DTMB混合定位，共同解算出目標(biāo)的位置。

然而，多信號(hào)源的星座組合定位系統(tǒng)中，會(huì)給同一歷元時(shí)刻提供大量的可見衛(wèi)星信號(hào)［4］，從而改善GDOP的值，提高定位精度。因此，如何從接收機(jī)所測量到的可見衛(wèi)星信號(hào)源中，選擇幾何布局最好的衛(wèi)星信號(hào)源組合來參與定位的解算，即組合定位系統(tǒng)的星座選擇問題，是實(shí)時(shí)性導(dǎo)航定位的研究重點(diǎn)。

所謂星座選擇問題就是要選取出幾何精度因子GDOP值最小的衛(wèi)星組合來參與定位。文獻(xiàn)［4］對(duì)一些影響GDOP的因子進(jìn)行了分析，指出GDOP將隨衛(wèi)星數(shù)目的增加而單調(diào)遞減，當(dāng)參與定位的衛(wèi)星個(gè)數(shù)大于6以后，幾何精度因子遞減很小，即定位精度改善很小，但解算復(fù)雜程度卻呈現(xiàn)出幾何級(jí)數(shù)地增長［5］，因此導(dǎo)致接收機(jī)的造價(jià)高［6］，設(shè)計(jì)復(fù)雜。本文針對(duì)現(xiàn)有選星算法所存在的不足，研究GPS與DTMB組合導(dǎo)航定位系統(tǒng)的改進(jìn)星座選擇算法，并通過仿真驗(yàn)證改進(jìn)算法的優(yōu)勢。

1 最大行列式選星算法

在GPS部分衛(wèi)星信號(hào)被遮擋的復(fù)雜都市和室內(nèi)環(huán)境中，因存在定位盲區(qū)而無法獲得連續(xù)準(zhǔn)確的位置信息，常采用組合導(dǎo)航定位方式［7－8］。本文可采用GPS與DTMB混合定位技術(shù)，但因增加數(shù)字電視廣播定位系統(tǒng)，定位的未知數(shù)相應(yīng)也增加，在該組合系統(tǒng)中，存在5個(gè)未知的參數(shù)，最少需5個(gè)偽距方程來定位解算，組合定位系統(tǒng)［6］表示為

式中:(xi，yi，zi)為第i顆GPS衛(wèi)星或DTMB電視塔的位置;(xu，yu，zu)為定位目標(biāo)坐標(biāo);ri為第i顆衛(wèi)星或電視塔的偽距;當(dāng)?shù)趇顆衛(wèi)星為GPS信號(hào)時(shí)m1=1，m2=0，而當(dāng)?shù)趇顆衛(wèi)星為DTMB信號(hào)時(shí)m1=0，m2=1;bg為GPS時(shí)鐘偏移量;bt為DTMB時(shí)鐘偏移量。

式(1)表示成矩陣形式為

在單GPS定位系統(tǒng)中，幾何精度因子GDOP可以表示為

在單GPS定位系統(tǒng)中求解目標(biāo)的位置，通常事先假定所有GPS衛(wèi)星信號(hào)的偽距測量誤差均相同，但在GPS與DTMB的組合定位系統(tǒng)中，存在兩個(gè)不同的信號(hào)源定位系統(tǒng)，偽距測量誤差不能認(rèn)為相同，為了得到更精確的定位結(jié)果，通常采用加權(quán)最小二乘算法來求解目標(biāo)位置，從而得出加權(quán)幾何定位因子表示為

式中:W為權(quán)重矩陣，表示為

式中:σi為GPS衛(wèi)星或DTMB基站的偽距的測量誤差方差。

又因目標(biāo)用戶的所有總和的定位誤差［5］可表示為

由式(6)可知，用戶總的定位誤差主要與偽距測量誤差和幾何精度因子GDOP有關(guān)。在偽距測量誤差一定的前提下，幾何精度因子的值越小，總的定位誤差越小。

同時(shí)，從式(3)和式(4)可知，幾何精度因子主要和行列式H的取值有關(guān)。在組合定位系統(tǒng)中，采用加權(quán)幾何精度因子主要與WH的取值有關(guān)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 WH行列式絕對(duì)值與GDOPW值的關(guān)系

