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        小議極限理論

        2014-11-20 19:06:55王莎莎
        文理導(dǎo)航 2014年32期

        王莎莎

        【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

        【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

        一、引言

        極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

        二、求一元函數(shù)極限的一般方法

        1.極限定義求極限

        定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么?。?,總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式:

        |f(x)-A|<ε或f(x)→A

        那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

        例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

        證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

        故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

        |f(x)-A|<ε,

        則稱(chēng)函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

        f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

        例1.2 證明=0。

        證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

        |-0|=<=ε

        所以=0.

        2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

        =1;=e

        例2.1 求(1+2x)。

        解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

        3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

        通過(guò)變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問(wèn)題就解決了。

        (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

        例3.1 求[x-x2ln(1+)]

        解 用變量替換法,令x=,則

        原式=[-]==

        ==

        (2)常用的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

        4.用洛比達(dá)法則求極限

        洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類(lèi)型,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

        例4.1求x·lnx

        解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

        所以,原式===0

        5.利用歸結(jié)原則求極限

        歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

        6.利用拉格朗日中值定理求極限

        定理[1]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足如下條件:

        ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        ②在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

        則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

        或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

        在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類(lèi)問(wèn)題。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

        [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

        [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類(lèi).西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

        [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫(xiě).北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

        [6]李永樂(lè),李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

        [7]陳文燈,黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

        (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

        【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

        【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

        一、引言

        極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

        二、求一元函數(shù)極限的一般方法

        1.極限定義求極限

        定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么小),總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式:

        |f(x)-A|<ε或f(x)→A

        那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

        例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

        證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

        故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

        |f(x)-A|<ε,

        則稱(chēng)函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

        f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

        例1.2 證明=0。

        證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

        |-0|=<=ε

        所以=0.

        2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

        =1;=e

        例2.1 求(1+2x)。

        解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

        3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

        通過(guò)變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問(wèn)題就解決了。

        (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

        例3.1 求[x-x2ln(1+)]

        解 用變量替換法,令x=,則

        原式=[-]==

        ==

        (2)常用的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

        4.用洛比達(dá)法則求極限

        洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類(lèi)型,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

        例4.1求x·lnx

        解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

        所以,原式===0

        5.利用歸結(jié)原則求極限

        歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

        6.利用拉格朗日中值定理求極限

        定理[1]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足如下條件:

        ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        ②在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

        則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

        或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

        在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類(lèi)問(wèn)題。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

        [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

        [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類(lèi).西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

        [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫(xiě).北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

        [6]李永樂(lè),李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

        [7]陳文燈,黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

        (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

        【摘 要】本文主要總結(jié)了一些求一元函數(shù)極限的常用方法,以便深入的理解和掌握極限概念,并把極限的思想運(yùn)用到更廣泛的區(qū)域中。

        【關(guān)鍵詞】極限理論;歸結(jié)原則;拉格朗日定理

        一、引言

        極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想,數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門(mén)學(xué)科。極限思想是微積分的基本思想,所謂極限思想,是用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想,用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為:對(duì)于被考察的未知量,先設(shè)法構(gòu)造一個(gè)與它有關(guān)的變量,確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量,最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。所以證明極限存在和求極限的方法就需要我們?nèi)ヌ骄俊?/p>

        二、求一元函數(shù)極限的一般方法

        1.極限定義求極限

        定義1.1 設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)xo的某個(gè)空心領(lǐng)域U·(xo;δ)內(nèi)有定義,A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)ε(無(wú)論它多么?。?,總存在正數(shù)δ,使得當(dāng)x滿(mǎn)足不等式0<|x-xo|<δ時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿(mǎn)足不等式:

        |f(x)-A|<ε或f(x)→A

        那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→xo時(shí)的極限。

        例1.1設(shè)f(x)=,證明f(x)=4。

        證 由于當(dāng)x≠2時(shí),|f(x)-4|=|-4|=|x-2|

        故對(duì)給定的ε>0,只要取δ=ε,則當(dāng)0>|x-2|<δ時(shí)有|f(x)-4|<ε.這就證明了f(x)=4。定義1.1設(shè)f為定義在[a,+∞)上的函數(shù),A為定數(shù)。若對(duì)任給的ε>0,存在正數(shù)M(≥a),使得當(dāng)x>M時(shí)有

        |f(x)-A|<ε,

        則稱(chēng)函數(shù)f當(dāng)x趨于+∞時(shí)以A為極限,記作

        f(x)=A或f(x)→A(x→∞)

        例1.2 證明=0。

        證 任給ε>0,取=M,則當(dāng)|x|>M時(shí)有

        |-0|=<=ε

        所以=0.

        2.利用兩個(gè)重要的極限求極限

        =1;=e

        例2.1 求(1+2x)。

        解(1+2x)=[(1+2x).(1+2x)]=e2。

        3.利用變量替換及等價(jià)無(wú)窮小量求極限

        通過(guò)變量替換,把求某個(gè)極限轉(zhuǎn)化為求另一個(gè)極限,若后者是已知的,則問(wèn)題就解決了。

        (1)設(shè)φ(x)=+∞,f(u)=A,則f[φ(x)]=f(u)=A,(u=φ(x))。

        例3.1 求[x-x2ln(1+)]

        解 用變量替換法,令x=,則

        原式=[-]==

        ==

        (2)常用的等價(jià)無(wú)窮小:當(dāng)x→0時(shí),sinx~x,tanx~x,(1+x)α~1+ax,arctanx~x,1-cosx~,ln(1+x)~x,ex-1~x。

        4.用洛比達(dá)法則求極限

        洛比達(dá)法則只直接適用于型和型不定式極限,0·∞,1∞,0o,∞o,∞,-∞等類(lèi)型,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變換,可化為型或型極限。

        例4.1求x·lnx

        解 由是0·∞型不定式極限,有恒等xlnx=轉(zhuǎn)化為型不定式極限。

        所以,原式===0

        5.利用歸結(jié)原則求極限

        歸結(jié)原則:f(x)=A?對(duì)任何xn→x0(n→∞)有f(xn)=A。

        6.利用拉格朗日中值定理求極限

        定理[1]若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足如下條件:

        ①在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

        ②在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。

        則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(1)

        或者f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a) (0<θ<1)(2)

        在教學(xué)過(guò)程中可將這些求一元函數(shù)極限的方法充分運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐中,能使學(xué)生在解題過(guò)程中享受創(chuàng)造的樂(lè)趣,從而能夠激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的熱情和毅力,培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際生活中遇到的各類(lèi)問(wèn)題。

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]趙顯曾,黃安才著.數(shù)學(xué)分析的方法與題解.西安:陜西師范大學(xué)出版社,2005.3

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.8

        [3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.下冊(cè).北京:高等教育出版社,2006.6

        [4]李志林.高等數(shù)學(xué):經(jīng)濟(jì)管理、計(jì)算機(jī)類(lèi).西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.7

        [5]數(shù)學(xué).中國(guó)就業(yè)培訓(xùn)技術(shù)指導(dǎo)中心組織編寫(xiě).北京:中國(guó)勞動(dòng)社會(huì)保障出版社,2002.3

        [6]李永樂(lè),李正元.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).國(guó)家行政學(xué)院出版社,2011.2

        [7]陳文燈,黃先開(kāi).主編.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南.北京理工大學(xué)出版社,2012.1

        (作者單位:陜西省商業(yè)學(xué)校)

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