徐 聞 王 斌

（解放軍信息工程大學信息系統(tǒng)工程學院，鄭州，450002）

引 言

隨著通信領(lǐng)域在軍用與民用的發(fā)展，電磁環(huán)境越來越復雜，頻譜資源的劃分日益緊張。在有限的頻譜資源里同一信道出現(xiàn)兩個或兩個以上的時頻混疊信號現(xiàn)象越來越普遍［1］，這種情況就被稱為共信道時頻混疊信號。同時信號的參數(shù)估計是信號自動調(diào)制識別的一個重要先驗條件。

然而目前已有文獻關(guān)于時頻混疊信號的參數(shù)估計的研究，多是應(yīng)用循環(huán)自相關(guān)，循環(huán)譜和循環(huán)累計量對信號進行循環(huán)平穩(wěn)性分析。文獻［2］通過搜索循環(huán)累計量的峰值點來提取出已知信號的載頻，但其只局限于同類信號的混合［2］。文獻［2］通過對混合信號循環(huán)譜包絡(luò)的計算可以估計出混合信號各自的載頻與碼元速率，但該方法只限于MPSK還未擴展到其他類型的型號［3］。文獻［4］利用四階循環(huán)累積量的功率譜實現(xiàn)了雙信號的碼元速率估計，并將信號集擴大到BPSK、QPSK和16QAM［4］。文獻［5］利用二階循環(huán)累積量實現(xiàn)了雙信號的載頻估計，信號類型主要包括BPSK，QPSK，8QAM 和16QAM［5］。但以上方法都是對信號的載頻和碼元速率分別進行估計、因此存在參數(shù)配對的問題。而且以上文獻均是考慮信號在理想高斯信道下的模型，沒有考慮多徑衰落的情況。

本文采用一種基于循環(huán)譜的時頻混疊信號參數(shù)估計方法，并聯(lián)立形態(tài)學濾波的思想，通過先估計出混合信號的載頻，再分別以每個載頻為條件估計出對應(yīng)的碼元速率，解決了參數(shù)配對的問題。同時采用形態(tài)學濾波的思想在提取離散譜線時能有效地降低背景噪聲，可以精確估計BPSK，8QAM混合信號的調(diào)制參數(shù)。經(jīng)仿真驗證，該方法切實有效。同時本文就時頻混疊信號在多徑與多普勒頻移信道下的情況進行研究，分析了多徑與頻移對算法性能造成的影響，并對其進行仿真驗證。

1 算法原理分析

1.1 信號模型

本文為單信道接收模型，那么在一段時間內(nèi)N個獨立信號混合經(jīng)過高斯白噪聲的環(huán)境后落入接收機的接收帶寬范圍內(nèi)，其時域表示為

式中si（t）為中頻過采樣信號，其表示為

式中：Ei為獨立信號的能量；ai（m）為發(fā)送的信息碼元序列；Mi為發(fā)送的碼元個數(shù)；qi（t）為成形脈沖；fci為各個獨立信號的載頻；Ti為碼元周期，其倒數(shù)即為碼元速率fbi；φi為載波初相。

由于時頻混疊度沒有一種嚴格的規(guī)定，所以在本文中如下定義時頻混疊度［6］：假設(shè)是兩個信號同一時間進入同一信道，在時域上混疊度為1，在頻域上的混疊度為

式中：2fb1，2fb2為各個信號的帶寬；fb12為兩信號混疊部分，其取值由fc1，fc2來決定。功率比定義為

1.2 混合信號循環(huán)譜

定義信號的自相關(guān)函數(shù)

混合信號的自相關(guān)函數(shù)就可以寫為

由于各個信號彼此之間獨立，各信號與噪聲也獨立，所以si（t）（t－τ）＝0…i≠j，si（t）n＊（tτ）＝0，n（t（t－τ）＝0。那么混合信號的自相關(guān)函數(shù)就化簡為

式（6）說明若混合信號不加噪其自相關(guān)函數(shù)等于各個信號自相關(guān)函數(shù)的和；噪聲的各個時刻不相關(guān)，只有τ＝0時，E｛n（t）n＊i（t－τ）｝≠0。