假設(shè)組合定位系統(tǒng)中，一共有8種信號(hào)源來參與定位，若從8種信號(hào)源中選擇4種信號(hào)源來參與定位時(shí)，一共有=70個(gè)組合。

由圖1可看出:當(dāng)WH的行列式值逐漸變大時(shí)，GDOPW的取值逐漸變小，說明了GDOPW的值隨著WH行列式值的變大有變小的趨勢，但圖1中的曲線變化并不單調(diào)平滑，在某些時(shí)刻有突變，即并不是完全單調(diào)遞減的關(guān)系。需要進(jìn)一步研究改進(jìn)的行列式選星算法。

2 改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法

本文所采用的改進(jìn)行列式選星方法如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法

由圖2可知，該改進(jìn)行列式選星算法的關(guān)鍵是N組組合衛(wèi)星，計(jì)算復(fù)雜度的大小取決于N值的大小。假設(shè)選取的N值較大，即選擇的組合數(shù)目多，則所需計(jì)算的GDOPW值也多，但與標(biāo)準(zhǔn)的傳統(tǒng)選星算法相比較，誤差小;假設(shè)選取的N值較小，即選擇的組合數(shù)目少，則所需計(jì)算的GDOPW值也少，但與標(biāo)準(zhǔn)的傳統(tǒng)選星算法相比較，誤差大。

本文主要從定位精度大小、耗時(shí)長短、計(jì)算運(yùn)算量復(fù)雜度3個(gè)方面進(jìn)行仿真，說明改進(jìn)選星算法在GPS與DTMB組合定位中的優(yōu)越性。

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 定位精度

為了說明基于加權(quán)行列式值的選星算法的定位優(yōu)勢，分析定位精度問題。本文以13組組合衛(wèi)星數(shù)目和15組組合衛(wèi)星數(shù)目為例進(jìn)行仿真分析說明，N=13如圖3所示，N=15如圖4所示。

圖3 N=13定位精度結(jié)果圖

圖4 N=15定位精度結(jié)果圖

其求解方法為:假設(shè)采用標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法，計(jì)算所得的幾何精度因子表示為GDOPWm，假設(shè)采用加權(quán)行列式選星算法，計(jì)算所得到的幾何精度因子表示為GDOPHm，則加權(quán)行列式選星算法與標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法之間的偏差百分比可以表示為:，該表達(dá)式表明:以標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法為標(biāo)準(zhǔn)，在GDOPWm取定值的情況下，GDOPHm越大時(shí)，計(jì)算所得百分比就大，即表明加權(quán)行列式選星算法與標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法之間的偏差大。

仿真結(jié)果表明，在改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法中，當(dāng)采用13組組合衛(wèi)星來參與定位時(shí)，加權(quán)行列式選星算法與標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法的偏差，小于0.02的概率在15%左右，小于0.05的概率在76%左右，小于0.08的概率在85%范圍變化，小于0.1的概率在85%左右，小于0.22的概率在92%左右。可以看出，當(dāng)13組組合衛(wèi)星參與定位時(shí)，采用標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法的計(jì)算量大，而采用加權(quán)行列式選星算法，兩者間的偏差小于0.1的概率在85%左右，能夠得到比較滿意的性能。

由圖2的分析知，計(jì)算復(fù)雜度的大小取決于N值的大小。當(dāng)采用15組組合衛(wèi)星來參與定位時(shí)，加權(quán)行列式選星算法與標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法的偏差，小于0.02的概率在40%左右，小于0.05的概率在80%左右，小于0.08的概率在89%范圍變化，小于0.1的概率在90%左右，小于0.22的概率在94%左右。可以看出，當(dāng)15組組合衛(wèi)星參與定位時(shí)，采用標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法的計(jì)算量大，而采用加權(quán)行列式選星算法，兩者間的偏差小于0.1的概率在90%左右，說明其選取的組合數(shù)目越多，兩者間的偏差在變小。

