孫有銘 劉洛琨 楊正舉 郭 虹

（解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院，鄭州，450002）

引 言

隨著移動通信的迅猛發(fā)展，對于高容量、高可靠性傳輸?shù)淖非笫沟貌恍枰柧毿蛄械男诺烂け孀R技術非常具有吸引力。盲辨識技術由于其節(jié)省了信道資源，提高了信道傳輸效率受到了信號處理領域學者的廣泛重視。目前盲辨識算法主要分為基于高階統(tǒng)計量的傳統(tǒng)方法和基于循環(huán)平穩(wěn)二階統(tǒng)計量的方法兩大類。隨著Tong等人開創(chuàng)性地提出利用二階循環(huán)統(tǒng)計量進行時不變信道盲辨識［1］之后出現(xiàn)了一系列的盲辨識算法［2－7］。

文獻［2］提出了一種利用接收端過采樣之后形成的單輸入多輸出（Single input multiple output，SIMO）信道各個子信道的交叉相關（Cross－relation，CR）性質建立線性方程，從而獲得信道向量閉式解的CR算法。文獻［3］提出了一種利用接收數(shù)據(jù)的自相關矩陣可劃分為相互正交的“信號空間”和“噪聲空間”，利用噪聲子空間和信道矩陣的正交性來求解信道系數(shù)的子空間方法（Subspace，SS）。文獻［4］在文獻［3］的基礎上提出了一種最小噪聲子空間方法（Minimum noise subspace，MNS），巧妙地利用含有最小冗余度的子信道對來求解信道系數(shù)，降低了SS算法的運算復雜度。文獻［5］將文獻［4］的思想推廣到了CR算法中，提出了一種最小CR算法（Minimum cross relation，MCR）。

傳統(tǒng)二階循環(huán)統(tǒng)計量盲辨識算法在短突發(fā)信號條件下性能惡化甚至失效，算法對于觀測數(shù)據(jù)的長度有一定要求［8］。為了解決小樣本觀測數(shù)據(jù)條件下的信道盲辨識問題，文獻［6］提出了一種將CR算法通過FFT變換到離散頻域來求解信道系數(shù)的BI－FFT算法，在短突發(fā)的小樣本觀測數(shù)據(jù)（M＋1≤Ns＜3M＋1，M表示信道階數(shù)）和較高信噪比條件下獲得了良好的性能。但是文獻［6］采用的是標準CR算法，當過采樣率越大時運算的復雜度也迅速提升。本文在BI－FFT算法基礎上提出了一種只利用最小冗余信息建立頻域CR方程的F－MCR算法，該算法既減小了BI－FFT算法的運算復雜度又達到了與原有算法相當?shù)男阅堋?/p>

針對現(xiàn)有的階數(shù)估計算法（包括Liavas算法［9］、新穎的有效階數(shù)估計算法（Novel effective channel order estimation，NECOE）［10］以及基于子空間信道矩陣迭代的階數(shù)算法［1］等大多建立在自相關矩陣的奇異值分析的基礎上，對于觀測數(shù)據(jù)量有一定要求，在短突發(fā)（小樣本）接收數(shù)據(jù)情況下，以上算法失效。本文結合F－MCR算法中的矩陣Fy的秩信息給出了一種可行的快速階數(shù)估計算法。

本文中，nullspace（A）表示矩陣A的零空間維度，deg（p（x））表示多項式p（x）中的x最高次數(shù)，［·］T，［·］H，?，（·）＋，‖·‖2分別表示轉置、共軛轉置、卷積、Moore－Penrose偽逆運算和取2范數(shù)操作。

1 信道模型和CR算法

考慮單天線以L倍波特率過采樣或用L根天線以波特率接收［1］，可得到SIMO信道。在算法建模中將其等效為有限階支撐的M階FIR信道。

式中：s（n）是統(tǒng)計獨立發(fā)射信號序列，x（n）＝［x1（n），x2（n），…，xL（n）］T為無噪的觀測向量，h（n）＝［h1（n），h2（n），…，hL（n）］T，其中hi（n）（i＝1，…，L）為第i條信道的沖激響應，可簡記為h＝（n），v2（n），…，vM（n）］T為方差為且獨立于發(fā)送信號的高斯白噪聲，y（n）為迭加了噪聲后的觀測向量。

無噪情況下，在信道階數(shù)M已知時信道i的輸出xi（n）和信道j的輸出xj（n）存在以下CR關系

式（3）寫成如下矩陣形式

式中

則關于所有子信道對（i，j），其中i，j＝1，2，…，L，i≠j，可以得到如下方程組

式中

實際中噪聲的影響不可避免。假設噪聲是加性高斯白噪聲，那么式（9）修正為

式中：YL是由迭加了噪聲影響的實際接收數(shù)據(jù)構成，而δ則是相對應的誤差向量?？梢杂米钚《朔ㄇ蠼夥匠滩⑹┘臃稊?shù)約束后獲得信道向量的閉式解

2 F－MCR算法

2.1 算法描述

文獻［5］提出的最小冗余度的 MCR算法和MNS［4］算法類似，主要是通過一種樹形的結構來構建，這種樹形結構既反映出了信道間的差異性又具有最小的信息冗余度。

定理1 在SIMO系統(tǒng)中，首先從L個輸出x1，…，xL中選出L－1個不同的組，每組是兩個子信道輸出數(shù)據(jù)的組合，L－1個組合可以構成一個樹的結構。把每個子信道的輸出看作一個樹的結點，共有L個結點，使樹形結構具有最小冗余度必須遵循連接所有節(jié)點并且不構成回路的原則。依據(jù)此樹形結構構建的CR方程具有最小冗余度。