將R（t，τ）表示為傅里葉級數(shù)展開的形式，再做變換即得到循環(huán)自相關(guān)函數(shù)那么循環(huán)譜就可以表示為

由混合信號自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，可將循環(huán)譜改寫為

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的疊加性，混合信號的循環(huán)譜等于各個信號循環(huán)譜在對應(yīng)循環(huán)頻率處的和再加上噪聲的循環(huán)譜的值。根據(jù)循環(huán)頻率的選擇性，只有在各自循環(huán)頻率處的信號的循環(huán)譜值不為零［7］。

由文獻［8］BPSK和8QAM的循環(huán)譜可以寫為［8］

式中Q（·）為周期T的sinc函數(shù)

1.3 循環(huán)譜的截面特性

由1.2節(jié)可知，循環(huán)譜也滿足疊加性和信號的選擇性。

循環(huán)譜是一個二維變換，兩個參數(shù)分別是譜頻率f和循環(huán)頻率α［9］。通常在分析時一般選取譜頻率等于零和等于信號載頻值的截面進行分析。同時有以下結(jié)論：

（1）對于平穩(wěn)噪聲，截面只在α＝0時其值不為0。

（2）對于復包絡(luò)混合信號，在譜頻率f＝0時，當前截面會顯示每個信號的載頻譜線，在譜頻率f＝fci時，當前截面只會顯示信號si的載頻譜線。且譜線會以二倍載頻2fc為中心。

（3）對于復包絡(luò)信號，循環(huán)頻率為碼元速率fb的整數(shù)倍時，在譜頻率截面上kfb處出現(xiàn)離散譜線。

根據(jù)以上幾點，二階循環(huán)平穩(wěn)信號的循環(huán)頻率為

圖1 BPSK與BPSK混合f＝0截面Fig.1 f＝0profile of BPSK mixed BPSK

用圖1－6來驗證BPSK混8QAM信號和BPSK混BPSK信號，信號載頻fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz。fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。信號采用升余弦成形濾波，脈沖成形指數(shù)0.5。fs＝12 000Hz，碼元個數(shù)N＝2 048。信噪比取為5dB。

由以上理論分析和仿真可以得出，由二階信號循環(huán)頻率出現(xiàn)的位置，在f＝0截面最大值出現(xiàn)在α＝±2fci處，同時次大值出現(xiàn)在α＝±2fcj（j≠i）。在f＝fci截面，最大值出現(xiàn)在α＝0，次大值出現(xiàn)在α＝±fb。

圖2 BPSK與BPSK混合f＝fc1截面Fig.2 f＝fc1profile of BPSK mixed BPSK

圖3 BPSK與BPSK混合f＝fc2截面Fig.3 f＝fc2profile of BPSK mixed BPSK

圖4 BPSK與8QAM混合f＝0截面Fig.4 f＝0profile of BPSK mixed 8QAM

圖5 BPSK與8QAM混合f＝fc1截面Fig.5 f＝fc1profile of BPSK mixed 8QAM

圖6 BPSK與8QAM混合f＝fc2截面Fig.6 f＝fc2profile of BPSK mixed 8QAM

1.4 多徑與多普勒頻移信道對信號循環(huán)譜的影響

在實際情況中，多徑與頻移情況下時頻混疊信號的循環(huán)譜也是值得研究探索的一個方面。由于不同信號的多普勒頻移和多徑衰落信道下統(tǒng)一建模較困難［10］，因此本文只對BPSK信號加以分析與驗證。其模型可根據(jù)式（2）寫為

式中εj，τj，φj分別為第j條路徑衰落系數(shù)，相對延遲和相位因子。

信號求解其循環(huán)譜還是由式（6－9）來求解，其中時頻混疊信號依然滿足各個信號循環(huán)譜獨立的特性，因此在多徑與頻移的情況下混疊信號循環(huán)譜依然為各個信號循環(huán)譜之和。那么在二階循環(huán)平穩(wěn)處的循環(huán)頻率就表示為［11］

當選取f＝0截面時，循環(huán)譜出現(xiàn)在α＝2（fci＋fd）±kfbi。由于頻移fd是一個時變的值，它有一個動態(tài)范圍。因此就造成了循環(huán)頻率α也變成了一個范圍，意味著頻移造成了信號在某些循環(huán)頻率處的頻移。