因此本文所提出的改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法在組合定位系統(tǒng)中，隨著組合衛(wèi)星數(shù)目的增多，定位效果越好。

3.2 耗時(shí)時(shí)間長短

為了說明基于加權(quán)行列式值的選星算法的定位優(yōu)勢，分析定位消耗時(shí)間問題，如圖5所示。

圖5 時(shí)間長短比較

因假設(shè)組合定位系統(tǒng)中，一共有8種信號(hào)源來參與定位，若從8種信號(hào)源中選擇4種信號(hào)源來參與定位時(shí)，一共有=70組合。所以在圖5中，橫坐標(biāo)表示共有70個(gè)時(shí)刻參與定位，縱坐標(biāo)表示消耗時(shí)間的長短。

仿真結(jié)果表明，加權(quán)行列式選星算法所需時(shí)間平均在0.015 5 s變化，標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP選星算法所需時(shí)間都大于0.030 0 s，兩者相差0.014 5 s。從而說明了改進(jìn)加權(quán)行列式選星算法的優(yōu)勢。

3.3 計(jì)算量大小

為了說明基于加權(quán)行列式值的選星算法的定位優(yōu)勢，分析運(yùn)算復(fù)雜度問題，如表1所示。

表1 運(yùn)算復(fù)雜度

表1的分析結(jié)果表明，在GPS與DTMB組合定位中，涉及到目標(biāo)位置坐標(biāo)以及兩個(gè)系統(tǒng)的鐘差，最少需要5顆星來進(jìn)行定位解算。假設(shè)采用標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP法求解組合衛(wèi)星的過程中，當(dāng)有7顆衛(wèi)星時(shí)，需計(jì)算21次乘法運(yùn)算和求逆運(yùn)算，則加權(quán)行列式選星算法對(duì)應(yīng)的就需要計(jì)算21次行列式值，和N組乘法和求逆運(yùn)算;當(dāng)有10顆衛(wèi)星時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)最小GDOP法需計(jì)算252次乘法和求逆運(yùn)算，加權(quán)行列式選星算法需計(jì)算252次行列式值，和N組乘法和求逆運(yùn)算?？梢?，當(dāng)衛(wèi)星數(shù)目增多時(shí)，乘法運(yùn)算的計(jì)算量明顯增大，雖行列式值的運(yùn)算量也增大，但理論分析已表明求解行列式值的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于求解乘法運(yùn)算的計(jì)算量。同時(shí)，在加權(quán)行列式選星算法中存在N組乘法和求逆運(yùn)算，但從圖3的分析中，N取值13時(shí)，已表明偏差小于0.08的概率在85%范圍變化，性能符合要求，可見，N的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于表1中的組合衛(wèi)星數(shù)。證明了改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法教傳統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)法，計(jì)算量小。

4 小結(jié)

由理論分析和仿真結(jié)果看出，改進(jìn)的加權(quán)行列式選星算法成功應(yīng)用到GPS與DTMB的組合定位當(dāng)中，與傳統(tǒng)GDOP選星法相比，該加權(quán)行列式優(yōu)化選星法具有計(jì)算復(fù)雜度低、耗時(shí)短的優(yōu)點(diǎn)，與此同時(shí)，仿真結(jié)果還表明，采用改進(jìn)行列式選星算法與采用傳統(tǒng)最小GDOP選星算法相比較，兩者間的偏差小于0.1的概率在90%左右，能夠達(dá)到比較滿意的性能，證明了基于加權(quán)行列式值的改進(jìn)選星算法在GPS與DTMB組合定位中的可行性與優(yōu)越性。

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