定理1的證明參見文獻［5］，顯然樹形結構的連接的方法并不唯一。圖1所示為一個5倍波特率采樣的SIMO信道的樹形結構的選取，［1，2］，［1，3］，［2，4］，［2，5］的輸出子信道組就可以列出最小冗余度的CR方程用來求解信道系數(shù)。

圖1 系統(tǒng)輸出樹形圖Fig.1 Tree diagram of system output

標準CR算法中，需要運用到所有的子信道輸出對，即L倍過采的SIMO信道就需要用到L（L－1）／2個信道對構成CR方程，L越大，隨之形成的YL矩陣也就越龐大，計算量也會隨之增加。但是在MCR算法中，只需要用到L－1個信道對，當過采樣L＞2時，計算量明顯減少。

假定在無噪聲情況下，每個子信道的輸出序列xi（n）的長度為Ns＋M，其中1≤i≤L，對xi（n）×hj（n）－xj（n）×hi（n）＝0，0≤i＜j≤L等式兩邊進行N點FFT變換（N≥Ns＋M），可得離散頻域表達式

式（12）可以寫為

式中

式中：W＝e－j2π／N，并定義Fi，j＝其中Fj位于i個矩陣塊的位置，而Fi位于第j個矩陣塊的位置。其中將符合MCR中最小冗余度的的子信道對［i，j］組成Fi，j矩陣，再將Fi，j構 成 一 個 大 的 矩 陣 塊Fx∈CN（L－1）×L（M＋1）

在考慮噪聲影響后，F(xiàn)x將由接收的含噪數(shù)據(jù)進行FFT后構成的Fy來近似，則可修正為

其中ε為噪聲引起的誤差矩陣，對式利用最小二乘方法求解并施加范數(shù)約束可得

2.2 階數(shù)估計算法

現(xiàn)假設信道階數(shù)M未知，僅階數(shù)的上界MU已知。那么原來的精確階數(shù)估計下的Fy寫成可以根據(jù)Fy（M）的零空間的維度來進行階數(shù)估計。

定理2零空間特性定理

（1）＝M，是列秩虧為1，有唯一線性解，即nullspace）＝1。

（3）M＋1≤≤MU，是列秩虧為－M＋1，即nullspace＝－M＋1

證明：文獻［6］中已經給出（1）和（2）的分析，這里不再贅述，以下將給出情況（3）的證明如下：

當＝M＋ΔM，ΔM＝1，2…時，由于的選擇決定了WM矩陣，即相當于選取了DFT矩陣的前＝M＋ΔM列。式（14）可以寫成

此時估計得到的和都是×1的列向量，就是對進行N點DFT，由此可得的Z域形式（Z），其deg（Z））≤；同理，deg（（Z））≤。式（20）可等價于以下Z變換形式

假設輸入符號要滿足以下條件，其DFT形式下的S（k）≠0，k＝0，1，…，N－1［6］，式（21）可簡化為

由于子信道之間滿足互質條件，即zeros（Hj（Z））∩zeros（Hi（Z））＝0，且滿足Hi（Z），Hj（Z）≠0，又有（Z）），那么可得zeros（Hj（Z））?zeros（Hj（Z）），由于deg（Hi（Z））＝M，則（Z），其中0≤deg（c（z））≤ΔM。由式（21）可得可知c（z）為過估計引入的公共零點。得到的形式和文獻［12］中的形式一致，可知解空間的維度為ΔM＋1，即nullspace＝由于DFT矩陣的特殊形式，可知01×（ΔM－a）］T，a＝0，1，…，ΔM為解空間的基，得證。

定理2表明矩陣在信道階數(shù)過估計時獲得不是一維線性解而是一個解空間，其維度為＋1。由于噪聲的影響，在過估計情況下屬于的零奇異值不再為零，本文將采用矩陣相鄰的兩個奇異值比值的大小來判斷零奇異值和非零奇異值之間的分界線。設維度為（N（L－1））×L＋1）的Fy（M）的奇異值為

令ri表示相鄰奇異值λi－1和λi之比

現(xiàn)給出一個信道階數(shù)快速搜索算法，階數(shù)搜索過程如下。

（1）選擇一個較大的階數(shù)估計值，確定的零空間的維度是否為1，即最大r的位置后面的較小的比值個數(shù)。若維度為1則搜索結束。若零空間維度不為1跳入步驟（2）。