當選取f＝fci截面時，循環(huán)譜出現(xiàn)在α＝±kfbi。頻移展寬會影響到各個截面，所以該截面也造成信號在某些循環(huán)頻率處的頻移。

同時，由于多徑衰落的影響。截面可能出現(xiàn)非循環(huán)頻率處出現(xiàn)尖峰，循環(huán)頻率處尖峰降低。這些因素都對衰落與多普勒信道下時頻混疊信號的載頻與碼元速率估計的精準度會造成一定的影響。

2 算法實現(xiàn)

根據(jù)1.3節(jié)的結(jié)論，本節(jié)就可以設(shè)計算法先對f＝0截面的譜線提取譜峰后進行譜峰搜索估計出時頻混疊信號各個信號的載頻，再根據(jù)估計出載頻譜線對應(yīng)的位置來決定f＝fci提取含有碼元信息的譜線而后實現(xiàn)對碼元速率的估計。但由于信號經(jīng)過非線性變換后產(chǎn)生的背景色噪聲非常不利于峰值的提取，特別是信噪比低、數(shù)據(jù)量小的時候，部分噪聲幅度可能會超過峰值。因此需要設(shè)計一種方法來對背景色噪聲加以抑制。

2.1 數(shù)學形態(tài)學濾波

數(shù)學形態(tài)學的基本思想是利用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去衡量和提取圖像中的對應(yīng)形狀以達到對圖像分析和識別的目的。通常是將信號頻譜看作為灰度圖像來進行處理，常用的灰度形態(tài)變換有：腐蝕、膨脹、開運算、閉運算［12］。

令信號f（x）為定義在d維離散空間的函數(shù)，結(jié)構(gòu)元素B為該空間的有限子集，定義一對稱臨域Br≡｛－b：b∈B｝為B關(guān)于原點對稱的集合，Bx≡｛b＋x，b∈B｝為B的平移，那么這4種灰度形態(tài)變換的定義如下

對信號頻譜進行形態(tài)學的處理時，腐蝕運算可以減小信號的峰值，加寬谷域；而膨脹運算可以減小信號谷值，擴展峰頂。開運算可以抑制信號的尖峰，消除信號毛刺，平滑信號頻譜；閉運算則用以抑制信號波谷噪聲，填平信號的雜散脈沖。

對于式（13）分析等效為，先腐蝕后膨脹就為開運算，先膨脹后腐蝕就為閉運算。

對于循環(huán)譜各個截面，在低信噪比下可能某些點的噪聲峰值會超過載頻或碼元速率的峰值，而應(yīng)用形態(tài)學濾波后，將會對背景色噪聲較好地抑制從而會最大程度地提取出離散的譜線。這樣會對估計算法一定程度地提升性能。在實驗中由以下步驟進行優(yōu)化提取譜線。

步驟1 提取譜線后的某個截面為s（t），對其進行開運算，形態(tài)學濾波的模板長度為N，對其中的某點t定義兩個端點s（t－N），s（t－1）。ss（i）＝［s（t－N＋i）：s（t＋i－1）］為該模板長度N關(guān)于中心對稱的一個臨域，且i∈［1，N］。w（t）＝max［min（ss（1）），…，min（ss（N））］提取出當前點色噪聲值，每個點以此類推得到該部分噪聲，即W＝O［s（t）］B。

步驟2 對提取出色噪聲的譜線進行白化處理，由Sw（t）＝s（t）－W去掉色噪聲得到去除噪聲后的譜線Sw（t）。

步驟3 對白化后的譜線進行閉運算，增強峰值，填平負脈沖。選取臨域的區(qū)間和步驟1開運算的選取一樣。sc（t）＝min［max（sw（）），…，max（sw（N））］，每個點以此類推即是Sc＝C［Sw（t）］B。

步驟4 再對SC提取基底，方法同步驟1，得到Sn。最后提取出的譜線S＝Sc－Sn。

圖7，8是BPSK與BPSK混合在5dB時仿真結(jié)果，文獻［13］用的是類似于中值濾波的譜線提取方法，由圖7觀察，雖然碼元譜線非常明顯，但是噪聲部分呈起伏狀。這就可能有低信噪比情況下噪聲譜峰高于碼元譜峰的情況；而由圖8，本文方法提取后濾除了基底，使得所有可能的離散譜線相對高度起始位置都大致在同一高度，這就會很大程度避免低信噪比下噪聲譜峰高于碼元譜峰的情況。

圖7 用文獻［13］方法提取fc1譜線Fig.7 fc1profile spectrum－line of Ref.［13］

圖8 本文方法提取fc1譜線Fig.8 fc1profile spectrum－line of this paper

2.2 算法流程

整個算法流程如圖9所示。在本文算法計算f＝0截面得到的循環(huán)譜，而后提取譜線，然后從循環(huán)譜一端開始搜索，當搜索到i點為第1個max1值時，對i點和周圍一個短距離L長的臨域置0，即s（t）＝0，t∈［i－L，i＋L］，之后從第i＋L＋1點開始，由對稱性搜索到max′1的值而后對周圍臨域置0。接下來逐步搜索［max2，max′2］…［maxn，max′n］。對于f＝fci截面，只需提取譜線后找出對應(yīng)的一對最大值的位置。

圖9 算法流程Fig.9 Flow chart of the algorithm

本文詳細算法流程如下所示。

步驟1 設(shè)同時是兩個信號混合進入接收機，先對信號進行預(yù)處理，進行幅值歸一化的處理。

步驟2 對處理后的混合信號計算其循環(huán)譜f＝0截面，由2.1節(jié)的方法提取譜線，搜索譜峰估計載頻fc1，fc2。根據(jù)對稱性，每搜索出的一對最大值（－2fci，2fci）進行運算，（｜2fci｜＋｜－2fci｜）／4的位置為信號si的載頻對應(yīng)位置。

步驟3 由估計出的載頻fc1，fc2分別計算其循環(huán)譜f＝fc1，f＝fc2截面，而后由2.1節(jié)的方法提取含有碼元信息的譜線，再搜搜譜峰估計碼元速率fb1，fb2。根據(jù)對稱性，每搜索出的一對次大值（－fbi，fbi）進行運算，（｜fbi｜＋｜－fbi｜）／2的位置為信號si的碼元速率對應(yīng)位置。

步驟4 由于循環(huán)頻率是由采樣率fs歸一化后的值，因此估計載頻，碼元速率在找出對應(yīng)位置后還得乘以fs。

3 仿真驗證與分析

3.1 實驗1

本實驗是驗證分析采用不同數(shù)據(jù)長度對算法性能的影響。選取BPSK與BPSK混合。參數(shù)分別選取載頻為fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；碼元速率為fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。采樣速率fs＝12 000Hz，采用升余弦成形，脈沖成形系數(shù)為0.5。對每組實驗數(shù)據(jù)長度分別選取2 048個碼元與1 024個碼元。采用500次蒙特卡洛實驗，信噪比為－13～7dB。最后以歸一化均方誤差來定義估計性能。

首先由仿真圖10觀察分析，在2 048個碼元時功率比1∶1的時候載頻在－10dB就能實現(xiàn)精確估計，誤差大概在0.000 1量級，碼元速率在大概4dB就能實現(xiàn)精確估計，誤差大概在0.001量級。而隨著數(shù)據(jù)點的減少，發(fā)現(xiàn)載頻和碼元速率要實現(xiàn)精確估計的信噪比會有所提高，而且同信噪比下均方誤差較大。這是由于循環(huán)平穩(wěn)特性反應(yīng)的是信號特征的統(tǒng)計特性，數(shù)據(jù)點的選取越長越能反映出信號的特征，受到噪聲的影響就小。

圖10 不同數(shù)據(jù)點載頻與碼元速率估計精確度Fig.10 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different data length

3.2 實驗2

本實驗是驗證分析采用不同功率比混合對算法性能的影響。選取BPSK與8QAM混合，數(shù)據(jù)長度選取為2 048個碼元，功率比分別取為1∶1和3∶1。載頻、碼元速率、采樣速率及其他條件和實驗方式同實驗1。

由仿真圖11觀察分析，當功率比為3∶1的情況下，大功率信號的載頻和碼元速率估計準確率在相同信噪比下比1∶1功率比的時頻混疊信號的估計值都要高；相反的，小功率信號的載頻和碼元速率估計精度在相同信噪比下比1∶1功率比的時頻混疊信號的估計值都要低。這是因為在非等功率情況下，由于信號混合的原因致使小功率信號在整個環(huán)境的信噪比降低，大功率信號在整個環(huán)境的信噪比提高。

圖11 不同功率比載頻與碼元速率估計精確度Fig.11 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different power ratios