（2）零空間維度不為1，即最大的r的后面的小的比值的個數(shù)為d（d為正整數(shù)），則將－d作為新的階數(shù)估計值，并跳入步驟（1）。

2.3 算法流程

綜上所述，本文算法步驟如下：

（1）選取一個較大的階數(shù)估計值，通過進行奇異值分解，利用給出的階數(shù)估計算法從的零空間維度估計出精確信道階數(shù)M。

（2）選取合適的FFT點數(shù)N滿足N≥Ns＋M，對每個子信道的輸出向量xm進行FFT變換并計算Fm矩陣。

（3）根據(jù)樹形結構找到最小冗余度的L－1個信道對［i，j］，1≤i，j≤L，并由相應信道對的數(shù)據(jù)組成Fi，j，再將Fi，j組成Fy矩陣。

（4）通過式（19）求解得到信道向量的閉式解。

2.4 算法復雜度

由于BI－FFT算法中沒有階數(shù)估計環(huán)節(jié)，這里僅考慮在階數(shù)M已知情況下的復雜度分析，通過F－MCR和BI－FFT算法在對Fy矩陣的構建不難發(fā)現(xiàn)，BI－FFT 算法下的Fy（BI－FFT）的維度是（NL（L－1）／2）×L（M＋1），而F－MCR算法下的Fy（F－MCR）的維度是（N（L－1））×L（M＋1）。參考文獻［13］的運算復雜度分析方法，為簡化分析主要考慮算法中運算復雜度最高的奇異值分解部分，對于BI－FFT算法大約需要O｛NM2L4｝，而 F－MCR只需約O｛NM2L3｝。當L越大，這種計算量的差異性就會越明顯。

3 仿真實驗

為了驗證算法的性能，選取SS算法和文獻［6］提出的BI－FFT算法做性能對比。仿真時采用文獻［1］中給出過采率L＝4時形成的SIMO信道，信道階數(shù)M＝4，信道系數(shù)如表1所示。

表1 含4個子信道的SIMO信道系數(shù)Table 1 Channel coefficients of a SIMO channel with 4sub－channels

發(fā)射信號為均勻分布的QPSK信號，迭加的噪聲為高斯白噪聲。辨識結果用歸一化均方誤差（Normalized root－mean－square error，NRMSE）進行評價。NRMSE的定義如下

其中：Nr為蒙特卡羅實驗次數(shù)，在本次仿真試驗中設定Nr＝100，hi是第i次實驗的辨識結果。

3.1 信道估計性能隨信噪比變化實驗

為了驗證本文信道算法在小樣本觀測數(shù)據(jù)條件下的有效性，選取發(fā)射端發(fā)送符號數(shù)量Ns＝10，即每個子信道可用的數(shù)據(jù)為Ns＋M，設定FFT變換的點數(shù)N＝16。出于公平性，此處實驗均假定信道階數(shù)已知。從圖2可以明顯看到SS算法已經完全失效，而本文提出的F－MCR和BI－FFT算法性能相當，可見F－MCR算法在降低BI－FFT算法的運算復雜度的同時并沒有引起性能惡化。圖2的結果中可以得知小樣本觀測數(shù)據(jù)條件下傳統(tǒng)的基于二階統(tǒng)計量的盲辨識算法性能惡化甚至失效。文獻［8］證明傳統(tǒng)算法至少需要滿足Ns≥3M＋1，而基于BI－FFT算法和F－MCR算法只需滿足Ns≥M＋1。

圖2 SNR－NRMSE曲線圖Fig.2 Performance of NRMSE with changing

3.2 階數(shù)估計算法性能隨信噪比變化實驗

圖3為在表1中所給信道條件下Liavas算法、NECOE算法與本文所提階數(shù)算法的階數(shù)估計正確率隨信噪比變化圖。其中本文所提算法中參數(shù)同實驗3.1，Liavas算法和NECOE算法中接收符號數(shù)均為200。從圖3中可知，Liavas算法在SNR≥24dB估計正確率達到100%，而NECOE算法在SNR≥28dB估計正確率達到100%。雖然本文所提階數(shù)估計算法也需在SNR≥28dB估計正確率達到100%，但在同樣的短突發(fā)小樣本條件下，Liavas算法和NECOE算法完全失效。

圖3 SNR－階數(shù)估計正確率曲線圖Fig.3 Probability of correct channel order detection with changing SNR

4 結束語

本文提出了一種改進的基于FFT的盲辨識算法（F－MCR），該算法充分利用MCR算法只需利用最小冗余度的信息建立線性方程即可估計信道的特性，將其經過FFT后再求得信道向量閉式解，并給出了一個快速階數(shù)搜索的方法。理論分析和仿真表明：該算法在較高信噪比和樣本數(shù)目較小時性能明顯優(yōu)于經典的二階統(tǒng)計量盲辨識算法，較BIFFT算法的復雜度明顯降低而性能幾乎相當，同時提升了對于信道階數(shù)估計誤差的魯棒性。

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