3.3 實驗3

本實驗是驗證分析采用不同混疊度的時頻混疊信號對算法性能的影響。選取BPSK與BPSK混合，數(shù)據(jù)長度選取為2 048個碼元。時頻混疊度的選取根據(jù)2.1節(jié)的定義來選取。選取fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；fb1＝2 400B，fb2＝2 400B，頻域混疊度為0.6，選取fc1＝3 000Hz，fc2＝4 000Hz，fb1＝2 000B，fb1＝2 400B，頻域混疊度為0.77。采樣速率及其他條件和實驗方式同實驗1。

由仿真圖12觀察分析，在選取不同參數(shù)而構(gòu)成不同頻域混疊度的時頻混疊信號的載頻與碼元速率估計的精確度不會受混疊度的影響。由2.2節(jié)時頻混疊信號的循環(huán)譜等于各個信號的循環(huán)譜的疊加，該性質(zhì)不受混疊度的影響。因此不同混疊度不會對算法性能造成影響。

圖12 不同混疊度載頻與碼元速率估計精確度Fig.12 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different spectrum overlapped

3.4 實驗4

本實驗是驗證分析多徑與多普勒頻移信道下對算法性能的影響。選取BPSK與BPSK混合，載頻為fc1＝3 000Hz，fc2＝4 200Hz；碼元速率為fb1＝2 000B，fb2＝2 000B。采樣速率為fs＝12 000Hz，采用升余弦成形，脈沖成形系數(shù)為0.5，數(shù)據(jù)長度2 048個碼元，采用500次蒙特卡洛實驗，信噪比從－13dB到7dB。在加入多徑與頻移的情況下，最大多普勒頻移取為300Hz。仿真中設(shè)定的信道為2條路徑的時頻混疊信號疊加而成，每路徑的幅度衰減因子均為1，各徑的時間延遲為2個采樣周期。衰落系數(shù)ε＝［0.5 0.7］。

以f＝fc1截面為例，信噪比取為0dB。由仿真圖13，14觀察分析，在多徑衰落信道，在循環(huán)頻率處仍舊出現(xiàn)了離散譜線。但幅度與高斯信道下不同，另外在非循環(huán)頻率處也有較為明顯的離散譜線。由于多普勒效應(yīng)存在，信號循環(huán)頻率在某些地方發(fā)生偏移。

由仿真圖15觀察分析，在多徑衰落信道下，時頻混疊信號載頻與碼元速率的估計精度在同一信噪比下都低于在高斯信道下的估計精度，誤差量級大概在0.001。這是由于多徑與頻移情況下，各個循環(huán)譜截面離散譜線幅值較高斯信道下會有所不同，在非循環(huán)頻率處可能也出現(xiàn)離散譜線。同時可能在某些地方發(fā)生多普勒偏移，這些因素給譜線提取和估計工作帶來了一定影響。同時影響程度取決于多徑數(shù)量，衰落系數(shù)，時間延遲和頻移范圍。

圖13 高斯信道下f＝fc1截面Fig.13 f＝fc1profile of Gaussian channel

圖15 不同信道下載頻與碼元速率估計精確度Fig.15 MSE of carrier frequency and chip rate estimation with different channels

4 結(jié)束語

本文以循環(huán)譜為基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)學形態(tài)學濾波的思想設(shè)計了一種時頻混疊信號載頻與碼元速率估計算法。該算法能夠?qū)崿F(xiàn)對BPSK與8QAM任意混合信號載頻與碼元速率的估計，解決了參數(shù)匹配的問題，同時應(yīng)用形態(tài)學濾波的思想能夠抑制背景色噪聲，讓提取的譜峰離散譜線能夠“脫穎而出”；設(shè)計搜索譜峰的步驟也能夠降低搜索量。最后仿真驗證了各種情況該算法的性能并做了分析。同時本文探究了在多徑與多普勒頻移信道下本算法的性能并對結(jié)果做了分析。但是本文只是仿真了兩徑衰落信道，對于更加復雜的情況還沒考慮，不同的參數(shù)選取也會造成不同程度的影響；同時也只考慮了兩個信號混疊情況，對于3個以上信號情況，雖由本文理論分析各個信號的參數(shù)估計不受影響，但實際情況是3個以上信號計算循環(huán)譜時會因為信號個數(shù)多而使信噪比降低，同時3個以上信號計算時實際中會出現(xiàn)交叉項，算法性能會較大程度地降低。

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